Содержание
 
    Введение------------------------------------------------------------------- 3 
1.          Понятие свободной полугруппы------------------------- 4
1.1. Слова------------------------------------------------------------ 4
1.2. Понятие свободной полугруппы-------------------------- 5
2.          Применение--------------------------------------------------- 9
2.1. Циклические (моногенные) полугруппы---------------  9
2.2. Сводные коммутативные полугруппы------------------ 12
2.3. Упражнения-------------------------------------------------- 13
3.          Обзор результатов по проблеме Туэ-------------------- 15
Литература----------------------------------------------------------- 

Введение
Дипломная работа посвящена теории свободных полугрупп. Свободные алгебраические объекты играют важную роль в общей алгебре, поскольку любая алгебраическая структура является гомоморфным образом свободной алгебраической структуры того же типа.
В теории полугрупп свободные объекты описываются конструктивно, именно как полугруппы слов над некоторым алфавитом. Поэтому  большое место в работе уделено рассмотрению свойств полугрупп слов. Эти свойства носят, как правило, комбинаторный характер.
Кроме того, в работе изучаются и абстрактные свойства свободных полугрупп и некоторых связанных с ним полугрупп.
В первом параграфе вводятся основные понятия и доказательства теорем о существовании и единственности свободных полугрупп с множеством образующих данной мощности.
Второй параграф посвящён двум применениям свободных полугрупп:
1)               описание циклических полугрупп;
2)               свободной коммутативной полугруппе.
Там же  доказываются некоторые комбинаторные свойства слов над произвольным алфавитом.
В третьем параграфе даётся обзор проблематики Туэ о существовании бесквадратных и бескубных слов произвольной длины над различными алфавитами.
В дипломной работе используются книги [1 - 4] из приведённого списка библиографии.

1.  Понятие свободной подгруппы
1.1. Слова
Алфавит А – это непустое конечное множество. Буквы                    (символы)- элементы алфавита А. Слово над алфавитом А – это конечная цепочка, состоящая из нуля или более букв из А, причем одна и та же буква может входить несколько раз. Цепочка, состоящая из нулевого количества букв, называется пустым словом и обозначается  . Таким образом , 0, 1, 010, 1111 суть слова над алфавитом  А ={0, 1}. Множество всех слов над алфавитом А обозначается W(A), а множество всех непустых слов обозначается Z(A).
Если u  и v – слова над алфавитом А, то их катенация  xy   (результат приписывания) – тоже слово над А:           и              .  Катенация является ассоциативной операцией, и пустое множество служит единицей по отношению к ней: x = x=  для всех x. Если х – слово, а i – натуральное число, то  обозначает слово, полученное катенацией i слов, каждое из которых есть х.
Длина слова х, обозначается , есть число букв  в х, причем каждая буква считается столько раз, сколько раз она входит в х. Опять по определению =0. Функция длины обладает некоторыми свойствами логарифма:  для всех слов х, у и неотрицательных некоторых i
  ,         .
В теории языков важнейшей операцией является операция морфизма. Морфизмом называется отображение h: W(A)  M(A), где W(A) и M(A) –множества всех слов удовлетворяющие условию h(xy)=h(x)h(y) для всех слов х,у.

1.2.  Понятие свободной полугруппы
Пусть S – полугруппа, а Х – ее непустое подмножество. Пересечение Т всех подполугрупп полугруппы S, содержащих Х, называется подполугруппой, порожденной множеством Х. Существовавние полугруппы Т вытекает из следующего простого факта:  Непустое пересечение любого множества подполугрупп является подполугруппой.
Доказательство. Пусть Т – пересечение некоторого множества подполугрупп. Если х, у принадлежат Т, то х и у лежат в каждой из подполугрупп рассматриваемого множества. Но тогда в каждой из них лежит и произведение ху, а значит ху принадлежит Т. Ч.т.д.
Поэтому подполугруппы,  содержащие множество Х существуют, например сама S, и пересечение их непусто ( все они содержат Х).  Значит Т – это наименьшая среди подполугрупп полугруппа S, содержащая Х. Если эта наименьшая  подполугруппа совпадает с S, то говорят, что полугруппа S порождается множеством Х.
Полугруппа S=S(Х)  называется свободной полугруппой со свободным порождающим множеством Х, если:       
(1)          S порождается множеством Х;
(2)          для любого отображения , где Е – произвольная полугруппа, существует гомоморфизм такой, что
 для любых х Х.
Теорема 1.1. (существование свободной полугруппы).
W=W(x) – свободная полугруппа со свободно порождающим множеством Х.
Доказательство. Оба свойства (1) и (2) свободной полугруппы проверим индукцией по длине  слов W.
(1) Пусть Т – подполугруппа полугруппы W, порожденная множеством Х. Тогда любое слово w принадлежащее W,  лежит в Т. Действительно, если =1, то w принадлежит Х и подмножество Т. Если  >1, то w=w’x, где  <    и х принадлежит Х. следовательно, w’, x принадлежит Т по предположению индукции. Так как Т  - подполугруппа, а w – произведение двух элементов w’ и х , то w принадлежит Т. Поэтому W подмножество Т. Обратное включение очевидно. Итак, T=W.
(2).   Пусть  - произвольное отображение множества Х в некоторую полугруппу Е с операцией . Определим элемент  полугруппы Е индукцией по . Если  =1,w принадлежит Х и мы положим                      
                                                                                (*)
Если >1, то w=w’x где  <    и х принадлежит Х. Тогда   и  уже определены. Положим
                                                                          (**)
Покажем, что отображение  : W Е является гомоморфизмом, то есть что  для любых .
Проведем индукцию по длине второго сомножителя . Если =1, то доказываемое следует из равенства (**). Если >1, то = ’ х, где < и х принадлежит Х. Поэтому, учитывая (**) и индуктивное предположение получаем:
                                  
