В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.
Наряду с пифагорейской философией существовала, хотя и в недостаточно выраженной форме, другая, более реалистическая философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Данная позиция отчасти диктовалась общей установкой атомизма, но главное было в том, что допущение бесконечной делимости приводило к многочисленным парадоксам. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует.
Математически атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивал на частоте математического метода, а так же и на идеализации бесконечной делимости геометрических величин. Система евклидовой математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм, тем не менее, содержал в зародыше будущую, более эмпирическую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.
Первый наиболее сильный удар по философии пифагореизма был нанесен открытием несоизмеримых отрезков. Это подрывало не только гармонию между геометрией и арифметикой, которая была для пифагорейцев сама собой разумеющейся, но и их идеологию в целом. В связи с кризисом пифагорейской философии математики необходимо так же упомянуть об апориях Зенона - нескольких рассуждениях, которые будучи (по крайней мере, по видимости) строгими, вместе с тем ставят под сомнения некоторые очевидные факторы, в частности время и движения. Главная ошибка в этих рассуждениях в неправильном использовании понятий.
Широкая критика пифагореизма была дана Аристотелем в "метафизике". Хотя Аристотель - непосредственный ученик Платона, его мировосприятие отличается от платоновского радикальным образом.
Аристотеля можно назвать (384 - 322 гг. до н. э)"величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков. Хотя вопросы методологии математического познания не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему.
В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с Платоновым идеализмом, ведь "если в явлениях чувственного мира не находится все математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?" - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, чем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.
Аристотель, скорее исследователь природы, чем умозрительный философ. Он ценит факты и логику больше, чем любые умозрительные представления. Наука для Аристотеля - не конструирование гармонии, но отыскание причин явлений. Из философии Аристотель удаляет всякую примесь поэзии; его стиль лаконичен, сух и подчинен только мысли. Основной грех пифагорейцев состоит, по Аристотелю, в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные от вещей.
Если подвести итог тем результатам, которые предположительно были получены пифагорейцами в V веке н.э., то они выглядят довольно внушительно: создано учение о четном и нечетном, построена теория делимости и пропорциональности чисел, закладываются основы планиметрии, геометрические исследования распространяются на пространственные объекты; поставлена проблема иррациональности; вцелом математические зависимости рассматриваются как относительно самостоятельный объект исследования, а не как рецепты для выполнения тех или иных прикладных вычислений; математика превращается в теоретическую науку со своим предметом, специфическими приемами исследования и обоснования. Но при этом следует иметь в виду, что большинство исторических источников проникнуто "тенденцией приписывать пифагорейцам многие открытия, сделанные просто в их время". Не исключено, что многое из того, что считается пифагорейским получено их идеальными противниками. Параллельно с пифагорейцами протекала деятельность и целого ряда других школ: эфейсской, наиболее видный представитель которой Гераклит (около 530-470 гг. до н. э); математическая деятельность милетской школы; Элейской школы в лице Парменида и Зенона (около 450 гг. до н. э); школа греческих материалистов-атомистов, возглавлявшаяся Демокритом (около 460-370 гг. до н. э).
Оценивая математическую деятельность пифагорейцев, следует иметь ввиду так же то, что наиболее значительные результаты были получены не столько путём последовательного проведения религиозно-идеалистических установок их мировоззрения, сколько преодолением их. Ведь если следовать за учителем, рассматривать его изучение как источник знаний о числах, тогда не имело никакого смысла вести самостоятельную исследовательскую работу; авторитарность и преклонение перед пророчествами главы секты пересекают поиск истины при помощи собственного мышления, откровения становятся выше разума.
Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности. В пределах пифагорейской школы происходит дальнейшее развитие математики, но внутренние законы математического познания здесь вступают в противоречия с рядом методологических установок (необходимость научного общения - с обетом молчания, объективный поиск истины - с авторитарностью, преклонением перед изречениями главы секты). Эволюция пифагореизма убеждает в том, что как бы искусно не увязывались математические знания с религиозно-мистическими воззрениями, они чужды последним; прогресс математики приводит к разрыву с ними. Если же в силу конкретных исторических условий методологические положения идеалистического характера последовательно выдерживаются, то математическая деятельность получает одностороннюю ориентацию, что в конечном итоге отрицательно сказывается на его прогресс. Имеет место не только активное и глубокое влияние мировоззрения на развитие математического познания, но и обратное воздействие; о его силе можно судить по тем последствиям, которые оказало открытие иррациональности на всю мировоззренческую систему пифагорейцев.
