МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.
«____»_________________ 2003 г.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ
Дипломная работа
Исполнитель: студентка группы М-51
_____________________ ПЛИКУС Т.Е.
Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.
_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.
Рецензент:доцент, к.ф-м.н.
_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.
Гомель 2003

Реферат
Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.
Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.
Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.
Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.
Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.
Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание
Введение
1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем
1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка
1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка
1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)
2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение
Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.
Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
 (0.1)
с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].
Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.
 (0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
 (0.3)
В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:
x³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0, (0.4)
mx+ny+p=0 (0.5)
в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.
Работа состоит из двух глав.
В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.
Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
 (1.1)
Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:
, (1.2)
где F_k(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:
. (1.3)
Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:
F(x,y)ºx³+a₁x²y+b₁xy²+g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d=0 (1.4)
Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a₁xy+b₁y²+2a₂x+b₂y+b₃)(ax+by+a₁x²+2b₁xy+c₁y²)+(a₁x²+
2b₁xy+3g₁y²+b₂x+2g₂y+g₃)(cx+dy+a₂x²+2b₂xy+c₂y²)=(x3+a₁x²y+b₁xy²+ (1.5)
g₁y³+a₂x²+b₂xy+g₂y²+b₃x+g₃y+d)(fx+gy+k).
Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений
x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):
3a₁₊a₁a₂-f=0, (1.6₁)
(2a₁+2b₂-f)a₁+2a₂b₁-g+6b₁=0, (1.6₂)
2a₁c₁+(2b₁+2c₂-g)b₁+(6b₂-f)g₁=0, (1.6₃)
(4b₁+c₂-g)a₁+(a₁+4b₂-f)b₁+3a₂g₁+3c₁=0, (1.6₄)
c₁b₁+(3c₂-g)g₁=0; (1.6₅)
ca₁+(2a₁-f)a₂+a₂b₂-k+3a=0, (1.7₁)
(2a+d-k)a₁+2cb1+(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+2a₂g₂+3b=0, (1.7₂)
2ba₁+(a+2d-k)b₁+3cg₁+2c₁a₂+(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.7₃)
bb₁+(3d-k)g₁+c₁b₂+(2c₂-g)g₂=0; (1.7₄)
(2a-k)a₂+cb₂+(a₁-f)b₃+a₂g₃=0, (1.8₁)
2ba₂+(a+d-k)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.8₂)
bb₂+(2d-k)g₂+c₁b₃+(c₂-g)g₃=0; (1.8₃)
(a-k)b₃+cg₃-df=0, (1.9₁)
bb₃+(d-k)g₃-dg=0, (1.9₂)
dk=0. (1.9₃)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9₃) в этом случае k=0.
Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a₂=c₁=0, а коэффициенты a₁, b₁, g₁ интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.
Уравнения (1.6₁) – (1.9₃) при этих предположениях будут иметь вид:
3a₁-f=0, (1.10₁)
g+6b₁=0; (1.10₂)
(2a₁-f)a₂+3a=0, (1.11₁)
(4b₁-g)a2+(a₁+2b₂-f)b2+3b=0, (1.11₂)
(2b₁+c₂-g)b₂+(4b₂-f)g₂=0, (1.11₃)
(2c₂-g)g₂=0; (1.11₄)
2aa₂+cb₂+(a₁-f)b₃=0, (1.12₁)
2ba₂+(a+d)b₂+2cg₂+(2b₁-g)b₃+(2b₂-f)g₃=0, (1.12₂)
bb₂+2dg₂+(c₂-g)g₃=0; (1.12₃)
ab₃+cg₃-df=0, (1.13₁)
bb₃+dg₃-dg=0. (1.13₂)
Из условий (1.10₁) и (1.10₂) получаем, что
f = 2a_1, g = 6b₁.
Из условия (1.11₄) имеем
(2c₂-g)g₂=0.
Пусть g_{2 ,} тогда
2c₂-g=0 и g=2c₂,
с другой стороны g = 6b₁, значит
c₂=3b₁.
Имея условия f = 2a_1, g = 6b_1, c₂=3b₁, из соотношений (1.11₁) – (1.11₃), (1.12₁), (1.12₃) и (1.13₁) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:
a_{2 =}  , b₂ = ,
g₂ =  , b₃ =  ,
g₃ =  ,(1.15)
d = .
Равенства (1.12₂) и (1.13₂) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a₁, b₁, b₂:
(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+
24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0, (1.16)
(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-
-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0. (1.17)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:
mx+ny+p=0. (1.18)
В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа
a₂=c₁=0, c₂=3b₁. (1.19)
Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:
m(ax+by+a₁x²+2b₁xy)+n(cx+dy+2b₂xy+3b₁y²)=
=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)
Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):
(a₁-a)m= 0, (1.21₁)
(2b₁-b)m+(2b₂-a)n=0, (1.21₂)
(3b₁-b)n=0; (1.21₃)
(a-g)m+cn-pa=0, (1.22₁)
bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22₂)
pg= 0. (1.22₃)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.22₃) получаем, что g=0.
Условия (1.22₁), (1.22₂) запишутся в виде:
am+cn-pa=0, (1.23₁)
bm+dn-bp= 0. (1.23₂)
Из условий (1.21₁) и (1.21₃) имеем:
(a₁-a)m= 0,
(3b₁-b)n=0.
Пусть m¹0, тогда a₁-a=0 и
a=a₁, (1.24)
а при n¹0, получаем, что 3b₁-b=0 и
b=3b_1. (1.25)
Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21₂) находим выражение коэффициента m:
m= , (1.26)
а соотношение (1.23₁) даст значение коэффициента p:
p= . (1.27)

