Поряд з основним завданням діти одержують ще додаткові. Найчастіше вони мають логічне навантаження. Учні працюють над ними тоді, коли своє завдання вони вже зробили і до наступного етапу лишився час. Таким чином, вони вчаться працювати зосереджено, не втрачаючи ні секунди дорогоцінного часу на уроці.
Метод диференціації дає помітні результати. На таких уроках матеріал засвоюється глибоко. Цей метод вже довів свою життєздатність, і багато вчителів переконались у його перевагах.
Крім диференціації для того, щоб створити на уроці ситуації успіху слід врахувати результативний етап навчання. Тут слід передбачити вчителеві, які саме типи помилок можуть допустити учні при виконанні даної задачі. Хоч учні здатні до самоконтролю, але їм слід створити для цього потрібні передумови. Методи перевірки на уроці теж мають бути вибрані відповідно до змісту завдання, темпу уроку, індивідуальних особливостей учня. Це може бути усне опитування, завдання з обмеженим терміном виконання чи без зазначеного терміну виконання. Це може бути власна розгорнута розповідь або питання «закритого» типу (вибрати готовий варіант відповіді).
Таким чином, новітні форми організації навчання початкової ланки загальноосвітньої школи створюють умови для ефективного розвитку пізнавальної сфери молодших школярів, забезпечують впровадження в освітню практику особистісно-розвивального підходу, за якого навчальний процес виступає як психологічна детермінанта реалізації творчого потенціалу кожного учня.

1.2 Класифікація простих задач у математичних підручниках
Прості задачі в системі навчання математики відіграють дуже важливу роль. За допомогою розв'язування простих задач формують одне з центральних понять початкового курсу математики поняття про арифметичні дії та ряд інших понять. Уміння розв'язувати прості задачі є підготовчим ступенем опанування учнями умінь розв'язувати складені задачі, бо розв'язування складеної задачі зводиться до розв'язування ряду простих задач. Розв'язуючи прості задачі, діти вперше ознайомлюються із задачею і їх складовими частинами. У зв'язку з розв'язуванням простих задач діти опановують основні прийоми роботи над задачею. Тому вчитель повинен знати, як організувати роботу над простими задачами кожного виду.
Тому зараз ми розглянемо класифікацію простих задач.
Прості задачі можна поділити на групи відповідно до арифметичних дій, за допомогою яких їх розв'язують.
Однак з погляду методики зручніша інша класифікація: поділ задач на групи залежно від тих понять, які формують під час їх розв'язування, Можна виділити три такі групи. Охарактеризуємо кожну з них.
До першої групи належать прості задачі, під час розв'язування яких діти засвоюють конкретний зміст кожної з арифметичних дій, тобто діти засвоюють, яка арифметична дія пов'язана з тією або іншою операцією над множинами. У цій групі п'ять задач:
1) Знаходження суми двох чисел.
Задача: Дівчинка вирізала 4 зелених кружечків і 5 червоних. Скільки всього кружечків вирізала дівчинка?
2) Знаходження остачі.
Задача: У книжці 10 сторінок. Юра прочитав З сторінки. Скільки сторінок ще залишилось прочитати?
3) Знаходження суми однакових доданків (добутки).
Задача: На трьох поличках були книжки, по 5 книжок на кожній. Скільки всього було книжок? 4) Поділ на рівні частини.
У двох банках вмістилося 6л води, порівну в кожній. Скільки літрів води вмістилося в одній банці?
5) Ділення на вміщення.
Задача: Кожен учень вивчив на конкурс по 2 вірші. Усього діти вивчили 12 віршів. Скільки учнів брали участь у конкурсі.
До другої групи належать прості задачі, під час розв'язування яких учні засвоюють зв'язок між компонентами і результатами арифметичних дій. До них належать задачі на знаходження невідомих компонентів.
1) Знаходження першого доданка за відомою сумою і другим доданком.
Задача: Тато з Олегом посадили 8 дерев. Олег посадив З дерева. Скільки дерев посадив тато?
2) Знаходження другого доданка за відомою сумою і першими доданком.
Задача: У хлопчика було 10 білих голубів і кілька сірих. Всього було 14 голубів.
Скільки було сірих голубів?
3) Знаходження зменшуваного за відомим від'ємником і остачею. Задача: Оленка купила декілька наклейок. Коли 2 наклейки вона
подарувала сестрі, то у неї залишилось ще 7 наклейок. Скільки наклейок купила Оленка?
4) знаходження від'ємника за відомим зменшуваним І остачею. Задача: Оленка купила 9 наклейок. Коли кілька наклейок вона
подарувала сестрі, то у неї залишилося 7 наклейок. Скільки наклейок Оля подарувала сестрі?