 
Кроме того, если х принадлежит Х, то  в силу равенства (*).  Итак, условия (1) и (2) выполнены. Ч.т.д.
Теорема 1.2. (свойство универсальности свободной полугруппы).
Для всякой полугруппы Е найдутся свободная полугруппа S  и гомоморфное наложение : S Е.
Доказательство. Пусть S – свободная полугруппа со свободно порождающим множеством Е. В силу свойства (2) из определения свободной полугруппы, тождественное отображение множества Е на себя продолжается до гомоморфизма : S Е, который в данном случае  оказался наложением. Ч.т.д.
Теорема 1.3. (о единственности свободной полугруппы).
Если S=S(x) – свободная полугруппа со свободно порождающим множеством Х, то существует изоморфизм  полугруппы S  на полугруппу W=W(x) слов в алфавите Х, причем , для всех х принадлежащих Х.
Доказательство. По Т1. и свойству (2) из определения свободной полугруппы, тождественное отображение множества Х на себя продолжается до гомоморфизмов : S W и : W S, причем , для любых х принадлежащих Х. Таким образом Х  и Х .
По теореме “Если : А В – гомоморфизм полугруппы, то   - подполугруппа  В  ” и свойству (1) и , то есть как ,так и  оказываются наложениями. Более того, поскольку  для всех х принадлежащих Х, не трудно заметить, что  для любого слова w в алфавите Х, то есть . Если  некоторых a,b принадлежащих W, то
                                     
Следовательно  - вложение, а значит и изморфизм. Ч.т.д.
   Теорема 1.4. (об изоморфности свободных полугрупп)
Свободные полугруппы S(X) и S(Y) изоморфны равномощны множества X и Y.
   Доказательство. Необходимость. По теореме 1.3.  имеем S(X) W(X) и S(Y) W(Y). В полугруппе W(X) неразложимыми элементами будут в точности буквы алфавита Х.
Пусть   S(X) S(Y). Тогда  W(X)  W(Y). Поскольку при изоморфизме полугрупп сохраняются все алгебраические свойства, то неразложимые элементы перейдут в неразложимые. Значит между  X и Y будет установлено взаимно однозначное  соответствие.
Достаточность. Пусть X равномощно Y, то есть существует биекция f множества X на множество Y. Тогда f продолжается до гомоморфизма , а обратное   продолжается до гомоморфизма .
Легко видеть, что гомоморфизмы  и  взаимно обратны   - это изоморфизм свободных полугрупп  S(X) и S(Y).Ч.т.д.
 
            2.   Применения
2.1.         Циклические (моногенные) полугруппы
Полугруппа В называется циклической (моногенной), если в ней содержится такой элемент а, что всякий элемент х из В может быть записан в форме для некоторого n >0. Элемент а называется образующим (порождающим) циклической полугруппы. Важнейшим примером циклической полугруппы является полугруппа Р положительных целых чисел относительно сложения. Её образующим служит 1. Зафиксируем положительные числа n и d и рассмотрим разбиение  множества Р, состоящее из одноэлементных классов [1]={1},  [2]={2},…,[d-1]={d-1}  и бесконечных классов
 