Однако упадок пифагореизма в греческой философии не привёл к полному исчезновению пифагорейских тенденций. Не признавая пифагореизма как учения о математических началах мира, можно признавать его как определённый метод аргументации. В этом плане он оказал громадное влияние на последующее развитие философской и научной мысли вплоть до XIX века. Пифагореизм в современной науке сохраняется как антологизация различного вида числовых совпадений. Подавляющее большинство учёных скептически относится к числовым сопоставлениям, однако именно числовое совпадение помогло Максвеллу открыть электромагнитную природу света. Как можно отделить здесь зёрна от плевел и возможно ли сделать это вообще. Древнее философское учение оказывается, таким образом, тесно связанным с тонкими проблемами методологии современной науки.

2. Взаимосвязь философии и математики от начала эпохи возрождения до конца XVII века

За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытно зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.
В период средневековья считалось, что центр Земли совпадает с центром Вселенной. Солнце, луна и звезды укреплены на прозрачных сферических оболочках и вращаются вокруг единого центра. Коперник на основании тщательных астрономических наблюдений и их математической обработки сделал вывод, что Земля вращается вокруг Солнца. Эту идею высказывали еще древние, но никто из предшественников Коперника не мог дать ей достаточно полного математического обоснования. Математическую форму изложения учения Коперника отличал и Джордано Бруно, который вышел за пределы солнечной системы, представив Вселенную как безграничную область, заполненную бесчисленными мирами. Кеплер, на основе широкого использования математики, открывал законы движения планет. Галилей подтвердил и развил учение Коперника. "Важно подчеркнуть, что одним из руководящих критериев, направлявших Галилея на пути к выработке именно этой мировоззренческой концепции была математика", - писал Кедровский О.И.
Таким образом, возникало новое научное мышление. Созданные в первые десятилетия XVII века работами Кеплера и Галилея фрагменты новой науки были изолированы, поскольку земные небесные движения рассматривались как качественно отличные друг от друга. Отсутствовала синтезирующая концепция, которая соединила бы законы Кеплера и Галилея. Существенную роль в решении этой задачи сыграли работы Р. Декарта. Мир представлялся Декарту заполненным материей пространства. Природа материи состоит в протяженности, все свойства материальных тел сводятся к преобразованию протяженности, а все движения - к механическому перемещению. Таким образом, природа мироздания определяется в конечном итоге математическими и механическими характеристиками. Влияние математики при решении важных философских проблем несомненно, но оно не выражается через выявление строгих количественных закономерностей.
Декарт создал метод координат, перебросив мостик между алгеброй и геометрией. Алгебраические задачи теперь можно решать геометрическими методами и наоборот. Очень важно также было систематизирование им математических обозначений и перевод математики на современный язык. Декарт рассматривал всю математику как теорию алгебраических уравнений. Он считал всю математику универсальной, позволяющей решать математические и нематематические проблемы - "нужно лишь следовать по тому же пути". Поворотным пунктом математики была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движения и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникало и которое было и в целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем.
Однако уже самому Декарту приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры как универсального математического метода. В силу жесткой связи между математическим методом и общей методологией познания, такое изменение затрагивало основы философской системы.
И. Ньютон синтезирует многочисленные исследования, проведенные его предшественниками и им самим, и создает принципиально новую систему знаний о природе. Читая лекцию по теории света и цветов, он на основе измерительного математического опыта и математического расчета, делал вывод, что науку о цветах "следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением". Ньютон в своих "Началах" впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически точный компонент.
При решении некоторых физических задач Ньютону приходилось сталкиваться с проблемой проведения касательных к кривым. Им был разработан универсальный метод построения касательных - метод флюксий, являвшийся, по сути, методом нахождения производных. Создание теории флюксий Ньютона было осуществлено в органическом единстве математических знаний философских идей. Философские понятия выполнили синтезирующую роль по отношению к фактам математического знания.
Успехи, достигаемые на пути математизации естествознания, укрепляли веру в значимости математики. Появление работ Ньютона, как образно выразился Д.А. Граве, открыло эпоху перехода этой веры в полное внутреннее убеждение. Из сферы умозрительных натурфилософских рассуждений по средствам математики и опыта выводится обширная область явлений, которые теперь находят более скрытое объяснение в пределах конкретной науки. Широкое распространение получает мнение, что посредством математики и механики, которые разъяснили столь многое, можно объяснить всё. Когда же обнаружилась неспособность "математизированной метафизики" выполнять возложенные на неё функции, то это послужило одним из оснований для дискредитации всей системы механического материализма, повода для возрождения идеалистических и теологических позиций в науке. Подобного рода тенденция находит проявление в работах Г.В. Лейбница.
Одним из приверженцев новой науки становится Лейбниц. Он предсказывает неудовлетворение механической картиной мира и делает попытку изменить её. Великой заслугой немецкого мыслителя было то, что он, хотя и в теологической форме, но подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения.