5) Знаходження першого множника за відомим добутком і другим множником. Наприклад: Невідоме число помножили на 5 і дістали 60. Знайти невідоме число. 6) знаходження другого множника за відомим добутком і першим множником. Наприклад: 5 помножили на невідоме число і дістали 40. Знайти невідоме число.
7) Знаходження діленого за відомим дільником і часткою. Наприклад: Невідоме число поділили на 4 і дістали 8. знайти невідоме число.
8) Знаходження дільника за відомим діленим і часткою Наприклад: 72 поділили на невідоме число і дістали 8. Знайти невідоме число.
До третьої групи належать задачі, під час розв'язування яких розкривають новий зміст арифметичних дій. До них належать прості задачі, пов'язані з поняттями різниці (6 видів), і прості задачі, пов'язані з поняттям кратного відношення (6 видів),
1) Різницеве порівняння чисел (1 вид).
Задача: Мотоцикліст проїхав шлях за 2 години, а велосипедист за 4 години. На скільки більше часу затратив велосипедист?
2) Різницеве порівняння чисел (П вид).
Задача: Мотоцикліст проїхав шлях за 2 години, а велосипедист за 4 години. На скільки менше часу затратив мотоцикліст?
3) Збільшення числа на кілька одиниць (пряма форма)
Задача: Мотоцикліст подолав шлях за 2 години. А велосипедист затратив на цей шлях на 2 години більше. Скільки часу затратив велосипедист?
4) Збільшення числа на кілька одиниць (непряма форма).
Задача: Мотоцикліст подолав шлях за 2 години, це на 2 години менше, ніж велосипедист. Скільки часу затратив велосипедист?
5) Зменшення числа на кілька одиниць (пряма форма).
Задача: Велосипедист проїхав шлях за 4 години. А мотоцикліст затратив на 2 години менше, Скільки часу затратив мотоцикліст?
6) Зменшення числа на кілька одиниць (непряма форма).
Задача: Велосипедист подолав шлях за 4 години, це на 2 години більше, ніж мотоцикліст. Скільки часу затратив мотоцикліст?
А тепер назвемо задачі пов'язані з поняттям кратного відношення.
1) Кратне порівняння чисел, або знаходження кратного відношення двох чисел (І вид).
Задача: дівчинка купила 12 зошитів і 2 альбоми. У скільки разів більше зошитів, ніж альбомів купила дівчинка?
2) Кратне порівняння чисел, або знаходження кратного відношення двох чисел (II вид).
Задача: дівчинка купила 12 зошитів і 2 альбоми. У скільки разів менше альбомів, ніж зошитів купила дівчинка?
3) Збільшення числа в кілька разів (пряма форма).
Задача: Дівчинка купила 2 альбоми, а зошитів у 6 разів більше. Скільки зошитів купила дівчинка?
4) Збільшення числа в кілька разів (непряма форма).
Задача: Дівчинка купила 2 альбоми, це у 6 разів менше, ніж зошитів. Скільки зошитів купила дівчинка?
5) Зменшення числа в кілька разів (пряма форма).
Задача: Дівчинка купила 12 зошитів, а альбомів у 6 разів менше. Скільки альбомів купила дівчинка?
6) Зменшення числа в кілька разів (непряма форма).
Задача: Дівчинка купила 12 зошитів, це у 6 разів більше, ніж альбомів. Скільки альбомів купила дівчинка?
Поза групами існують ще декілька видів задач.
Це задачі на час, задачі на рух, задачі на знаходження числа за його частиною і частини від числа, задачі на ділення з остачею, на знаходження площі прямокутника та задачі з логічним навантаженням.
Усі прості задачі, крім задач на непряме збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць або в кілька разів, є обов'язковою складовою частиною програми, так званий програмний мінімум. Тут ми назвали основні види простих задач, з якими зустрічаються у своїх підручниках учні початкових класів.
У нашому дослідженні ми матимемо справу з простими задачами III групи - 12-ма видами задач.

Розділ ІІ. Методична система простих задач, пов’язаних з різницевим і кратним відношенням
2.1 Аналіз системи задач ІІІ групи в чинних підручниках математики шляхи її вдосконалення.
Проаналізуємо систему задач третьої групи, що вміщені у підручниках математики.
Візьмемо для порівняння два підручники для 1 класу. Автором одного підручника є Богданович М.В., а іншого – Кочина Л.П.
У підручнику М.В. Богдановича для 1 класу задачі, пов’язані з поняттям різниці учні починають вивчати у розділі «Додавання і віднімання в межах 10. Складання таблиць додавання в віднімання».