                [d]={d, d+n, d+2n, …, d+kn,…},
 
[d+1]={d+1, d+1+n, d+1+2n,…, d+1+kn,…},
[d+(n-1)]={d+(n-1), d+(n-1)+n, d+(n-1)+2n,…,d+(n-1)+kn,…}.
Убедимся, что это разбиение  допустимо. В самом деле, пусть х, u [ I ], y,v [ j ], где 1  I, j< d+n. Возможны следующие четыре случая: 1) I, j <d; 2) I< d, j  d; 3) I  d, j< d; 4) I, j  d. В первом случае имеем: x=u=I и y=v=j, откуда [x+y]=[u+v], поскольку x+y=u+v. Во втором случае x=u=I, y=j+kn и v=j+Ln для подходящих  k,L. Используя деление с остатком запишем  
                                    I + j - d=sn + r ,
где  0  r< n. Тогда
x + y = I + j + kn = d + (I + j – d) + kn = d + r + (s + k) n
и u + v = I + j + Ln = d + (I + j – d ) + Ln = d + r + (s + L) n,
откуда [x + y] = [d + r] = [u + v]. Третий случай рассматривается аналогично. В четвертом случае, используя определение смежных классов, можно записать
                                     x =I + kn = d + (I – d) + kn,
                                     u = I + Ln = d + (I – d) + Ln,
                                     y = j + pn = d + (j – d) + pn,
                                     v = j + qn = d + (j – d) + qn.
Тогда
           x + y = d + (d + (I – d) + (j – d)) + (k + p) n
   и
           u + v = d + (d +(I – d) + (j – d)) + (L + q) n.
   Разделив с остатком, получим               
                          d + (I – d) + (j – d) = sn + r,
где  0  r< n. Отсюда
                           x + y = d + r + (k + p + s) n
    и
                            u + v = d + r + (L + q + s) n,
т.е. [x + y] = [d + r] = [u + v].
Факторполугруппу полугруппы Р по рассмотренному разбиению называют циклом с хвостом.    
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
При d = 1 хвост оказывается пустым. Такую полугруппу называют циклом.
Теорема.
Всякая циклическая полугруппа изоморфна или аддитивной полугруппе Р положительных чисел, или некоторому циклу с хвостом (возможно пустым). 
Доказательство. Пусть В – циклическая полугруппа с образующим а. Рассмотрим отображение полугруппы Р в полугруппу В, определяемое условием     .
  Ввиду циклической полугруппы В,  оказывается наложением. В силу теоремы: “  для всех m, n > 0.”
                          ,
т.е.  является гомоморфизмом. Из следующей теоремы:
 Если  - гомоморфное наложение полугрупп и  - естественный гомоморфизм, то существует изоморфизм  такой, что , вытекает, что В изоморфна факторполугруппе Р/ , где = . Если все классы разбиения одноэлементны, то В изоморфна Р. В противном случае обозначим через d наименьшее целое число, входящее в неодноэлементный класс, а число n выберем так, чтобы d + n было наименьшим числом, отличным от d, но входящим в один класс с d. Тогда имеем классы [1], [2],…, [d – 1], [d], [d + 1],…, [d + n – 1], среди которых первые d – 1 одноэлементные и [d] [d + I] при I= 1,2,…, n – 1. Докажем, что
                                [d + I] = [d + I + kn]                                    (*)
при любых  I и k. В силу определения разбиения , для этого достаточно установить, что
                                  .                                 (**)
При k = 0 это очевидно. Допустим, что (**) доказано при всех  I и
k = 0,1,…, t – 1. Тогда, вспоминая, что , получаем

Тем самым равенство (**), а значит (*), доказано. Остаётся убедится, что разбиение  совпадает с разбиением (d +n). С этой целью заметим, что одноэлементные классы этих разбиений совпадают. Ввиду равенства (*), для доказательства совпадения бесконечных классов достаточно установить, что смежные классы     [d + I] и [d + j] разбиения , где , различны. Но если [d + I] = = [d + j], то
             [d] = [d + n] = [d + j] + [n – j] = [d + I] + [n – j] = [d + (n – (j – I))]
и, поскольку 0< n – (j – I)<n, мы вступаем в противоречие с выбором числа n. Ч.т.д.
2.2.        Свободные коммутативные полугруппы
Свободные коммутативные полугруппы определяются точно также, как свободные полугруппы, но только в классе коммутативных полугрупп.
Предложение 2.1.
Если  - такие элементы полугруппы, что  для любых i и j, то
                           , где  - произвольная подстановка на множестве {1, 2, …,n}.
Доказательство.  При n = 2 утверждение теоремы справедливо по условию. Допустим, что теорема верна для n – 1 сомножителей. Если (n) = n, то учитывая  теорему: “ Произведение нескольких элементов полугруппы не зависит от расстановки скобок”, и индуктивное предположение, имеем
                        .    
Если n = (k), где  k<n, то
               
