Кодекс и Законы Последняя цифра степени

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.12.2024

МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»

Научное сообщество учащихся «Поиск»

Тема: « Последняя цифра степени.»

Выполнила: ученица 7 «б» класса

Терентьева Валентина

Руководитель: Пушило Т.Л.

р.п. Шербакуль

2010 – 2011 уч. год

Содержание:

·       Введение.

·       Цели работы.

·       Последняя цифра степени.

·       Закономерности возведения в степень

·       Две последних цифры степени.

·       Задачи.

·       Заключение.

·       Использованная литература .

Введение.

     Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы

1¹⁹⁸⁹+ 2¹⁹⁸⁹+ 3¹⁹⁸⁹+ 4¹⁹⁸⁹+ 5¹⁹⁸⁹+…+ 1989¹⁹⁸⁹.

     Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели работы:

·        Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.

·        Найти закономерность в них.

·        Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.

    Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2ⁿ, где n
– натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

2¹= 2

2⁵ = 32

2⁹ = 512

2² = 4

2⁶= 64

2¹⁰ = 1024

2³= 8

2⁷= 128

2¹¹ = 2048

2⁴ = 16

2⁸= 256

2¹² = 4096

   Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2ⁿ для любого показателя n.

    В самом деле, возьмем число 2¹⁰⁰. Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2⁴, 2⁸, 2¹², показатели которых кратны четырем. Значит, число 2¹⁰⁰, как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

    Возьмем к примеру, 2²², если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

    Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

    А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

    Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.

Степень

02

03

04

05

06

07

08

09

10

Х²

04

09

16

25

36

49

64

81

00

Х³

08

27

64

25

16

43

12

29

00

Х⁴

16

81

56

25

96

01

96

61

Х⁵

32

43

24

76

07

68

49

Х⁶

64

29

96

56

44

41

Х⁷

28

87

84

36

52

69

Х⁸

56

61

36

16

21

Х⁹

12

83

44

28

89

Х¹⁰

24

49

76

24

01

Х¹¹

48

47

04

92

09

Х¹²

96

41

36

Х¹³

92

23

88

Х¹⁴

84

69

04

Х¹⁵

68

07

32

Х¹⁶

36

21

56

Х¹⁷

72

63

48

Х¹⁸

44

89

84

Х²⁰

88

67

72

Х²¹

76

01

76

Х²²

52

03

08

Х²³

04

Повтор

20

20

10

1

5

4

20

10

1

(Красным кругом выделен период)

Заметим, что у некоторых чисел, например 1-е не входит в период, так как, например, у числа 2, после последнего числа 52, будет 04, а не 02, поэтому оно само не входит в этот период, следовательно, перед тем как вычислять последние 2 цифры надо будет вычесть из показателя степени 1.

К сожалению, с 2-мя последними цифрами не получится как с 1-й, и последние 2 цифры 3 не будут одинаковы с 2-мя последними цифрами 13, и таблицу для остальных надо составлять отдельно.

Степень	11	12	13	14	15	16		17		18		19	20
Х²	21	44	69	96	25	56		89		24		61	00
Х³	31	28	97	44	75	96		13		32		59	00
Х⁴	41	36	61	16	25	36		21		76		21
Х⁵	51	32	93	24		76		57		68		99
Х⁶	61	84	09	36		16		69		24		81
Х⁷	71	08	17	04				73				39
Х⁸	81	96	21	56				41				41
Х⁹	91	52	73	84				97				79
Х¹⁰	01	24	49	76				49				01
Х¹¹	11	88	37	64				33				19
Х¹²		56	81	96				61
Х¹³		72	53					37
Х¹⁴		64	89					29
Х¹⁵		68	57					93
Х¹⁶		16	41					81
Х¹⁷		92	33					77
Х¹⁸		04	29					09
Х²⁰		48	77					53
Х²¹		76	01					01
Х²²		12	13					17
Х²³
Повтор	10	20	20	10	2		5		20		4	10	1

По этим таблицам, видно, что числа отличаются, а совпадает только последняя цифра.