Після вивчення таблиць додавання і віднімання числа 2 цілий урок відводиться на ознайомлення із простими задачами, пов’язаними із поняттями різниці. За допомогою вправи 1, що на сторінці 54 вчитель пояснює дітям поняття «збільшити», «зменшити». Учні мають запам’ятати з цього 2 правила. Перше: «Щоб збільшити, треба додати», друге: «щоб зменшити, треба відняти».
Далі на основі вправи 2 на тій же сторінці діти знайомляться із структурою задачі. Тобто виділяють умову задачі, запитання, розв’язання та відповідь. Все це вивчається на конкретному прикладі задачі, яку одночасно розв’язують. Ця задача на збільшення числа на кілька одиниць, у прямій формі.
У даному підручнику задачі, що пов’язані з поняттям різниці зустрічаються дуже часто.
На сторінці 63 на основі вправи 1 і 2 учні знайомляться із задачами на різницеве порівняння чисел. У вправі 1 дано 8 кружечків жовтого кольору і 5 кружечків зеленого кольору. Діти мають дати відповідь на питання:
-         На скільки 5 менше, ніж 8.
Вправа 2 аналогічна.
Усього М.В. Богданович вмістив у цьому підручнику 60 простих задач, що пов’язані з поняттям різниці. Серед них 25 задач на зменшення числа на кілька одиниць, 19 задач на збільшення числа на кілька одиниць і 26 задач на різницеве порівняння чисел. Серед задач на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць у підручнику можна знайти кілька задач цього виду у непрямій формі. Але вони тут позначені дірочкою, тобто подаються як задачі підвищеної складності. Ось для прикладу одна така задача. Вона вміщена на сторінці 82.
Задача: Миколці 6 років. Він на 2 роки старший від Олі. Скільки років Олі?
У підручнику М.В. Богдановича переважно більшість задач містить малюнок. Це робить задачу цікавішою для дитини і допомагає при розв’язуванні задачі, як наочний матеріал. Крім того дуже часто пропонується учням самим скласти задачу за малюнком, і відповісти на задане питання. Я думаю що це дуже важливо для розвитку не лише мислення, але й математичного мовлення учнів. Ось для прикладу така задача. Це вправа 3, що на сторінці 88.
Питання до задачі: на скільки дм мавпочка вища від зайчика? За малюнком першокласники можуть скласти таку задачу: зріст мавпочки 6 дм, а зріст зайчика 4 дм. Тепер можна відповісти на питання задачі, тобто розв’язати її.
Крім того, зустрічаються задачі, які містять не одне запитання, а два і більше. Для прикладу можна взяти задачу 4 на сторінці 98. учням спочатку пропонують визначити за малюнком скільки копійок у кожній скарбничці, а тоді порівняти на скільки копійок у першій скарбниці більше ніж у третій.
На мою думку, система задач третьої групи, що вміщена у підручнику М.В. Богдановича покликана дати учням глибокі, ґрунтовні знання щодо розв’язування задач даної групи.
Для порівняння візьмемо підручник математики для першого класу, авторами якого є Л.П. Кочина, Н.П. Листопад.
Знайомляться учні із задачею, її структурою на сторінці 55, після вивчення теми «Додавання і віднімання в межах5.» Ознайомлення проходить у вигляді гри, де про задачі дітям розповідає Мудра Сова.
На сторінці 67 тема уроку звучить так: «На скільки більше? На скільки менше?». Тут дітям пропонується скласти задачі за малюнками. Для цієї теми відведено ще й наступний урок.
У даному підручнику є цілі уроки, відведеній темі «Задачі». Наприклад – сторінка 77. У підручнику М.В. Богдановича такі уроки не передбачено. Також я побачила, що у підручнику Л.П. Кочиної часто зустрічаються такі задачі, де дано 2 відрізки, а діти мають визначити наскільки см перший довший (або коротший) від другого. Так діти не лише розв’язують задачу, а самі формулюють її умову, а також закріплюють поняття «відрізок» і вчаться користуватися лінійкою. Такі завдання вміщено на сторінці 68 вправа 5, на сторінці 83 вправа 5, сторінці 128 вправа 5.
Дуже багато вміщено задач, в яких треба учням самим поставити запитання, самим скласти задачу за малюнком і даним запитанням, скласти задачу з даними словами, або самому вставити у задачі числові дані. Це розвиває мислення учнів, фантазію, математичне мовлення.
Наприклад на сторінці 104 діти повинні за малюнком скласти задачу, але спочатку із запитанням «на скільки більше?», а потім цю саму задачу із запитанням «на скільки менше?». На сторінці 110 у вправі 7 запропоновано скласти задачу і використати слова «на 3 кг важча».
