ЗАДАЧА 1
Составить модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитер­ской фабрики. Виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу, уровни прибыли приведены в таб­лице. Рассчитать план и провести его анализ.
Содержание задачи.
Цех кондитерской фабрики вырабатывает три ассортиментные группы конфет, условно обозначенные М₁, М₂, М₃ /в ед./.
Для их производства используются основные виды ресурсов /сырья/ трех видов, условно названных П₁, П₂, П₃ /в ед./.
Расход каждого ресурса на производство единицы продукции является за­данной величиной, определяется по рецептуре и обозначается символами а₁₁, a₁₂..., а₃₃, где а - норма расхода, первая подстрочная 1 – номер ресурса, вторая подстрочная 1, 2, 3 – номер ассортиментной группы конфет.
Наличие каждого ресурса для производства всех, групп конфет принимает­ся как известная величина и обозначается символами в₁, в₂, в₃.
Прибыль на продукцию также принимается как известная величина и обо­значается символами c₁, c₂, с₃.
Перечисленные параметры являются величинами известными и выражают­ся в единых единицах измерения, кроме прибыли. Прибыль или другой какой показатель, являющийся критерием оптимальности, выражается в единицах из­мерения дохода /например, прибыли/, получаемого от производства единицы продукции в денежном или другом каком-нибудь выражении.
Поскольку решение задачи заключается в поиске такого плана производст­ва, который обеспечивал бы в принятых условиях наибольший доход, принима­ются те величины, которые являются неизвестными и обозначающими количест­ва каждой группы конфет, включаемых в план производства: x₁ для M₁; х₂ для М₂; х₃ для М₃.
Экономико-математическая модель в символическом виде.
Система ограничений

Целевая функция /суммарный доход/ F = с₁х₁ + с₂х₂ + с₃х₃ = мах
Условия неотрицательности неизвестных х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃ ≥ 0
Символическая модель, наполненная численной информацией, будет иметь следующий вид:
2x₁ + 4x₂ + 3x₃ ≤ 266
1x₁ + 3x₂ + 4x₃ ≤ 200
3x₁ + 2x₂ + 1x₃ ≤  303
Прибыль от реализации выпускаемой продукции должна быть максималь­ной, то есть F = 20х₁ + 24х₂ + 28х₃ = max;
Решение задачи.
Для решения задачи симплексным методом неравенства преобразуются в эквивалентные равенства путем добавления в каждое неравенство по одному до­полнительному неизвестному с коэффициентом + 1 и нулевым уравнением при­были. Для удобства расчетов левые и правые части уравнений меняются места­ми. В этом случае исходные неравенства примут вид симплексных уравнений:
266 = 2x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 1x₄
200 = 1x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 1x₅
303 = 3x₁ + 2х₂ + 1x₃ + 1x₆
F = 20х₁ + 24х₂ + 28х₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆
Коэффициенты при неизвестных записываются в симплексной таблице, в которой выполняются расчеты и отражаются полученные результаты.
Исходная таблица

cj	p0	x0	20	24	28	0	0	0
			x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4	266	2	4	3	1	0	0
0	х5	200	1	3	4	0	1	0
0	х6	303	3	2	1	0	0	1
Zj - Cj		0	-20	-24	-28	0	0	0

В столбцах таблицы записывают: в первом (C_j) – прибыль единицы про­дукции, которая вводится в план выпуска; во втором (Р₀) – неизвестные, вклю­чаемые в план; в третьем (Х₀) – свободные величины; в остальных – коэффици­енты при неизвестных уравнений. В верхней части этих столбцов отражаются коэффициенты при неизвестных целевой функции.
В нижней строке (целевой) записываются получаемые расчетным путем показатели: в столбце х₀ – суммарная прибыль планового выпуска, в остальных столбцах – прибыль единицы продукции с отрицательным знаком.
В последних трех столбцах коэффициенты при дополнительных неизвест­ных, равные единице, расположены по диагонали. Эта часть таблицы, называе­мая единичной подматрицей, необходима для вычислительных и аналитических целей.
При решении задач на максимум целевой функции наличие в целевой строке отрицательных чисел указывает на возможность начала или продолжения решения задачи. Порядок решения таков: из отрицательных чисел целевой строки выбирается наибольшее по модулю. Столбец, в котором оно находится, принимается за ключевой (или разрешающий) и для удобства расчетов выделя­ется. В нашем примере таким столбцом будет Х₃, имеющий в целевой строке наибольшую по модулю величину -28.
1-ая итерация

cj	p1	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4	116	1.3	1.75	0	1	-1	0
28	х3	50	0.3	0.75	1	0	0.3	0
0	х6	253	2.8	1.25	0	0	-0	1
Zj - Cj		1400	-13	-3	0	0	7	0