Но Лейбниц неправ, когда дополнение количества качеством по сути дела приводит как дополнение материального идеальным.
Тенденция дематематизации начал бытия, проводимая Лейбницем, поскольку она была продиктована стремлением найти более глубокое объяснение явлений действительности и установить более рациональное отношение между математикой и философией, имела прогрессивное значение.
Независимо от Ньютона Лейбниц так же пришёл к открытию дифференциального, а затем и интегрального исчисления. Многие основные черты нового метода математики выступили как конкретное преломление, примиритель к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии.
Воззрение Н. Коперника, Дж. Бруно, И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона и Г.В. Лейбница представляют основное течение формирования новой системы взглядов на мир. Наиболее ортодоксальными противниками этой линии были сторонники религиозно-схоластического миропонимания. Между теми и другими формировались и эволюционировали промежуточные направления, в большей или меньшей мере они равнялись на математику. Однако наиболее ярко последняя проявила себя именно в сочинениях рассмотренных выше учёных.
Успехи, достигнутые на пути широкого применения математических средств, на пути количественного анализа послужили поводом для распространения последнего за рамки допустимого. Использование математики в ряде случаев сопровождается абсолютизацией дедуцирования по сравнению с опытным исследованием, преувеличением роли количественного подхода и умалением значимости качественного анализа, неправомерной подменой мировоззренческих, философских принципов положениями математического естествознания, чрезмерное увлечение математикой в системе философского познания делает последний односторонним. Абсолютизация роли математики оказала отрицательное воздействие на прогресс науки, поскольку послужила монологическим источником возникновения на новой основе идеалистических воззрений.
Философский анализ у мыслителей новой эпохи не охватывает столь широкого спектра проблем, как период античности, особенно в логико-монологическом аспекте, но поставленные проблемы решаются в значительно более многообразных формах. Предлагаемые решения не столь строго аргументированы как в период античности, но они посвящены более оригинальным и продуктивным идеям. Философские проблемы математики в период античности имеют более чётко выраженный системный характер, так как они подверглись тщательной логической обработке. В данном случае зависимости между содержанием отдельных проблем, детерминируемость одних проблем другими носят несколько фрагментарный характер.
Преобразование системы философии математики античности осуществлялась как представителями конкретной исследовательской деятельности в математике, так и представителями философской науки, впрочем, в рассматриваемую эпоху подчас трудно определить в какую категорию отнести того или иного ученого. В лице Галилея мы имеем особенно яркий пример ученого, который занимался философскими проблемами математики не столь для решения философских или натурфилософских проблем, сколько под воздействием конкретных исследований в математике и механике. Спиноза и Гоббс занимались анализом философских проблем математики, преимущественно исходя из потребностей разработки системы философского знания. В деятельности таких энциклопедистов как Декарт и Лейбниц первый путь (от математики) и второй (от системы философского знания) тесно переплетаются. Философские проблемы математики занимают промежуточное положение между системой философии, в собственном смысле этого слова, и системой математики. Это прикладная область по отношению к философии и основа системы математики. Проблематика, разрабатываемая в пределах философии математики исходя из потребностей математических исследований, несколько отличается от той, которая особенно актуальна для развития философии, но и первая и вторая проблемы требуют согласования по содержанию, представления всех их относительно единой системы. В этот период отрицательное воздействие на прогресс математики и философии оказывают как пренебрежение философским анализом математического познания, так и отождествление философских проблем математики с основоположениями философской системы. Узость конкретно научного подхода у некоторых талантливых математиков была одной из причин того, что они не смогли сделать больше, чем создать очередную разновидность частных приёмов дифференциального и интегрального исчисления. С другой стороны, абсолютизация методологической роли некоторых аспектов математического познания (например, у Декарта) создаёт препятствие, как на пути усовершенствования математического метода, так и на пути развития философских знаний.
В заключении, обозревая историческое развитие математики от эпохи Возрождения до конца XVII века, выделим наиболее важные формы влияния философии на эту науку.
Когда под определяющим воздействием производственных потребностей "после тёмной ночи средневековья вдруг вновь возрождались с неожиданной силой науки, начинающие развиваться с чудесной быстротой", на пути их прогресса стояли мировоззренческие установки схоластики. Процесс поиска новых знаний третировался как ненужный, теоретические построения противопоставлялись практическим приемам и были оторваны от опытных исследований. Борьба прогрессивных мыслителей против схоластики способствовала раскрепощению творческой инициативы в математике, соединению вычислительных и измерительных приемов с понятным аппаратом теоретической математики, органическому сочетанию математических знаний с естественнонаучными.
Первые попытки создания новых математических методов исследований (Кеплер, Кавальери) базировались на концепции неделимых, обязанной своим происхождением атомистическому учению, восходящему к Демокриту. Философская мысль античности, переданная через много промежуточных звеньев, оказалась продуктивной основой математического творчества в новую эпоху.