У даному підручнику зустрічаються теми «Поміркуємо». Це уроки, на яких теж розв’язуються майже самі задачі. Загалом у підручнику Л.П. Кочиної вміщено 56 простих задач ІІІ групи. Це приблизно така ж сама кількість, як і у підручнику М.В. Богдановича. Але, на мою думку, у підручнику Л.П. Кочиної задачі краще згруповані, пояснення відбувається в ігровій формі, що відповідає віковим особливостям першокласників. Більше є завдань творчого характеру, що свідчить про те, що звернена особлива увага на розвивальну функцію задач. Вважаю, що система задач, що пов’язані з різницевим і кратним відношенням у підручнику Л.П. Кочиної представлена краще. Цей підручник справляє враження цікавої дитячої книжки, а підручник М.В. Богдановича здається дещо строгим, у ньому менше малюнків і вони не такі яскраві. А щоб дитина зацікавилася, хотіла скласти задачу за поданим малюнком, то він їй має сподобатись.
Тепер візьмемо підручник з математики для 2 класу. М.В. Богдановича. Задача на зменшення числа на кілька одиниць є вже на самому першому уроці. Учням пропонується самим скласти її за малюнком. У тому ж розділі на сторінці 13 вправа 62 такого типу: Склади і розв’яжи задачу із запитанням: „На скільки більше?” (за малюнком). Це задача на різницеве порівняння чисел. Є багато завдань на порівняння довжини відрізків. Наприклад: Порівняй довжину даних відрізків. На скільки сантиметрів один із них коротший від іншого? (ст. 28 №140). У перших двох розділах задачі, пов’язані з поняттям різниці зустрічаються часто. Усього тут їх вміщено 22 задачі одні з них рекомендовані для розв’язування на уроці, інші – на домашнє завдання. Пізніше, коли учні знайомляться із задачами на дві дії, задачі, пов’язані з поняттям різниці зустрічаються набагато рідше. Вважаю, що на цих уроках задачі одного виду можна давати учням під час такого етапу уроку, як усний рахунок. Саме так я і роблю у своєму класі. Коли учні вивчають таблиці множення і ділення на 2,3,4 і 5 немає у цьому підручнику жодної задачі ІІІ групи. І аж після вивчення таблиці множення числа 5 діти знайомляться із задачами, пов’язаними з кратним відношенням. Тут учні повинні засвоїти правила. Перше: щоб збільшити число в х разів, треба його помножити на х. Друге правило: щоб зменшити число в х разів, треба його поділити на х. Лише тоді другокласники зможуть розв’язувати дані задачі. Крім того ці задачі ще й тренують дітей у кращому запам’ятовуванні таблиць множення і ділення. У підручнику дано 6 простих задач на збільшення і зменшення числа в кілька разів. Під час повторення в кінці року вміщено лише 3 задачі ІІІ групи. Я думаю, що їх могло би бути більше. І вважаю, що під час розв’язування задач з кратним відношенням поряд мають бути задачі пов’язані з поняттям різниці. Для того щоб учні добре засвоїли різницю між висловами „більше на...”, „більше у... разів”, „менше на...”, „менше у... разів”. Тому що саме тут діти часто допускають помилки. Не лише, коли розв’язують прості задачі, але й тоді коли ці задачі виступають як частина складених задач.
Переходимо до аналізу системи задач ІІІ групи у підручнику М.В. Богдановича для третього класу.
У підручнику для третьокласників задач даної групи, якщо порівняти з підручником другого класу і першого, є небагато. Це пов’язано з тим, що у третьому класі діти розв’язують переважно складені задачі. Всього задач, пов’язаних з різницевим і кратним відношенням у цьому підручнику вміщено 18. найбільш їх міститься у розділі „порівняння величин і чисел”. Є задачі у непрямій формі. Це наприклад, задача під номером 592, або 686. Прості задачі у третьому класі учні розв’язують усно. Причому, вони можуть бути використані на будь – якому етапі уроку. Щодо задач у непрямій формі, то у 3 класі слід звернути на них особливу увагу. Це просто особливий вид задач. Ці задачі розвивають мислення, логіку міркувань, математичне мовлення. Але у підручнику їх є замало. Думаю, варто учням зустрічатися з такими задачами частіше. Тут уже все залежить від учителя. А ось переді мною М.В. Богдановича для 4 класу. У цій книжці прості задачі ІІІ групи зустрічаються рідко. Усього я побачила тут 8 задач. Але прості задачі, що пов’язані з різницевим і кратним відношенням дуже і дуже часто виступають тут частиною складених задач. Так що учні все одно працюють над ними.