Затем элементы столбца Х₀ (свободные величины) делят на соответствую­щие коэффициенты ключевого столбца и полученные результаты сопоставляют между собой. Строка с наименьшим отношением принимается за ключевую и также для удобства выделяется. В нашем случае 266/3 = 88,7; 200/4 = 50; 303/1 = 303. Наименьшее отношение 50 имеет срока х₅, она и будет ключевой. Ключевой элемент 4.
Далее элементы таблицы преобразуются и записываются в новую таблицу. Первоначально преобразуют элементы ключевой строки путем деления их на ключевой элемент. Преобразованные элементы записывают в том же самом месте.
В столбцах Р_о и C_j занимают место вводимая в план неизвестная х₃ с при­былью 28 (итерация 1-я). Остальные элементы преобразуются по следующему правилу:
- для преобразуемого элемента в его столбце находят элемент ключевой строки, а в его строке - элемент ключевого столбца;
- соответствующие элементы ключевой строки и ключевого столбца пере­множаются и полученное произведение делят на ключевой момент;
- частное от деления вычитают из значения элемента, которое он имел до преобразования, и полученный результат будет преобразованным элементом, ко­торый записывается в новую таблицу в том же самом месте. Следуя этому пра­вилу, преобразование элементов столбца х₀ будет:

Включение на первой итерации в план неизвестной х₃  обеспечит сумму прибыли 1400 руб.
Решение задачи продолжается, так как в целевой строке два отрицатель­ных элемента. Наибольший по модулю элемент -13. Он находится в столбце х₁, который принимается за ключевой, а ключевой строкой будет х₆ (116:1,3=92,8; 50:0,3=200; 253:2,8=92), ключевым элементом 2,8. Элементы таблицы преобра­зуются в том же порядке по изложенному правилу и записываются в новую таб­лицу.
2-я итерация

cj	p2	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6
0	х4	1	0	1.18	0	1	-1	-0.5
28	х3	27	0	0.64	1	0	0.3	-0.1
13	х1	92	1	0	0	0	0	0
Zj - Cj		2596	0	2.91	0	0	5.8	4.7

В последней таблице целевая строка имеет только положительные элемен­ты. Это значит, что составленный план оптимален и дальнейшее улучшение его невозможно.
Как видно из таблицы, оптимальный план предусматривает выпуск про­дукции П₁ 27 ед. (х₁ = 27), П₃ 92 ед. (х₃ = 92), дополнительного неизвестного П₄ 1 ед. (х₄ = 1). П₂ и дополнительные неизвестные в план не вошли, следовательно, х₂ = 0, х₅ = 0 х₆ = 0. Подставив значения неизвестных в уравнения, получим:
2 * 92 + 4 * 0 + 3 * 27 + 1 = 266
1 * 92 + 3 * 0 + 4 * 27 + 0 = 200
3 * 92 + 2 * 0 + 1 * 27 + 0 = 303
F = 20 * 92 + 24 * 0 + 27 * 28 = 2596
Анализ оптимального плана.
а) Запасы сырья трех видов используются не полностью, так как х₄ = 1, а х₅ = х₆ = 0.
б) Рассмотрим элементы матрицы.
От выпуска продукции II следует отказаться.
Элементы столбца х₅ показывают, что увеличение запасов сахара на I ед. (х₅ = 1) позволит увеличить выпуск продукции III вида на 0,3 ед. Сумма прибыли увеличится на 5,8 руб.
Элементы столбца х₆ показывают, что увеличение запасов жира на I ед. (х₆ = 1) позволит уменьшить выпуск только продукции III вида на 0,1 ед. (27 - 0.1) Сумма при­были увеличится на 4,7 руб.
Снижение запасов сырья приводит к изменениям выпуска продукции и суммы прибыли в обратном порядке.
Элементы целевой строки оптимального плана называются двойственными оценками, которые определяют величину изменения прибыли при изменении за­пасов сырья на I ед.

ЗАДАЧА 2
Требуется определить минимальную по стоимости смесь сырья для изго­товления пищевых концентратов, которые должны содержать питательные ве­щества (П). Эти вещества содержаться в сырье (М) в различных сочетаниях. Со­держание питательных веществ в сырье и готовом продукте, а также цена на ка­ждый вид сырья показаны в таблице.