Реформа алгебры, проведенная Декартом, осуществлялась как один из основных этапов построения его философской методологии. Введение символических обозначений, методика сведения всякой проблемы к математической задаче, решение последнее как составление уравнений и нахождение их корней обосновывается исходя из общих представлений о процессе познания.
Создание теории флюксий Ньютона осуществляется в органическом единстве математических знаний и философских идей. Философские понятия выполняют синтезирующую роль по отношению к фактам математического познания, соотношение между этими понятиями переносятся на соответствующий понятийный аппарат дифференциального и интегрального исчисления, они используются в процессе обоснования последнего.
Неудовлетворённость сложившимися средствами решения математических задач и стремление создать новый общий метод математики у Лейбница обусловлены методологическими соображениями. Многие основные черты нового метода математики (дифференциального исчисления) выступают как конкретное преломление применительно к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии. Обоснование анализа проводится преимущественно метафизическими рассуждениями.
Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления её мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики. Такого рода исследования в анализируемый период выступают как одно из важнейших направлений философского познания.

3. Философия и математика в эпохе просвещения

"География" эпохи Просвещения весьма обширна. Философское познание и математическая деятельность активно развиваются в странах Западной Европы, в России, на Американском континенте.
Логическая противоречивость оснований анализа, несогласованность между его идейным содержанием и вычислительным аппаратом делали его уязвимым для критики. Этим не замедлили воспользоваться те представители идеалистической философии, которые хотели дискредитировать математику, развитие которой осуществлялось преимущественно на материалистической основе. Наиболее видным философом такого типа является Дж. Беркли (1685-1753 гг.).
В своей основной работе - "трактат о началах человеческого знания, в котором исследуются главные причины заблуждений и трудности наук, а так же основания скептицизма, атеизма и безверия" - Дж. Беркли объявляет причиной всех указанных в заглавии зол материализм и основную задачу работы видит в опровержении фундаментального понятия материалистического мировоззрения - понятие материи. Чтобы разорвать связь математики с материализмом, Беркли стремится максимально привязать её чувственно воспринимаемым образом, дать ей субъективистскую трактовку, а всё что не поддаётся такой трансформации, удалить, ссылаясь на практическую бесполезность и умозрительность. Поэтому Беркли отрицал бесконечное в форме бесконечной делимости конечного, и в форме бесконечно малых и больших величин. Английский философ представляет математику как науку об идеях, получаемых от ощущений. Её объекты - это знаки, обозначающие комплексы идей. Беркли пытается изменить не только "внутреннюю жизнь" математики, но и применимость её в других науках. Беркли выдвигает свою концепцию математики как логическое следствие субъективно-идеалистической философии, и тот факт, что эта концепция оказалась регрессивной, свидетельствует о порочности той философской основы, на которой она воздвигнута. Беркли в угоду своей философской доктрине деформирует процесс научного познания в той степени, что прогресс его становится не возможен. Его учение об идеях явилось переходной ступенью к возникновению агностицизма в форме юмизма. Последующее развитие математики не оправдало надежды Беркли.
В том, что английская математика сумела сохранить материалистическую платформу развития своей науки, несмотря на столь активные нападки субъективного идеализма, существенную роль сыграло наличие сильных материалистических традиций в английской философии.
Среди английских философов - материалистов конца XVII -первой половины XVIII веков, особого внимания заслуживают воззрения Джонам Толанда (1670-1722), который уделял много внимания анализу таких понятий как материя, движение, пространство, время, анализировал связь математического познания с физическим и философским.
Толанд настаивает на необходимости разграничения "между пространственным движением и движущей силой, или активностью, либо пространственное движение есть только перемена в положении тела". В данном случае английский материалист выходит за границы механического понимания движения, свойственного философии XVII - XVIII веков и приближается к диалектическому взгляду, согласно которому "движение, в применении к материи - это изменение вообще".
Историческая заслуга Толанда состоит в выдвижении и обосновании положения о том, что "движение есть существенное свойство материи… Столь же неотделимая от ее природы, столь не отделимы от нее непроницаемость и протяжение". Толанд заложил основы для нового понимания природы математического познания. В его сочинениях можно встретить немало интересных высказываний, относящихся к логико-гносеологическому анализу математики. Толанд указывал, что содержание математических понятий берется из реально существующего мира. Нельзя не согласиться с замечанием Толанда, что различие между математическим и реальным объектами постоянно надо иметь ввиду при пользовании метода математической дедукции.
Видным представителем философской мысли континентальной Европы, деятельность которого тесно связана с математическим познанием, в рассматриваемый период был Христиан Вольф (1679-1754).