Ось ми і проаналізували систему задач ІІІ групи, що вміщені у чинних підручниках. Більшість підручників я взяла М.В. Богдановича. За тими підручниками працює більша частина вчителів та учнів. З вище сказаного видно, що дані задачі найбільше вивчаються у 1 класі.
З кожним наступним роком їх кількість поступово зменшується. У 4 класі ми вже їх бачимо найбільше як частину складених задач.
2.2 Методика роботи над простими задачами, пов'язаними з різницевим і кратним відношенням
Задачі всіх шести видів, пов'язані з поняттям різниці, вводять у І класі в такому порядку: спочатку розглядають задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, виражені в прямій формі, потім задачі на різницеве порівняння і, нарешті, задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, виражені в непрямій формі. Ці задачі у першому класі подаються як задачі підвищеної складності. Такий порядок зумовлений тим, що під час розв'язування задач на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, виражених у прямій формі, легше розкрити зміст виразів «більше на...», «менше на...», а також подвійний зміст різниці (якщо перше число більше від другого на кілька одиниць, то друге число менше від першого на стільки ж одиниць), що буде основою для розв'язування задач на різницеве порівняння і на збільшення та зменшення числа на кілька одиниць, виражених у непрямій формі.
Розглядаючи кожну із задач цієї групи, доцільно спочатку розглянути задачі з множинами предметів, потім з величинами і, нарешті, з абстрактними числами. Під час розв'язування задач з множинами легко ілюструвати множини і операції над ними відповідно до умови задачі, що забезпечить розуміння вибору дії і призведе до узагальнення способу розв'язування задач. Потім учні поширять цей спосіб розв'язування на задачі з величинами і абстрактними числами.
Задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, виражені в прямій формі, розглядають одночасно, після розгляду задач на знаходження суми і остачі.
Спочатку вводять задачі, в яких дано різницю чисельностей множини і її правильної ч а с т и н и. Під час розв'язування цих задач засвоюються зв'язки: якщо додати 1 (2, 3,...), то буде більше на 1 (2, 3,...); якщо відняти 1 (2, З,...), то буде менше на 1 (2, 3,...); щоб було більше на" 1 (2, З,...), треба додати 1 (2, 3,...); щоб було менше на 1 (2, 3,...), треба відняти
1 (2, 3,...). Ці співвідношення можна розкрити, виконуючи такі вправи:
1) Покладіть 2 кружки, присуньте ще 1 кружок. Скільки тепер кружків? (3.) Як дізналися? (До 2 додали 1, буде 3). Більше чи менше тепер кружків? - (Більше.) Додали 1, стало більше на 1.
2) Якщо до 3 додати 1, то буде більше чи менше, ніж 3? На скільки більше?
3) Що треба зробити, щоб знайти число, яке більше за 7 на 1? (Додати 1.)
Аналогічно будують вправи, "які розкривають зв'язок між відніманням і зменшенням числа на кілька одиниць.
Після такої підготовчої роботи переходять, до розв'язування задач. Наприклад, пропонують задачу: «Школярі мали прополоти 7 грядок, а пропололи на 2 грядки більше. Скільки грядок пропололи школярі?»
— Скільки грядок треба було прополоти школярам? (7.) Зобразимо грядки прямокутниками. (Креслять прямокутники.) Що сказано про число грядок, які пропололи школярі? (їх було на 2 більше.) Що це означає? (Вони пропололи ще 2 грядки.) Як це зобразити? (Узяти ще 2 прямокутники). Візьміть.
Аналогічно міркують, розв'язуючи задачі на зменшення числа па кілька одиниць.
Підготовчу роботу до розв'язування задач на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, в яких дано різницю чисельностей двох множин, починають з перших уроків підготовчого періоду. Вона зводиться до розкриття або уточнення виразів «стільки ж», «більше на...», «менше на...» при виконанні вправ виду:
1) Візьміть у праву руку 4 палички, а в ліву 4 кружки. Що можна сказати про кількість паличок і кружків? (їх порівну; кружків стільки ж, скільки паличок).
2) Покладіть в один ряд 6 кружків, а в другий стільки ж квадратів. Присуньте ще 2 квадрати. Яких фігур більше? Квадратів стільки ж, скільки кружків», та ще 2; у цьому разі кажуть, що квадратів на 2 більше, ніж кружків.
3) Покладіть зліва 4 квадрати, а справа трикутники — на З більше, ніж квадратів. Що означає «на 3 більше»? (Стільки ж та ще 3.)
Аналогічно розкривають зміст виразу «менше на»: менше на
2 — це стільки ж без двох або не вистачає двох, щоб було стільки ж.