Питательные вещества	Виды сырья			Минимальное содержание (единиц) питательных веществ в готовом продукте
	M1	М2	М3
П1	1	1	0	50
П2	4	1	3	140
П3	1	4	1	127
П4	0	3	2	80
Цена за единицу сырья, руб.	8	12	10

Виды используемого сырья условно обозначены через М₁, М₂, М₃; содер­жание питательных веществ в сырье и готовом продукте обозначены П₁, П₂, П₃, П₃.
Исходные условия задачи выражаются неравенствами:
1х₁ + 1х₂ + 0х₃ ≥ 50
4х₁ + 1х₂ + 3х₃ ≥ 140
1х₁ + 4х₂ + 1х₃ ≥ 127
0х₁ + 3х₂ + 2х₃ ≥ 80
F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ = min
Умножив обе части неравенств на -1, получим систему с другим направле­нием знака неравенств:
-1х₁ - 1х₂ - 0х₃ ≥ -50
-4х₁ - 1х₂ - 3х₃ ≥ -140
-1х₁ - 4х₂ - 1х₃ ≥ -127
0х₁ - 3х₂ - 2х₃ ≥ -80
F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ = min
Преобразуем неравенства в эквивалентные равенства с помощью дополни­тельных неизвестных. Симплексные уравнения будут следующими:
-50 = -1х₁ - 1х₂ - 0х₃ + 1х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇
-140 = -4х₁ - 1х₂ - 3х₃ + 0х₄ + 1х₅ + 0х₆ + 0х₇
-127 = -1х₁ - 4х₂ - 1х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 1х₆ + 0х₇
-80 = 0х₁ - 3х₂ - 2х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 1х₇
F = 8х₁ + 12х₂ + 10х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆ + 0х₇ = min
Записанные уравнения отличаются от тех, которые нами рассматривались выше, тем, что коэффициенты при основных неизвестных и свободные члены имеют отрицательные знаки.
Решение таких задач производится двойственным симплексным методом. Система симплексных уравнений записывается в таблице.

cj	p0	x0	8	12	10	0	0	0	0
			x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	-50	-1	-1	0	1	0	0	0
0	х5	-140	-4	-1	-3	0	1	0	0
0	х6	-127	-1	-4	-1	0	0	1	0
0	х7	-80	0	-3	-2	0	0	0	1
Zj - Cj		0	-8	-12	-10	0	0	0	0

Элементы целевой строки рассчитывают по обычным правилам и получа­ют отрицательные знаки.
В отличие от вычислительной процедуры основного симплексного метода решение задач двойственным методом выполняется в обратном порядке.
В итоговом столбце свободные числа имеют отрицательные знаки. Это яв­ляется свидетельством того, что данный план нельзя считать допустимым, так как он противоречит экономическому смыслу. План можно считать допустимым только тогда, когда в итоговом столбце не будет отрицательных чисел.
Ликвидация отрицательных чисел в итоговом столбце начинается с наи­большего по абсолютной величине. В нашем примере таким числом является (-140). Строка х₅, в которой находится это число, принимается за ключевую и со­ответственно выделяется.
Определив ключевую строку, находим ключевой столбец. Для этого нужно элементы целевой строки разделить на элементы ключевой строки и из получен­ных отношений выбрать наименьшее. Столбец, имеющий наименьшее отноше­ние, принимается за ключевой и так же как ключевая строка, выделяется.
Столбцы х₁, х₂, х₃ будут иметь следующие отно­шения:

Наименьшее отношение имеет столбец х₁, он и будет являться ключевым.
Определив ключевую строку, ключевой столбец и ключевое число, по обычным правилам преобразуются все элементы матрицы и записываются в но­вой таблице.
1-я итерация

cj	p0	x0	18	15	24	0	0	0	0
			x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	-15	0	-0.75	0.75	1	-0.25	0	0
8	х1	35	1	0.25	0.75	0	-0.25	0	0
0	х6	-92	0	-3.75	-0.25	0	-0.25	1	0
0	х7	-80	0	-3	-2	0	0	0	1
Zj - Cj		280	0	-10	-4	0	-2	0	0

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще три от­рицательных числа в строке х₄, х₆ и х₇. Наибольшим по абсолютной величине яв­ляется число в строке х₆. Эта строка будет принята за ключевую для последую­щего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отношению эле­ментов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х₂. Вво­дим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х₆. По общим правилам преобразуем элементы матрицы.
2-я итерация

cj	p0	x0	x1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
0	х4	3.4	0	0	0.8	1	-0.2	-0.2	0
8	х1	28.9	1.0	0.0	0.7	0.0	-0.3	0.1	0.0
15	х2	24.5	0.0	1.0	0.1	0.0	0.1	-0.3	0.0
0	х7	-6.4	0.0	0.0	-1.8	0.0	0.2	-0.8	1.0
Zj - Cj		525.3	0.0	0.0	-3.3	0.0	-1.3	-2.7	0.0

