Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.

Демидов Р.А. ,ФТФ, 2105

Введение

Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида

.

Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.

В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.

1. Метод

1.1 Случай бесконечного промежутка

Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида

⁽¹⁾

- это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует ,если выполняются 2 условия:

,

а также условие сходимости нормы u(x):

.

Эти условия работают при действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения – один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты. Итак,первый.Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив,что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образ свертки есть свертка образов”.Тогда для функций U(k),V(k),F(k) – образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:

⁽²⁾

Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на и интегрированием по всей действительной оси:

Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем

,

что и требовалось доказать.

Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x),производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:

=>

=> ⁽³⁾

Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как

⁽⁴⁾

В виде Фурье - образов это равенство выглядит так:

,

где G(k) вычисляется как

⁽⁵⁾

V(k) – Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x),применив обратное преобразование Фурье к (5),и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f,она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.

На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком – и опишем метод Винера-Хопфа.

1.2 Полубесконечный промежуток

Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска – f₊(x) и f_-(x), (f(x)= f₊(x) + f_-(x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом:

выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:

f₊^:,

при причем здесь - комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=τ > τ_{- .} Причем

Обратное преобразование выглядит так:

,

и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=τ > τ_- .

f_-^: При

для прямого преобразования Фурье имеем

,

к здесь та же к.п. ,это верно в области с Im(k)=τ < τ_{+ .} Обратное преобразование для f_- выглядит аналогично:

Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=τ < τ₊

При τ_- < τ₊ образ F(k) задаётся уравнением

как раз в полосе τ_- < Im(τ) < τ_{+ .} При τ_- < 0,τ₊ > 0 функция полоса Im(τ)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть τ нулем.

Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)

⁽⁶⁾

Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u₊ , u_- :

При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:

,

µ<τ₊.

При их выполнении в полосе µ < Im(k) < τ₊ функции u₊ ,u_- являются аналитическими.

Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнению для образов, аналогично проделанному в §1,мы имеем право пользоваться теми же свойствами, по причине именно такого выбора функций u₊ ,u_{- .}Итак, получаем:

,

что видно из представления u(x)= u₊(x)+u_-(x), U(k)=U₊(k)+U_-(k) и уравнения (6).Перенося все в левую часть, видим, что

,

если так задать функцию L(k).

Мы подошли к сути метода Винера-Хопфа: путем преобразования Фурье свели наше уравнение к алгебраическому, но уже относительно образов функции. Однако в нашем случае, в отличие от §1,неизвестныхфункций в нем две, и обе нам нужны. Грубо говоря, нам позволено найти решение, но оно не будет однозначным, и данный метод работает лишь для определенного вида функций.Пусть мы нашу функцию L(k) можем представить как частное функций L₊(k),L_-(k),уравнение принимает при этом вид

,

и известно следующее – “плюсовая” часть есть аналитическая функция к.п. в области , “минусовая” часть аналитическая функция в области ,µ <τ₊ , а значит, в полосе (которая непуста )существует единственная общая функция U(k), совпадающая с U₊ ,U_- в соответствующих областях. Если дополнительно задать, что функции L₊,L_- растут не быстрее степенной функции kⁿ, то функции можем считать определенными, и приравнять правую и левую часть в общем случае многочлену P_n(k) (это получается, если учесть стремление U₊,U_- к нулю по |к|-> ∞.Теперь у нас неопределенности нет, и в общем виде это выглядит так:

Если степень роста функций L есть единица(растут не быстрее линейной функции),то мы имеем для кусков функции L(k) следующее:

,

и в итоговом решении будет присутствовать произвольная константа C.Приведу пример последнего случая с n=0. Пример.

- интегральное уравнение с полубесконечным промежутком и нулевой f для простоты. Решим его м.В.-Х.

Как видим, мы имеем дело с ядром вида exp(-|x|).Найдем его Фурье-образ, и далее, функцию L(k):

- является аналитической в области -1 < Im(k) < 1. Разложим ее как частное двух так:

При 0 < λ < 0.5 условия одновременной аналитичности выполняются в полосе µ < Im(k) < 1, при λ > 0.5 условия выполняются в полосе 0 < Im(k) < 1. Эти выводы получаются из изучения особых точек функций L₊(k),L_-(k). Далее – обе функции растут на бесконечности к по модулю не быстрее многочленов первой степени. Наш полином в числителе – это константа, полином нулевой степени, иначе не выполняется условие сходимости произведения L₊U₊ ,L_-U_- .Значит

,

и, применяя обратное преобразование Фурье, находим u₊(x):

,

что верно для Решение в квадратурах найдено, этот интеграл подлежит простому подсчету. На выходе получим:

Как видим, решение получено с точностью до константы.

1.3 В общем виде

Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение

и поставим задачу: найти функции Ψ₁, Ψ₂,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе ,стремящихся к нулю при .A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L₊ ,L_- ,

,

причем L₊ аналитическая в области Im(k) > τ_-, L_- аналитическая в области Im(k) < τ₊ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:

Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как

,

что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:

- это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L₊ L_- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ₁, Ψ₂, мы получаем следующие соотношения:

Р_n(k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ₁, Ψ_2.

Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.

Лемма1: Пусть образ F(k) аналитический в полосе ,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как ,F₊(k) аналитическая в Im(k)>τ_- , F_-(k) аналитическая в Im(k)<τ₊ .

Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k₀) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе.

Тогда в пределе получаем

,

где эти части есть

Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F₊(k),F_-(k) в рассматриваемой полосе.

Лемма2:Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе ,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда ,где функции Ф₊,Ф_- соответственно аналитические в

и

Доказательство:

Заметим, что для функции выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F₊ , F_- , а Ф – произведением:

,Ф=Ф₊*Ф_- .

Условия на границы по мнимой оси для функций Ф₊,Ф_- сохранятся => лемма доказана.

Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения

⁽⁷⁾

Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля

в полосе мы можем переходить к образам функций и мы получим

предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L(x) ф-ю

,

аналитическую в стандартной полосе и равномерно стремящуюся к 1 при наше алгебраическое уравнение перепишется как

Далее, точно также разделяем L на две части как

,

И L₊ - аналитическая в , L_- - аналитическая в . По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U₊,U_- :

При успешном разложении последнего члена как

,

где по все той же аналогии D₊ и D_- аналитические в областях соответственно, мы записываем решения в виде

.

При этом мы воспользовались той же сходимостью – L₊,L_- растут не быстрее чем kⁿ, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.

Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.

Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики.

2. Применение метода Винера-Хопфа

До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.

Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

Для этого решим к. задачу на уравнении , ,и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.

Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:

,

где f(k) - произвольная функция комплексного параметра k,

Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u):

Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ_- < Im(k) < τ₊,если при этом τ_- < 0, τ₊ > 0. Тогда

,

где L₊ аналитическая в верхней полуплоскости τ_- < Im(k), L_- аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ₊.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения

,

где константа определяется как

Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L

нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем

и

,

что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:

вычисляя интеграл, получаем

Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:

-

если вводим вспомогательную функцию так, то

,z=x+iy.

Получили ответ задачи.

Вывод

В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений ,и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.

В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0,и получали гармоническое уравнение.

В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.

Список использованной литературы

1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.”

2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”