Тепер можна ввести, наприклад, таку задачу: «Дівчинка вирізала 4 прапорці, а зірочок на 2 більше. Скільки зірочок вирізала дівчинка?»
— Скільки прапорців вирізала дівчинка? (4.) Розкладіть на партах 4 прапорці в ряд. (Виконують.) Що сказано про кількість, зірочок? (їх на 2 більше, ніж прапорців.) Що це означає? (Скільки ж та ще 2.) Розкладіть зірочки під прапорцями. (4 зірочки розкладають під прапорцями і 2 окремо.) Зірочок стільки ж, скільки прапорців (показує), та ще 2. Як розв'язати задачу? (Треба до 4 додати 2, буде 6.) Чому треба додати? (Зірочок вирізали на 2 більше, ніж прапорців, отже, їх вирізали стільки ж, скільки прапорців, та ще 2.)
Задачі на зменшення числа на кілька одиниць ілюструють так. Пропонують задачу: «У великій кімнаті стояло 6 стільців, а в маленькій на 2 стільці менше. Скільки стільців було в маленькій кімнаті?» На набірному полотні в один ряд ставлять 6 стільців (малюнки), у другій стільки ж. Потім з другого ряду приймають (відсувають) 2 стільці. Вибір арифметичної дії пояснюють так: у маленькій кімнаті стояло на 2 стільці менше, отже, там стояло 6 без 2 стільців, треба від 6 відняти 2.
Спочатку під час розв'язування кожної задачі треба використати ілюстрації, які допоможуть вибрати дію, а пізніше досить зробити короткий запис спочатку під керівництвом учителя, а потім самостійно, аналізуючи при цьому задачу.
Розв'язування; задач на різницеве порівняння може бути добре засвоєно, якщо діти не тільки зрозуміють відношення «більше» і «менше», а й розумітимуть подвійний зміст різниці: якщо перше число більше від другого на кілька одиниць, то друге число менше від першого на стільки ж одиниць. Підготовчі вправи саме й повинні забезпечити засвоєння учнями цього зв'язку. Наведемо зразки таких вправ:
1) Покладіть в один ряд 7 квадратів, а в другий — на 2 квадрати більше. Скільки квадратів у другому ряді? На скільки квадратів більше в другому ряді? (На 2.) Що можна сказати про число квадратів у першому ряді? (їх менше.) На скільки? (На 2.) Так, у першому ряді не вистачає двох квадратів, щоб було стільки ж, скільки в другому ряді. В другому ряді на 2 квадрати більше, ніж у першому, тоді в першому на 2 квадрати менше. (Показує.)
2) Розв'язавши деякі задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, проаналізуйте те саме співвідношення.
3) Розв'яжіть задачі-запитання, наприклад: «У нашому класі дівчаток на З менше, ніж хлопчиків. Що можна сказати про кількість хлопчиків?»
4) Задачі з виразом «на стільки більше» перетворіть у задачі з виразом «на стільки менше» і навпаки. Наприклад, діти розв'язали задачу: «Довжина класу 8 м, а ширина на 2 менша. Чому дорівнює ширина класу?» Учитель пропонує скласти з цими самими числами, але з словом «більше» нову задачу, в якій треба визначити довжину класу.
Із задачами на знаходження різниці можна ознайомити так. (Прийом запропонувала Н. С. Попова.)
Учитель прикріплює на дошці зліва 6 кружків із зеленого паперу, а справа 9 червоних кружків; кожний кружок обводить крейдою. Діти лічать, скільки кружків зліва і скільки справа, встановлюють, що справа більше, ніж зліва.
Треба дізнатися, на скільки червоних кружків більше, ніж зелених. Для цього зніматимемо відразу по одному червоному і одному зеленому кружку (знімають доти, доки на дошці не залишаться лише 3 прикріплені червоні кружки і «сліди» від знятих кружків.
Скільки зелених кружків зняли? (6.) А червоних? (Також 6; стільки ж, скільки зелених). Скільки червоних кружків залишилось? (3.) На скільки було більше червоних кружків, ніж зелених? (На 3.) Як дізналися? (Від 9 відняли 6, буде 3.) Що показує число 33 (Червоних кружків на 3 більше, ніж зелених, а зелених на З менше, ніж червоних?) Якою дією дізналися, на скільки більше червоних кружків, ніж зелених, і на скільки зелених кружків менше, ніж червоних? (Відніманням. Від 9 відняли 6.)
Надалі під час розв'язування таких задач треба використовувати аналогічні ілюстрації, звертаючи щоразу увагу на те, що, визначаючи, на скільки одиниць одне число більше чи менше від другого, виконують дію віднімання.