Степень	21	22	23	24	25	26		27		28		29	30
Х²	41	84	29	76	25	76		29		84		41	00
Х³	61	48	67	24	25	76		83		52		89	00
Х⁴	81	56	41					41		56		81
Х⁵	01	32	43					07		68		49
Х⁶	21	04	89					89		04		21
Х⁷		88	47					03		12		09
Х⁸		36	81					81		36		61
Х⁹		92	63					87		08		69
Х¹⁰		24	49					49		24		01
Х¹¹		28	27					23		72		29
Х¹²		16	21					21		16
Х¹³		52	83					67		48
Х¹⁴		44	09					09		44
Х¹⁵		68	07					43		32
Х¹⁶		96	61					61		96
Х¹⁷		12	03					47		88
Х¹⁸		64	69					69		64
Х²⁰		08	87					63		92
Х²¹		76	01					01		76
Х²²		72	23					27		28
Х²³		84
Повтор	5	20	20	2	1		1		20		20	10	1

Степень	31	32	33	34	35	36		37		38		39	40
Х²	61	24	89	56	25	96		69		44		21	00
Х³	91	68	37	04	75	56		53		72		19	00
Х⁴	21	76	21	36	25	16		61		36		41
Х⁵	51	32	93	24		76		57		68		99
Х⁶	81		69	16		36		09		84		41
Х⁷	11		77	44		96		33		92		99
Х⁸	41		41	96		56		21		96		61
Х⁹	71		53	64				77		48		79
Х¹⁰	01		49	76				49		24		81
Х¹¹	31		17	84				13		12		59
Х¹²			61	56				81		56		01
Х¹³			13					97		28		39
Х¹⁴			29					89		64
Х¹⁵			57					93		32
Х¹⁶			81					41		16
Х¹⁷			73					17		08
Х¹⁸			09					29		04
Х²⁰			97					73		52
Х²¹			01					01		76
Х²²			33					37		88
Х²³										44
Повтор	10	4	20	10	2		5		20		20	10	1

Степень	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Х²	81	64	49	36	25	16	09	04	01	00
Х³	21	88	07	84	25	36	23	92	49	00
Х⁴	61	96	01	96		56	81	16
Х⁵	01	32	43	24		76	07	68
Х⁶	41	44		56		96	29	64
Х⁷		48		64		16	63	72
Х⁸		16		16			61	56
Х⁹		72		04			67	88
Х¹⁰		24		76			49	24
Х¹¹		08		44			03	52
Х¹²		36					41	96
Х¹³		12					27	08
Х¹⁴		04					69	84
Х¹⁵		68					43	32
Х¹⁶		56					21	36
Х¹⁷		52					87	28
Х¹⁸		84					89	44
Х²⁰		28					83	12
Х²¹		76					01	76
Х²²		92					47	48
Х²³		64
Повтор	5	20	4	10	1	5	20	20	2	1

Степень	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Х²	01	04	09	16	25	36	49	64	81	00
Х³	51	08	77	64	75	16	93	12	79	00
Х⁴		16	81	56	25	96	01	96	61
Х⁵		32	93	24		76	57	68	99
Х⁶		64	29	96		56		44	41
Х⁷		28	37	84				52	19
Х⁸		56	61	36				16	21
Х⁹		12	33	44				28	39
Х¹⁰		24	49	76				24	01
Х¹¹		48	97	04				92	59
Х¹²		96	41	16				36
Х¹³		92	73					88
Х¹⁴		84	69					04
Х¹⁵		68	57					32
Х¹⁶		36	21					56
Х¹⁷		72	13					48
Х¹⁸		44	89					84
Х²⁰		88	17					72
Х²¹		76	01					76
Х²²		52	53					08
Х²³								64
Повтор	2	20	20	10	2	5	20	20	10	1

Степень	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
Х²	21	44	69	96	25	56	89	24	61	00
Х³	81	28	47	44	25	96	63	32	09	00
Х⁴	41	36	61	16		36	21	76	21
Х⁵	01	32	43	24		76	07	68	49
Х⁶	61	84	09	36		16	69		81
Х⁷		08	67	04		56	23		89
Х⁸		96	21	56			41		41
Х⁹		52	23	84			47		29
Х¹⁰		24	49	76			49		01
Х¹¹		88	87	64			83		69
Х¹²		56	81				61
Х¹³		72	03				87
Х¹⁴		64	89				29
Х¹⁵		68	07				43
Х¹⁶		16	41				81
Х¹⁷		92	83				27
Х¹⁸		04	29				09
Х²⁰		48	27				03
Х²¹		76	01				01
Х²²		12	63				67
Х²³		44
Повтор	5	20	20	10	1	5	20	4	10	1