Из равенства (1.23₂), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):
[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0. (1.28)
Итак, установлена следующая теорема:
Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c₁=a₂= 0, c₂= 3b₁.

 

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:
(2ab₁-ba₁)[3(32a₁b₁b₂-15a₁²b₁-16b₁b₂²) a+(8a₁b₂²-18a₁²b₂+9a₁³) b+
24(a₁b₁²-b₁²b₂) c+(16a₁b₁b₂-15a₁²b₁) d]=0,
(2ab₁-ba₁)[12(7a₁b₁b₂-3a₁²b₁-4b₁b₂²) a²+6(3a₁b₁²-4b₁²b₂) ac+(3a₁²b₁-
-4a₁b₁b₂) bc+2(4a₁²b₂-3a₁³)bd –8a₁b₁²cd+4a₁²b₁d²]=0,
[3(a₁b₁-2b₁b₂) a+(2a₁b₂-a₁²) b-3b₁²c+a₁b₁d] n=0.
Причем b₁¹0, a₁¹0, 2b₁a-ba₁¹0.
Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты
a₁= , b₁=1, b₂=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:
a- b-3c+ d=0, (1.30)
- a+ b+6c- d=0, (1.31)
- a²+ d²+ ac+ bc- bd-2cd=0. (1.32)
Выразим из условия (1.30) коэффициент c
c= a- b+ d, (1.33)
подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d
d= (-21a+ b). (1.34)
Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим
b= a.
Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:
b= a,
c=- a, (1.35)
d=-  a,
a₁= , b₁=1, a₂=0, c₁=0, b₂=0, c₂=3b₁=3.
Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):
a₂=12a, b₂= - a,
g₂=a, b₃= a²,
g₃= - a²,d= a³, (1.36)
m= - n, p= - an.
Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:
 (2.1)
Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:
x³+12ax²- axy+ay²+ a²x- a²y+ a³=0, (2.2)
- nx+ny- an=0. (2.3)
Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:
8192y⁴-11776ay³+5480a²y²-825a³y=0. (2.4)
Из (2.4) получаем, что
y₀=0, y₁= a, y₂= a, y₃= a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:
x₀=0, x₁= - a, x₂= - a, x₃= - a. (2.6)
Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .
Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .
1.     Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда
 (2.7)


Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

= =0.
,
Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут
.
Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка  - седло.
2.     Исследуем точку .
Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно
равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,
,
то есть
, .

Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка  - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.
3.     Исследуем точку .
Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:
 

, .
Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .
4.     Исследуем точку  .
Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:
 
,
Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут
 ,
Корни  - действительные и одного знака.Следовательно точка  - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .
2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости
Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.
Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:
, (2.8)
которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.
Имеем
 
 
Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:
 (2.9)
Введем новое время . Система (2.9) примет вид:
 (2.10)
Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.
Получаем
 (2.11)
Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем
 
Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N₁(0,0) N₂(0, ).
Исследуем характер точек N₁, N₂.
1. Исследуем точку N₁(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N₁:
 (2.12)
Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что
 
Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₁(0,0) - устойчивый узел.
2. Исследуем точку N₂(0, ).
Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N₂:


соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₂(0, )-седло.
Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]
 
Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:
 (2.14)
Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:
 (2.15)
При z=0, получаем:
 (2.16)
Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем
 
Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N₃(0,0).
Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N₃:


соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₃(0,0) – устойчивый узел.
Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.
Таблица 1.

a	О	А	В	С	∞
					N1	N2	N3
(-∞;0)	с	У+	с	У-	У+	с	У+
(0;+∞)	с	У-	с	У+	У+	с	У+

Примечание: через с, у⁺, у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.
Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
а) (a>0)
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
б) (a<0)
Рис.1
2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре
Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.
Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.
Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.
Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N₃, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, w - сепаратрисы – к точке С и N₃.
В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.
Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1       Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.
2       Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.
3       Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.
4       Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.
5       Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.
6       Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.
7       Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.
8       Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.
9       Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256
10  Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения  , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.
11  Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а>0)

б) (а<0)

                                                                                   Рис. 2