Идеалом научной системы у Вольфа выступает математика: во-первых, в силу "несравненно хорошего порядка, коим содержащееся в ней учение предназначается и утверждается", во-вторых, потому что ее знания "как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. Под методом математики он понимает "порядок, который математики употребляют", когда изложения своих знаний начинают с определений, аксиом, затем переходят к теоремам, проблемам, примечаниям т.д. Вольф все подвергает рассудочной обработке, классифицирует, определяет, дедуцирует. Просветительская деятельность Вольфа, её стремление к ясному, точному, доступному изложению знаний имели в определённой мере положительное значение. Способ изложения математики в его системе абсолютизирован до предела и это оказало регрессивное влияние, как на развитие философии, так и на развитие математики.
Необоснованное стремление представить математический способ построения системы науки как универсальное средство постижения истины, в конечном итоге, привело к подрыву авторитета математики, к дискриминации процесса математизации научного познания.
В пределах самой математики точная и педантически скучная схема изложения в лучшем случае могла служить для представления начальных сведений по элементарной математике, но она сковывала самостоятельную исследовательскую деятельность и в наиболее интенсивно развивавшейся области - области математического анализа - её не придерживались.
Следует отметить так же деятельность Петербургской академии наук. Иностранные учёные оказали ей существенную поддержку, но стремительный прогресс смог иметь место, прежде всего потому, что для этого были созданы необходимые условия, русская наука выдвинула своих талантливых исследователей. Наиболее видными из них является М.В. Ломоносов (1711 - 1765).
М.В. Ломоносов был хорошо знаком с математикой того времени. Из высказываний видно, что он очень высоко оценивал математику как средство познания логически строгих и всеобщих истин. Математический метод рассматривался учёным не только как способ упорядоченья знаний, ему отводилась роль важного эвристического средства по отношению к другим наукам, его исследования во многих областях науки основывались на количественном анализе.
Если сравнить воззрение М.В. Ломоносова на природу математики с третированием этой науки у Беркли или с догматическим наложением математической схемы на чуждое ей содержание у Х. Вольфа, то нужно признать, что великий русский учёный придерживался значительно более продуктивной методологической основы математической деятельности и в этом отношении может быть отнесён к наиболее прогрессивным мыслителям мирового масштаба первой половины XVIII века.
Философия Франции в XVIII веке представлена многочисленной плеядой выдающихся мыслителей. Одним из которых является Ж.А. Кондорсе, который рассматривает основные исторические этапы математического познания в связи с общим развитием материальной и духовной культуры человечества.
Кондорсе в схематической форме отличил наиболее существенные этапы эволюции математической мысли. Основную ценность составляют не столько приводимые факты, сколько попытки объяснить их. Кондорсе считает, что математика возникла лишь на определённом этапе развития человеческой культуры и развивалась поступательно. Это положение разделяет с ним и Гельвеций: "Представления о числах … так поразительно ограничены у некоторых народов, что они не умеют считать дальше трех, и выражают число больше трёх, словом много". Возникновение исходных геометрических и арифметических знаний Кондорсе связывает с необходимостью удовлетворения производственных потребностей. Идея определяющего воздействия производственной деятельности на процесс научного познания в общем виде формируется у Кондорсе довольно чётко. Интересна его попытка выявить в процессе прогрессирующего развития знаний тенденции и закономерности как качественного, так и количественного характера. Мерилом прогресса некоторой науки у него выступает "сумма заключающихся в ней истин". Важная роль в ускорении прогресса математики отводится Кондорсе усилению взаимодействия её отдельных дисциплин. Обобщая пройденный научным познанием путь, Кондорсе приходит к выводу, что ни одна наука не может спуститься ниже той ступени, на которую она возведена.
Существенно иного мнения, чем Кондорсе придерживался Руссо и особенно Дидро. Последний считал: "По той склонности умов к морали, к литературе, к истории природы, к опытной физике, которая замечается в настоящее время, я почти с уверенностью скажу, что не пройдёт и ста лет, как в Европе нельзя будет насчитать и трёх великих геометров".
Французские мыслители подчеркивали связь даже наиболее абстрактных математических построений с чувственно воспринимаемой действительностью. Общий характер понятия пространства и тесная связь его с существованием неоднократно приводили в истории философии к представлении о нём как о какой-то сущности. Подобного рода трактовки, по мнению Гельвеция, являются злоупотреблением словами. Так слово "величина" даёт ясные, реальные идеи лишь в тот момент, когда его применяют к определённому предмету. И Гельвеций и Дидро подчёркивали, что научное мышление имеет объективное предметное содержание. Их позиция в данном случае противоположна позициям субъективного идеализма.