Внаслідок спостережень учні формулюють висновок: щоб дізнатися, на скільки одне число більше чи менше від другого, треба від більшого числа відняти менше. Далі діти розв'язують задачі, виходячи з цього правила.
Надалі, узагальнюючи спосіб розв'язування, важливо запобігти утворенню формальних зв'язків: діти часто слово «більше» пов'язують лише з дією додавання, а «менше» — з дією віднімання. Для цього треба пропонувати пари задач, аналогічні такій:
1) У Михайлика було 7 кроликів, а у Василька на 2 кролики більше. Скільки кроликів було у Василька?
2) У Володі було 10 кроликів, а у Євгена 6 кроликів. На скільки більше кроликів було у Володі, ніж у Євгена?
Розв'язавши задачі цієї пари, треба запитати, чому їх розв'язують різними діями, хоч в обох є слово «більше». Діти мають сказати, що під час розв'язування першої задачі знаходимо число, яке більше від заданого, а розв'язуючи другу задачу, дізнаємося, на скільки одне число більше за друге.
Підготовкою до розв'язання задач на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, виражених у непрямій формі, є добре знання подвійного змісту різниці, що й повинно бути міцно засвоєне дітьми під час розв'язування задач на різницеве порівняння.
Обидві ці задачі розглядають одночасно. Спочатку треба використати ілюстрації і докладно проаналізувати задачі. Наприклад, учень пропонує розкласти квадрати і кружки в два ряди так, щоб квадратів було 6 і щоб їх було на 2 більше, ніж кружків.
Скільки кружків ви поклали? (4.) Як дізналися, що треба покласти 4 кружки? (Від 6 відняли 2.) Чому віднімали, адже в задачі сказано «на 2 більше»? (Це квадратів на 2 більше, ніж кружків, отже, кружків буде на 2 менше, ніж квадратів.)
Виконавши подібні підготовчі вправи, можна ознайомити дітей з розв'язуванням задач.
Дуже важливо при цьому навчити дітей аналізувати задачі. Під час аналізу задачі діти повинні виділити шукане число і встановити, більше воно чи менше, ніж задане число. Такий методичний прийом навчання аналізу задачі виправдав себе на практиці. Дітям пропонують керуватися такими правилами:
1) Треба подумати, що запитується в задачі.
2) Треба подумати, яке буде число у відповіді: більше чи менше, ніж відоме, і сказати, за допомогою якої дії можна розв'язати задачу.
Спочатку цими правилами діти користуються під керівництвом учителя, а потім самостійно. Так, розв'язуючи задачу «У полі працювало 10 комбайнів; їх було на 4 менше, ніж вантажних машин. Скільки вантажних машин працювало в полі?», учень міркує: «Спочатку я подумаю, що треба визначити в задачі: треба визначити, скільки вантажних машин працювало в полі; тепер я подумаю, вантажних машин було більше, чи менше, ніж комбайнів: якщо комбайнів було на 4 менше, ніж вантажних машин, то, отже, вантажних машин було на 4 більше, ніж комбайнів. Задачу розв'язуємо додаванням».
Для узагальнення способу розв'язання цих задач порівнюємо розв'язання пар задач, аналогічних такій:
1) Братові 5 років, він на 2 роки старший від сестри. Скільки років сестрі?
2) Братові 10 років, а сестра на 3 роки старша. Скільки років сестрі?
Розв'язавши ці задачі, треба запитати, чому вони розв'язані різними діями, хоч в обох сказано «старші».
Корисно також розв'язувати вправи на перетворення задач, сформульованих у непрямій формі, у задачі, сформульовані в прямій формі, і навпаки.
Для узагальнення розв'язання задач, пов'язаних із поняттям різниці, доцільно використати прийом складання і розв'язування учнями всіх шести задач, пар або трійок задач із збереженням того самого сюжету і чисел.
Прості задачі, пов'язані з поняттям кратного відношення, вводять у такому самому порядку, як і задачі, пов'язані з поняттям різниці.
Розв'язуючи задачі на збільшення числа в кілька разів, виражені в прямій формі, спираються на добре розуміння конкретного змісту дії множення і змісту виразу «більше...». Отже, підготовчу роботу треба спрямувати на вивчення цих питань. Щоб розкрити зміст виразу «більше в...», доцільно виконати вправи, подібні до таких:
1) Покладіть зліва 4 кружки, а справа 2 рази по 4 кружки. У цьому разі кажуть, що справа кружків у 2 рази більше, ніж зліва; бо там 2 рази по стільки кружків, скільки їх зліва; зліва у 2 рані менше, ніж справа,— там один раз 4 кружки.