Степень	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
Х²	41	84	29	76	25	76	29	84	41	00
Х³	11	48	17	24	25	76	33	52	39	00
Х⁴	81	56	41	76			41	56	81
Х⁵	51	32	93				57	68	99
Х⁶	21	04	89				89	04	21
Х⁷	91	88	97				53	12	59
Х⁸	61	36	81				81	36	61
Х⁹	31	92	13				37	08	19
Х¹⁰	01	24	49				49	24	01
Х¹¹	71	28	77				73	72	79
Х¹²		16	21				21	16
Х¹³		52	33				17	48
Х¹⁴		44	09				09	44
Х¹⁵		68	57				93	32
Х¹⁶		96	61				61	96
Х¹⁷		12	53				97	88
Х¹⁸		64	69				69	64
Х²⁰		08	37				13	92
Х²¹		76	01				01	76
Х²²		72	73				77	28
Х²³								84
Повтор	5	20	20	2	2	1	20	20	10	1

Степень	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
Х²	61	24	89	56	25	96	69	44	21	00
Х³	41	68	87	04	25	56	03	72	69	00
Х⁴	21	76	21	36		16	61	36	41
Х⁵	01	32	43	24		76	07	68	49
Х⁶	81	24	69	16		36	09	84	61
Х⁷			27	44		96	83	92	29
Х⁸			41	96			21	96	81
Х⁹			03	64			27	48	09
Х¹⁰			49	76			49	24	01
Х¹¹			67	84			63	12	89
Х¹²			61				81	56
Х¹³			63				47	28
Х¹⁴			29				89	64
Х¹⁵			07				43	32
Х¹⁶			81				41	16
Х¹⁷			23				67	08
Х¹⁸			09				29	04
Х²⁰			47				23	52
Х²¹			01				01	76
Х²²			83				87	88
Х²³
Повтор	5	4	20	10	1	5	20	20	10	1

Степень	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Х²	81	64	49	36	25	16	09	04	01	00
Х³	71	88	57	84	75	36	73	92	99	00
Х⁴	61	96	01	96	25	56	81	16
Х⁵	51	32	93	24		76	57	68
Х⁶	41	44		56		96	29	64
Х⁷	31	48		64			13	72
Х⁸	21	16		16			61	56
Х⁹	11	72		04			17	88
Х¹⁰	01	24		76			49	24
Х¹¹	91	08		44			53	52
Х¹²		36		36			41	96
Х¹³		12					77	08
Х¹⁴		04					69	84
Х¹⁵		68					93	32
Х¹⁶		56					21	36
Х¹⁷		52					37	28
Х¹⁸		84					89	44
Х²⁰		28					33	12
Х²¹		76					01	76
Х²²		92					97	48
Х²³								04
Повтор	10	20	4	10	2	5	20	20	10	1

    Думаю, что таблицу с 3-мя последними цифрами составлять нет смысла, потому что я хочу найти рациональные способы, где не надо много вычислять, а в этой таблице, у чисел, которых раньше был период 20 чисел будет по 100, поэтому я буду составлять их только по необходимости у таких чисел как 4, 5, 6, 7 и 9.
Задачи.
Задача 1.

           Найдите 2 последние цифры числа 8¹⁹⁸⁹.

            В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, из показателя степени отнимаем 19800, именно столько раз, период пройдет полностью и остановиться на 1989 – 1980 = 9, а на девятом числе, а 9-ое число это 28.

             Ответ: последние 2 цифры числа 8¹⁹⁸⁹ – 28.



Задача 2.


На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

             Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий.

              Ответ: перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым.
               Задача 3.


Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

               У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12…   102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов.

              Ответ: через 102938475 часы будут показывать 13:00.


Заключение.
      Я поняла как можно пользоваться этим признаком, составила таблицы, с помощью которых можно определять не только 1-ну но и 2 последние цифры и научилась решать подобные задачи. Думаю что я добилась того что хотела.

Bukvasha