Одновременно с интенсивным развитием материалистических философских школ происходила и эволюция идеалистических философий, некоторые представители которой много внимания уделяли математике. Одним из них является Давид Юм. Он интересен тем, что дает последовательное развертывание принципов своей философии применительно к математическому познанию. Юм остриё критики направил против материализма в познании.
Сравнивая взгляды Юма на природу математического познания с воззрениями французских материалистов, нетрудно установить принципиальные различия между ними по многим фундаментальным вопросам. Материализм и субъективный идеализм как бы предлагали разные платформы для математической деятельности, являющиеся следствиями и их общих философских принципов.
Среди замечательной плеяды математиков рассматриваемого периода можно выделить трех ученых: Л. Эйлера, Ж. Д^’ Аламбера и Ж.Л. Лагранжа.
Л. Эйлер сделал первые степенные открытия почти во всех областях современной ему математики, заложил фундамент устного ряда новых направлений исследований. Являясь, прежде всего представителем русской науки, он оказал исключительно сильное влияние на всех наиболее видных математиков XVIII столетия.
Одной из определяющих черт творчества ученого является глубокая и органическая связь его математических изысканий с потребностями естественных наук и техники. Разрабатывая математические теории, Эйлер был убежден, что он тем самым выявляет объективно существующие закономерности материального мира, а не субъективные связи между восприятиями. Математика была для него критерием оценки данных ощущений. Эйлер, отвергая идеалистические утверждения, обращается к здравому смыслу. Материалистическая основа научной деятельности была им глубоко продумана, о чем свидетельствует критическое отношение ученого к узкому материалистическому эмпиризму. Эйлер подчеркивает выдающуюся роль в научном познании гипотез и абстрактных понятийных построений. Разработка формального аппарата математической теории сочетается у него с содержательным анализом ее фундаментальных понятий. Усовершенствуя математические понятия, Эйлер обращает внимание на сам механизм формирования понятий. Он примыкает к Ньютоновскому пониманию предела как такого значения, которое переменная все-таки достигает. Математические исследования ученого способствовали научному прогрессу, торжеству научного знания над невежеством и религиозным фанатизмом. Однако сам Эйлер, в отличие от французских мыслителей не только не выступал активно против религии, но даже пытался защитить ее.
Ж. Д^’ Аламбер (1717-1783) известен как выдающийся математик, сделавший ряд важных открытий. Его творчество представляет одну из наиболее ярких иллюстраций органической взаимосвязи философских и математических знаний. Разработка проекта новой системы математического образования и проблема обоснования математического анализа получили особенно яркую своеобразную трактовку в деятельности Даламбера.
Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) принадлежит к числу наиболее великих математиков XVIII столетия, уступая лишь Эйлеру по многогранности математического творчества и разнообразию решенных задач. Аналогом его математических и механических конструкций могут служить развитые в ту эпоху философские, философско-исторические и иные идеологические системы. Конечно, работам Лагранжа по аналитической механике, теории функций, алгебре, теории чисел свойственна более высокая степень абстрактности и общности, чем его предшественникам. Движение познания к более высоким уровням абстрагирования, прогрессирующая формализация вполне закономерны. Можно согласиться, что у этого ученого и его последователей имеет место некоторое увлечение вновь разработанными формальными построениями, в определенной мере даже абсолютизация их значимости при решении отдельных задач, но это не снимает того, что Лагранж является ярко выраженным представителем механистического материализма XVIII века. Лагранж не ограничивается только составлением предельно общих дифференциальных уравнений механики, но постоянно стремится довести решение задач этой науки до результатов, сравнимых с материалом наблюдений и экспериментов. Механика у Лагранжа стала общей наукой о движении материальных систем.
Подведем итоги проведенного анализа развития философии и математики в эпоху Просвещения.
Главным направлением математической деятельности в первые десятилетия XVIII было овладение приемами дифференциального и интегрального исчисления и широкое использование их для решения геометрических, механических, астрономических и оптических задач. Со стороны математиков наблюдается падение интереса к философии. Объясняется это, по-видимому, тем, что математика перешла на эволюционный этап развития, предшествующая метафизика исчерпала в значительной степени свои возможности по отношению к математике. По своему характеру математика является несколько более удаленной от философского знания, связь с философией становится опосредованной через фундаментальные принципы и понятия анализа, которые как бы насыщенны необходимыми философскими идеями. Математика и другие конкретные науки как бы "отлеживали себе самостоятельные области".
Нельзя сказать, что философский анализ полностью отсутствует на новом этапе развития математических знаний. Хотя он не носит характера создания обширного комплекса философских проблем, но в виде постановки отдельных вопросов встречается довольно часто. Однако возможности прежней метафизики в этом отношении были ограничены. Всё наиболее существенное, что она могла дать математике, было приспособлено для нужд этой науки в виде основополагающих понятий и принципов анализа. Философские проблемы, связанные с расширением практической применимости анализа и его более конкретными усовершенствованиями, в области умозрительной метафизики не могли быть решены. Прежняя метафизика в условиях XVII века в целом удовлетворяла запросы математики, в новых условиях она стала плоской.