После преобразования элементов в итоговом столбце осталось еще одно отрицательное число в строке х₇. Эта строка будет принята за ключевую для по­следующего расчета. Ключевой столбец определяется по наименьшему отноше­нию элементов целевой строки к элементам ключевой строки. Им будет столбец х₃. Вводим этот вид сырья в программу вместо неизвестного х₇. По общим пра­вилам преобразуем элементы матрицы.
В таблице записаны преобразованные числа, полученные на 3-й итерации. В итоговом столбце все отрицательные числа исчезли, значит полученный план является допустимым и одновременно оптимальным. Вывод о том, что план по­лучен оптимальный, позволяют сделать элементы целевой строки. Все они отри­цательны или равны нулю, что свидетельствует об оптимальности результата при решении задач на минимум целевой функции.

+П4М3 -П2М3 +П2М5 -П4М5

Поставщики и объемы вывоза, т		Потребители и объемы завоза						Потенциалы строк
		М1	М2	М3	М4	М5	М6
		92	84	80	112	96	36
П1	144	24	30	42	15	39	21	0
			32		112
П2	148	9	24	30	33	27	29	-2
				76		72
П3	76	24	22	20	45	21	23	-8
			52			24
П4	132	11	36	27	40	30	8	-5
		92		4			36
Потенциалы столбцов		16	30	32	15	29	13

Шифры клеток	П1-М1	П1-М3	П1-М5	П1-М6	П2-М1	П2-М2	П2-М4	П2-М6	П3-М1	П3-М3	П3-М4	П3-М6	П4-М2	П4-М4	П4-М5
Суммы потенциалов	16	32	29	13	14	28	13	11	8	24	7	5	25	10	24
Значение элементов	24	42	39	21	9	24	33	29	24	20	45	23	36	40	30
Характеристики	8	10	10	8	-5	-4	20	18	16	-4	38	18	11	30	6

+П2М1 -П2М3 +П4М3 -П4М1

Поставщики и объемы вывоза, т		Потребители и объемы завоза						Потенциалы строк
		М1	М2	М3	М4	М5	М6
		92	84	80	112	96	36
П1	144	24	30	42	15	39	21	0
			32		112
П2	148	9	24	30	33	27	29	-2
		76				72
П3	76	24	22	20	45	21	23	-8
			52			24
П4	132	11	36	27	40	30	8	0
		16		80			36
Потенциалы столбцов		11	30	27	15	29	8

Шифры клеток	П1-М1	П1-М3	П1-М5	П1-М6	П2-М2	П2-М3	П2-М4	П2-М6	П3-М1	П3-М3	П3-М4	П3-М6	П4-М2	П4-М4	П4-М5
Суммы потенциалов	11	27	29	8	28	25	13	6	3	19	7	0	30	15	29
Значение элементов	24	42	39	21	24	30	33	29	24	20	45	23	36	40	30
Характеристики	13	15	10	13	-4	5	20	23	21	1	38	23	6	25	1

+П2М2 -П2М5 +П3М5 -П3М2

Поставщики и объемы вывоза, т		Потребители и объемы завоза						Потенциалы строк
		М1	М2	М3	М4	М5	М6
		92	84	80	112	96	36
П1	144	24	30	42	15	39	21	0
			32		112
П2	148	9	24	30	33	27	29	-6
		76	52			20

П3	76	24	22	20	45	21	23	-12
						76
П4	132	11	36	27	40	30	8	-4
		16		80			36
Потенциалы столбцов		15	30	31	15	33	12

Шифры клеток	П1-М1	П1-М3	П1-М5	П1-М6	П2-М3	П2-М4	П2-М6	П3-М1	П3-М2	П3-М3	П3-М4	П3-М6	П4-М2	П4-М4	П4-М5
Суммы потенциалов	15	31	33	12	25	9	6	3	18	19	3	0	26	11	29
Значение элементов	24	42	39	21	30	33	29	24	22	20	45	23	36	40	30
Характеристики	9	11	6	9	5	24	23	21	4	1	42	23	10	29	1

Все свободные клетки имеют положительные характеристики, которые свидетельствуют о том, что дальнейшее улучшение плана невозможно и полученный план является оптимальным.
Объем работ составит: 32 * 30 + 112 * 15 + 76 * 9 + 52 * 24 + 20 * 27 + 76 * 21 + 16 * 11 + 80 * 27 + 36 * 8 = 9332 ткм.