2) Покладіть зліва 2 квадрати, а справа 3 рази по 2 квадрати. Що можна сказати про число квадратів справа: їх більше чи менше, ніж зліва? (їх у 3 рази більше, ніж зліва, а зліва в 3 рази менше, ніж справа.).
3) Покладіть справа 3 трикутники, а зліва в 4 рази більше. Що це означає? (По 3 трикутники взято 4 рази). ТУТ о можна сказати про число трикутників справа: їх більше чи менше, ніж зліва? (їх у 4 рази менше.)
Виконавши кілька таких вправ, можна приступити до розв'язування задач.
Покладіть в один ряд 5 квадратів, а в другий у 2 рази більше. Як ви це зробите? (Покладіть 2 рази по 5 квадратів.) Скільки всього квадратів у другому ряді? (10.) Як дізналися? (5 помножили на 2.)
Тепер можна розглянути задачі з конкретним змістом, наприклад: «У Володі було 2 простих олівці, а кольорових у 3 рази більше. Скільки кольорових олівців було у Володі?» З'ясовують, що означає «у 3 рази більше», потім задачу ілюструють і розв'язують.
Вибір арифметичної дії діти пояснюють так: кольорових олівців було в 3 рази більше, отже, їх було 3 рази по 2, треба 2 помножити на 3.
Розв'язавши задачу, треба запитати: «Що можна сказати про кількість простих олівців — їх більше чи менше, між кольорових, і в скільки разів?» Такі запитання допоможуть дітям зрозуміти зміст виразу «менше в...». Внаслідок розв'язування багатьох таких задач діти засвоюють, що число можна збільшити в кілька разів за допомогою дії множення. Вибір арифметичної дії вони пояснюють коротше: щоб дістати в З рази більше, треба... помножити на 3.
Розв'язування задач на збільшення числа в кілька разів треба поєднувати з розв'язуванням задач на збільшення числа на кілька одиниць, щоб діти їх не плутали.
Задачі на зменшення числа в кілька разів, виражені в прямій формі, розглядають після того, як діти набудуть умінь розв'язувати задачі із застосуванням ділення на рівні частини, засвоять подвійний зміст відношення: якщо перше число більше за друге в кілька разів, то друге менше від першого у стільки ж разів. Це співвідношення діти спочатку засвоюють в процесі роботи над задачами на збільшення числа в кілька разів.
Ознайомити з розв'язанням цих задач можна приблизно так.
Покладіть у ряд 6 кружків. У другий ряд треба покласти в З рази менше кружків. Якщо в другому ряді їх буде в 3 рази менше, то що можна сказати про кількість кружків у першому ряді? (їх буде в 3 рази більше.) Отже, у першому ряді 3 рази по стільки, скільки повинно бути в другому ряді. Як дізнатися, скільки кружків повинно бути в другому ряді? (Треба 6 поділити на 3, буде 2.) Виконайте це за допомогою кружків. (Виконують.) У кожній частині буде по 2. У другому ряді повинно бути 2 кружки, покладіть їх. Розв'язавши кілька аналогічних вправ, діти засвоюють, що взяти, наприклад, кружки у 2 (3, 4,...) рази менше, ніж задано,— це означає поділити задане число кружків на 2 (3, 4,...) рівні частини і взяти стільки кружків, скільки їх в одній такій-частині.
Пізніше пояснення формулюють коротше: щоб дістати в 3 рази менше, треба... поділити на 3.
Потім можна включати задачі з конкретним змістом, розглядаючи їх одночасно з задачами на зменшення числа на кілька одиниць. Підготовкою до розв'язування задач на кратне порівняння повинно бути добре розуміння подвійного змісту відношення і уміння розв'язувати задачі із застосуванням ділення на вміщення. Перші задачі розв'язують за допомогою безпосереднього оперування предметами. Наприклад, дітям пропонують покласти в один ряд 8 трикутників, а в другий 2 трикутники і визначити, у скільки разів більше трикутників у першому ряді, ніж у другому. Виконуючи завдання, діти міркують так: «Визначимо, скільки разів по 2 трикутники в першому ряді, для цього поділимо 8 трикутників по 2, буде 4 рази по 2; отже, у першому ряді в 4 рази більше трикутників, ніж у другому, а в другому в 4 рази менше, ніж у першому». Виконавши ряд таких вправ, діти доходять висновку: щоб визначити, у скільки разів одне з чисел більше або менше від другого, треба більше число поділити на менше. Надалі під час розв'язування задач на кратне порівняння діти спираються на цей висновок. Як і раніше, задачі беруть з різним змістом; при цьому задачі на кратне порівняння розв'язують одночасно з задачами на різницеве порівняння.