Изменилось в начале XVIII века отношение философов к математике. В философских трактатах анализ природы математического познания если и имеет место, то в значительно меньших масштабах. За редким исключением, ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании.
На примере Л. Эйлера, Ж. Д^’ Аламбера и Ж.Л. Лагранжа видно, что, по сравнению с первыми десятилетиями XVIII века, в среде математиков значительно расширяется философский анализ различных аспектов их наук. Этого требовали объективные условия развития математических знаний.
Математики в принципе имели возможность обратиться для удовлетворения своих потребностей к разным философским системам: материалистической философии Просвещения, субъективно-идеалистическому учению Юма, метафизике XVII века, на которой базировали свои исследования Ньютон и Лейбниц.
Не составляет особого труда установить несоответствие между юмовским пониманием природы математики и теми философскими принципами, которыми руководствовались математики XVIII века.
Математическая философия эпохи Просвещения по сравнению с другими существовавшими философскими учениями создавала наиболее благоприятные условия для прогресса математики и оказала на нее многообразное воздействие. Она ломала косность мышления, устаревшие традиции, стремилась рационально объяснить основные аспекты жизни общества и тем самым создавала творческую атмосферу для усовершенствования математических знаний.
Мыслители Просвещения провели разработку многих важных философских проблем математики: они проделали значительную работу по раскрытию механизма абстрагирования, изучения чувственной стороны математического познания позволило выявить ряд интересных свойств математических понятий, им принадлежит попытка объяснить теоретико-познавательные особенности математики исходя из природы ее предмета, они указали на важное значение производственной деятельности для развития математических знаний, анализируя тенденции исторического развития математики, они пытались использовать как качественный, так и количественный подход; они убедительно показали отрицательное воздействие религии на прогресс науки, исследовали механизм использовали математики в других науках, разработали основные принципы системы математического образования, провели критику идеалистических воззрений на предмет и метод математики. В свою очередь, математика была действенным союзником в идеологической борьбе передовых французских мыслителей против прежней метафизики, против сил реакции.
Указывая на плодотворность взаимодействия между философией эпохи Просвещения и математикой, следует иметь в виду ограниченность масштабов этого процесса, некоторые отрицательные моменты, которыми он сопровождался. По сравнению с философскими трактатами XVII века в сочинениях философов рассматриваемой эпохи математический материал используется в значительно меньшей мере. Анализ природы математического познания носит фрагментарный характер, использование математики нередко проводится некритически.
Определенные стороны математического познания вызывали неудовлетворенность у философов эпохи Просвещения. Тесная связь некоторых теоретических построений математики с предшествующей метафизикой, против которой выступала философия времен Просвещения, иногда служила основанием для распространения критики на математику. Для представителей математического познания отчасти были неприемлемыми узкий практицизм и эмпиризм, проявлявшиеся во взглядах отдельных философов эпохи Просвещения, они не могли согласиться и с недооценкой последними перспектив развития их науки. Однако, в целом, отмеченные разногласия не снимают того факта, что именно материализм служил философской основой тех замечательных успехов, которых добились математики в XVIII столетии, а математика играла существенную роль в борьбе материализма против идеализма и религии.

4. Анализ природы математического познания немецкой классической философии

Политической революции во Франции сопутствовала философская революция в Германии. Кант начал ее тем, что ниспроверг устарелую систему лейбницевской метафизики, которая к концу прошлого столетия принята была во всех европейских университетах. Фихте и Шеллинг начали перестройку философии, а Гегель завершил новую систему.
Немецкая классическая философия представляет одно из наиболее грандиозных созданий человеческого разума. Ее непреходящее историческое значение состоит в том, что в ней, хотя и в ложной, идеалистической форме, осуществлялась систематическая разработка диалектики.
Научную деятельность Канта в соответствии с эволюцией его философских воззрений, обычно делят на два периода - "до критический" (до 1770 года) и последующий "критический", получивший свое наименование от названия основной работы этого периода - "Критики чистого разума".
Само по себе стремление последовательно проследить в области математического познания проявления общих философских принципов и логических следствий из них, пронизывающее работы Канта, заслуживает положительной оценки, и великая заслуга Канта состоит в том, что после Аристотеля ему удалось создать наиболее обширную, логически развернутую систему философии математики. Но если философские принципы не совсем соответствуют природе математики, а их догматически пытаются внедрить в нее, то идейное содержание данной науки деформируется. Подобного рода негативные моменты воздействия философии на математику находят проявления в творчестве Канта. Так, обнаружив несоответствие некоторого философского положения с фактом математического познания, он критически подходит к выяснению того, что же в таком случае требует изменения - философское положение или трактовка математических законов.