Ч.т.д.
Следствие.
Для любых элементов  коммутативной полугруппы и любой подстановки  на множестве {1, 2, …,n} справедливо равенство
                                 .
Теорема 2. 2.
Если А = { } – множество свободных образующих коммутативной полугруппы S, то S = { , - неотрицательные целые числа, одновременно не равные нулю}, причём различные наборы показателей ( ) дают различные элементы S.
Доказательство. По теореме 1.2. существует гомоморфное наложение , при котором для всех =1, 2, …,n. Значит, каждый элемент s S имеет вид . Поскольку мультипликативная полугруппа { , } изоморфны аддитивной полугруппе , то различные её элементы будут иметь различные наборы показателей. Ч.т.д.
2.3.Упражнения
  Для полугруппы слов W(X) верны следующие утверждения.
1.                ef = gh e = gu и h = uf либо g = eu и f = uh, для некоторого слова u (возможно непустое).
2.                Из ef = fe e = fk  = kf для некоторого слова u либо f=eu=ue для некоторого слова u.
3.                Если ef = fe,то следует слово h, для которого e = и f= , где k, m – натуральные числа.

Докажем эти утверждения.
(1) . Пусть ,  и  - слова в алфавите Х. По условию ef = gh. Если , то очевидно: e = g и f = h; в этом случае u =  - пустое слово. Пусть n m. Будем считать, что n>m (случай m>n симметричен рассматриваемому). Имеем
                               =
                                       
=                            
откуда e = gu и h = uf для слова u = .
. Пусть для определённости  и e = gu и h = uf. Тогда ef=(gu)f=g(uf)=gh. Ч.т.д.
  (2)  Это частный случай (1) при g = e и g = f.
(3)               Пусть ef = fe. При  ясно, что e = f, то имеем e=f=h= . Далее доказательство проведём индукцией по числу n=max ( ). Можно считать, что n = 2 имеем  и =1, то есть е=ab и f=c, где a, b, c  X. Тогда ef = abc и fe = cab. Поскольку ef = fe, то  a = c, b = a, c = b, или a = b = c. Значит, e =  и f = .
Предположим, что для всех натуральных чисел < n утверждение верно. Поскольку ef = fe, то в силу (2) e = fu = uf, где max ( )< n. По индуктивному предположению существует слово h, для которого f =  и u = . Получаем f = и e = f = = .Ч.т.д.

Обзор результатов по проблеме Туэ
Аксель Туэ (1863 – 1922) – норвежский математик. Хотя он был специалистом по теории чисел, но остался в истории, как родоначальник теории формальных языков, связанные с решёнными им задачами о формальных словах известных теперь, как проблемы Туэ. Задачи решены в 1912 – 1914г.
I. Введём следующие определения.
1)               Сформулируем определение  - слова:
Бесконечная последовательность элементов алфавита А называется  - словом или сверхсловом. Таким образом,  - слово может быть отождествлено с отображением множества целых чисел в А. Очень удобным средством задания конкретных  - слов являются DOL – системы.
         2) Тройка G = (A, h, w), A – алфавит,  - морфизм и w – слово над А, называется DOL – системой. DOL – система G определяет S(G) слов над А:
                         .
Рассмотрим DOL – систему G = (A, h, w), такую, что , х Z(A), т.е. w – собственное начало слова h(w) и, кроме того, h является нестирающим (т.е. h(a)=  для всех а из А). Тогда
               и вообще
                для всех i  0.
Последнее равенство показывает, что  для всех i является собственным началом слова   . Следовательно,  - слово  может быть определено как “ предел ” последовательности , i=0,1,2, … . Точнее,   представляет собой  - слово, начало которого, имеющее длину , есть , i=0,1,2, … .
           3) Определение. Слово или   - слово называется бесквадратным (бескубным), если оно не содержит подслова вида хх (соответственно х ), где х – непустое слово.
Слово или   - слово называется сильно бескубным, если если оно не содержит слов вида хха, где х – непустое слово, а а – первая буква слова х.
          4) Может случиться, что слово w содержит два “перекрывающихся” вхождения х, т.е. подслово xy = zx, где . Если это не имеет место, то будем называть w словом без перекрытий.
II. Сформулируем основные теоремы.
Рассмотрим следующую DOL – систему G = ({a, b}, h, a), где h определяется следующим образом: h(a) =ab, h(b) = ba. Тогда последовательность S(G) начинается словами:
                     a, ab, abba, abba baab, abba baab baab abba, … .
Теперь  есть  - слово, порожденное DOL – системой G.
 - слово  является сильно бескубным.
Сформулируем следующее:
 Существует бесквадратное  - слово  над алфавитом из четырех символов и  cуществует бесквадратное  - слово  над алфавитом из трёх символов  .
   