Согласно Канту, понятие геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Геометрия по Канту не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуры априорных форм чувствительности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясна: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза".
Исходя из современных представлений, не составляет особого труда указать на несостоятельность кантовских взглядов на математику, но не следует забывать, что современная позиция есть результат длительного исторического развития как философской, так и конкретно научной мысли. Это развитие привело к критической переработке кантовского учения о математике, причем критика не сводилась к отбрасыванию его утверждений. Качественно новые воззрения возникли путем удержания всего того ценного, что сумел открыть этот выдающийся мыслитель.
Философское наследие Фихте не содержит столь же богатого материала для изучения проблемы взаимосвязи философии и математики, как это имеет место в сочинениях Канта, но, тем не менее, ряд рассуждений затрагивает некоторые её интересные аспекты.
Целью Фихте было укрепить основания философского знания, упрочить тот фундамент, на котором строил философию Кант. На усовершенствованном основании, по его мнению, философия должна строиться с математической достоверностью. Кроме рассуждений о процессе взаимосвязи философии и математики в работах Фихте имеются и некоторые более конкретные замечания по отдельным философским проблемам математики, в частности, несколько видоизмененные изложения кантовской концепции пространства. Фихте, считает, что "протяжённость в пространстве есть не что иное, как самосозерцание свой способности быть бесконечным в созерцающим". Можно отметить некоторые отдельные идеи Фихте, воспринятые в последующем развитии научного познания (идею цикличности при обоснованном построении научной системы, положение об относительной самостоятельности обоснования математики по отношению к философии и в то же время утверждение о необходимости философского анализа исходных принципов математики), но в целом этот мыслитель не внёс каких-то существенных изменений в кантовскую философию математики, которую он взял за основу своих изысканий, его деятельность не повлияла ощутимым образом на процесс взаимодействия философии и математики.
Примерно тот же вывод можно сделать относительно Шеллинга. В сочинениях этого мыслителя встречаются отдельные натурфилософские размышления о природе математики и её основных объектов: о пространстве и времени, соотношении бесконечного и конечного и т.д. Единство и различие философии и математических наук он связывает с различным пониманием соотношения конечного и бесконечного.
Обращение к анализу математического познания у Гегеля, судя по его первому крупному произведению - "Феноменология духа", обусловлена мотивами, подобными тем, которыми руководствовался Кант. У обоих мыслителей интерес к математике направлялся стремлением к достижению единой цели: Кант пытался построить метафизику как систему достоверного знания, Гегель заявил, что его намереньем "было - способствовать приближению философии к форме науки - к той цели, достигнув, которой она могла бы отказаться от своего имени "любви к знанию" и быть "действительным знанием"". Если Кант считал, что философское и математическое знания по достоверности в идеале могут быть однородными, то Гегель убежден, что природа математических истин "отличается от природы философских истин". Математика, как пишет Гегель, считается наукой, прежде всего потому, что она доказательна. Только доказанное положение считается правомерным элементом системы, в математике "полное выведение результатов есть ход и средства познавания". Является ли такой путь познания идеальным? Нет, отвечает Гегель.
Союз между философией и математикой может быть действительным, если он основан на взаимном интересе. Гегель в принципе считал необходимым обращение математиков к философии. Что касается обращения философов к математике, то по этому вопросу он занял иную позицию, не способствовавшую укреплению союза данных наук. "Поскольку очевидность в математике "покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала", то она неприемлема в философии". Сам Гегель, если учесть, что он не был специалистом математики, для своего времени был очень хорошо знаком, как с историей математики, так и с ее новыми достижениями на уровне распространенных учебных пособий высшей школы.
Гегель знал математику на столько, что никто из его учеников не был в состоянии издать оставшиеся от него многочисленные математические рукописи.
Но мнение Гегеля по вопросу о необходимости философам обращаться к математике было противоположно тому, что он сам делал. С его точки зрения математика не может "что-то определить для метода и содержания философской науки".
Большинство исследователей акцентируют внимание на негативизм Гегеля к математике и недостаточно уделяют внимание тем интересным, оригинальным идеям, которые требуют осмысления и дальнейшего развития. Кроме того, при оценке гегелевской позиции, она не рассматривается в соотношении с реальным процессом развития математических знаний того времени. Чтобы устранить последний недостаток дадим краткую характеристику наиболее выдающихся достижений математической мысли конца XVIII - первых десятилетий XIX столетия и проследим, какое влияние на её развитие оказали взгляды Гегеля и других представителей немецкой классической философии.