                        =  где для всех j 1.
Введём новые обозначения для элементов А1, положив
                         [aa] = 1, [ab] = 2, [ba] = 3, [bb] = 4.
Теперь начало   имеет вид
                            2432312431232432312324312432312…
Рассмотрим алфавит А2 = {1, 2, 3}. Определим    - слово  кА результат замены в  всех вхождений символа 4 символом 1.
 
Теперь подведём итог полному решению проблемы Туэ в следующих теоремах:
1) “Если А состоит не менее чем из трёх символов, то над А существует бесквадратное  - слово ”;
2) “Если А имеем не менее двух символов, то А существует  сильно бескубное, а значит и бескубное  - слово”.
III.Сейчас рассмотрим некоторые методы доказательства.
В формулировках основных теорем показано, как строятся  - слова .
Теорема 3.1.
   Слово и  - слово свободно от перекрытий тогда и только тогда, когда оно является сильно бескубным.
   Доказательство. Пусть w не свободно от перекрытий. Тогда w найдется подслово  xy = zx, такое, что имеет место . Пусть а – первая буква слова z. По нашему предположению, x = zx  , где первой буквой слова x  также будет а. Следовательно, zza – подслово w и w не является сильно бескубеым.
   Наоборот, предположим, что w не является сильно бескубным. Тогда в w найдётся слово z  z a, где а – первая буква z . Пологая z =аz  мы видим, что х = а z а, y = z а, z = а z . Тогда xy = zx – подслово w, и, кроме того, выполняется . Отсюда следует, что w не свободно от перекрытий. Ч.т.д.

Теорема 3.2.
Ни одно слово, имеющее длину более 3, над алфавитом А из двух букв не является бесквадратным. Следовательно, над алфавиотм А не существует бесквадратных  - слов.
Доказательство. Пусть А состоит из букв a и b. Существуют только 2 бесквадратных слова
                              аbа и bаb,                                                      (*)
так как все другие слова указанной длины:
                            
содержит в качестве подслова либо , либо . С другой стороны, каким бы способом ни была приписана буква к любому слову из (*), результирующее слово в каждом случае будет содержать в качестве подслова одно из слов , , и, следовательно, не будет бесквадратным.Ч.т.д.
Теоремя 3.3.
   Ни ,  ни  не входят в качестве  подслова в . Ни  ababa, ни babab не входят в качестве подслова в . Следовательно, любое подслово х    - слова , такое, что , содержит в качестве подслова либо , либо .
   Доказательство. Докажем первое утверждение. Если слово   или  входит в качестве подслова в , то оно входит в качестве подслова в некоторое w . Но это не возможно, так как w  = h(w ) и, следовательно, w  получено приписыванием слов ab и ba в некотором порядке.
   Докажем второе утверждение. Предположим, что ababa входит в качестве подслова  в  - слова , начиная с j-й его буквы. Тогда используя   = …, запишем
                               = ababa.                           (**)
Выберем настолько большое j что . Тогда вхождения (**) целиком лежит в w .Ещё раз используя соотношение w  = h(w ), заключаем, что в w  в качестве подслова входит либо , либо   в  зависимости от того, является ли j в (**) нечетным или четным. Но это не возможно в силу доказанного выше первого утверждения. Аналогично и для  babab не входит в .
 Наконец, последнее утверждение является следствием второго, так как, за исключением слов ababa и babab, любое слово длины 5 над {a,b} содержит в качестве подслова  либо , либо . Ч.т.д.
Теорема 3.4.
   Предположим, что   или   входит в качестве подслова в , начиная с j-й; тогда j четно.
   Доказательство. Используя обозначения предыдущей теоремы, предположим, что  есть  или . Вновь выбираем такое i, что , и применяем соотношение w  = h(w ). В силу этого соотношения, если j нечетно, то  есть либо h(a), либо h(b). Так как ни h(a), ни h(b) не есть  или .Ч.т.д.

 Литература
1.          Курош А.Т. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973.
2.          Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. – М.: Мир, 1985.
3.          Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков. – М.: Мир, 1986.
4.          Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1986.