Канашский филиал
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
По математике
Вариант  3
Студента 1  курса   экономического  факультета
Шифр:    04653033            Учебная группа:  53-06
Работа  выслана  в  Чувашский  госуниверситет
 «____» ____________2006 г.
Передана на кафедру «Экономики и управления»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич                             
Возвращена в деканат______________________

Математика
Вариант 3
Даны вершины А(х₁;у₁) ,В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) треугольника. Требуется найти:    1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла  ;
7)угол  в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.
       вариант  3:              А(5;-1),   В(1;-4),    С(-4;8).
Решение:
         1)Длина стороны ВС:
      ;
        2)Длина стороны АВ:
      ;
          Скалярное произведение векторов и

Угол  :
cos =  ; =arcos 0,2462=75,75 ;
          3) Уравнение стороны ВС:

;  ;     ;    ;  ;
        4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:
   ;    ;
         Условие перпендикулярности двух прямых:
  ;   ;
  ;    ;   ;   ;
          5) Длина высоты, проведенной из вершины А:
  
         6)  
  



           Уравнение прямой АС:


           
          Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

 
       7) Угол  в радианах с точностью до 0,01:

      8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

      Уравнение стороны АВ:

        Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

X

Y

A (5;-1)

B (1;-4)

C (-4;8)

Задание 13.
     Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).
Решение:
     Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

    По условию задачи

    Искомые прямые:

Задание 23.
    Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.
Решение:

     По условию задачи:  

       -   уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями    

   SHAPE  \* MERGEFORMAT

A(x;y)

F(8;0)

X

Y

4            6                  8

2

-2 -4 -6

Задание 33.
Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой   с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.
Решение.
Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

                Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр  p

      Таким образом, уравнение параболы
      Уравнение директрисы параболы: 
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

1        3         5         7          9

8  5

2         4         6          8         10

Y

X

M

Y=2x

X=-4

-4

Задание 43.
Дано уравнение параболы  f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO₁Y уравнение параболы приняло вид  X²=aY или Y²=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

O1

O

y       Y

x X

Задание 53
Даны вершины А₁(Х₁;Y₁;Z₁),. А₂(Х₂;Y₂;Z₂), А₃(Х₃;Y₃;Z₃), А₄(Х₄;Y₄;Z₄)
пирамиды. Требуется найти:   1) длину ребра А₁А₂;    2)Угол между ребрами А₁А₂ и  А₁А₄;    3)угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃;     4) площадь грани А₁А₂ А₃;    5) объем пирамиды;    6)  уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань  А₁А₂ А₃;    7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань  А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.
       A₁ (3;5;4), А₂(5;8;3),  А₃(1;9;9), A₄(6;4;8);
Решение:
         1) 


Длина ребра А₁А₂;

         2)


Длина ребра А₁А₄;

        Скалярное произведение векторов А₁А₂ и  А₁А₄:

      Угол между ребрами А₁А₂ и  А₁А₄:

         3) Уравнение грани А₁А₂ А₃:


        Угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃:

        4)Площадь грани А₁А₂А₃: 
  кв. ед.
 
        5) Объем пирамиды:
  куб. ед.
     6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань  А₁А₂ А₃:

      7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань  А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

Задание 63.
         Определить вид поверхности, заданной уравнением   f(x;y;z)=0,  и показать её расположение относительно системы координат.
       
Решение:

      Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси   по оси  
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

2

Y

Z

X

0

1

Задание 73.
Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

2	-9	-4	-3	3		-83	= > = >	0	-47	-28	-13	7		-459
2	-7	-2	-1	-4		-57		0	-45	-26	-11	0		-433
7	-6	2	-2	0		-35		0	-139	-82	-37	-14		-1351
1	19	12	5	-2		188		1	19	12	5	-2		188
0	-47/7	-4	-13/7	1		-459/7		0	68/77	30/77	0	1		980/77
0	-45	-26	-11	0		-433		0	45/11	26/11	1	0		433/11
0	-233	-138	-63	0		-2269		0	272/11	120/11	0	0		2320/11
1	39/7	4	3/7	0		398/7		1	94/77	-190/77	0	0		481/77
0	0	0	0	1		-2900/77
0	-19/15	0	1	0		-2583/11
0	13,6	1	0	0		116
1	1574/231	0	0	0		22521/77

      Общее решение системы:

Задание 83.
       Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора  в этом базисе.

Решение:
       Составим определитель из координат векторов     и вычислим его:

        Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:

2	-10	0	-4		-42	= >	0	-20	4	-4		-88	= >	0	48	-12			252
4	-9	10	3		-43		0	-29	18	3		-135		0	-80	30			-350
2	-7	0	-1		-39		0	-17	4	-1		-85		0	17	-4			85
1	5	-2	0		23		1	5	-2	0		23		1	5	-2			23

0	-4	1	0		-21	= >	0	0	1	0		3
0	40	0	0		240		0	1	0	0		6
0	1	0	1		1		0	0	0	1		-5
1	-3	0	0		-19		1	0	0	0		-1

         Итак
       Проверка:
2(-1)-10*6         -4(-5)=-42;   -42=-42;
4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43;   -43=-43;
2(-1)-7*6-           -(-5)=-39;    -39=-39;
-1+5*6-2*3                =23;       23=23.
 или
Задание 93.
        Дана матрица А .  Требуется найти:  1) матрицу, обратную матрице А;
2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.
 
       
Решение:

-1	-2	12		1	0	0		1	2	-12		-1	0	0
0	4	3		0	1	0		0	4	3		0	1	0
0	5	6		0	0	1		0	5	6		0	0	1
1	0	-13,5		-1	-0,5	0		1	0	0		-1	-8	6
0	1	0,75		0	0,25	0		0	1	0		0	6/9	-3/9
0	0	2,29		0	-1,25	1		0	0	1		0	-5/9	4/9

       Обратная матрица:

      Корни характеристического уравнения:

- собственные значения матрицы А .
       При

     Собственный вектор:

Задание 103.
        Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.
      
Решение:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

-2П        -3/2П      -П          -П/2                      П/2          П         3/2П       2П

Y=-6/5sin(2/3x+1) -6/5          X -6/5

Y=sin(2/3x+1) 1       X -1

Y=sin(2/3x) 1       X -1

Y=sin x 1        X -1

Y1

Сжатие вдоль оси ОХ в 2/3 раза

Сдвиг влево на 1 вдоль оси ОХ

Растягивание в 6/5 раза и переворот вдоль OY

Задание 113.
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
  

Решение:




   Подстановка:



Задание 123.
         Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x₁,x₂,x₃.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.
      
Решение:

 
        Так как ,то функция в точке Х₁=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.
   
          Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Y=3

Y

X

-1         0                                  7

Задание 133.
      Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.
 
Решение:


      Так как   , то функция в точке х=-1 разрывна.


       Так как , то функция в точке  непрерывна.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Y

-1                        П/6                                                                  X

Задание 143.
Найти производные
     a)       б)   в)
г)   д)
Решение.
а)

б)

в)
 
г)

д)

Задание 153.
Найти  для функции, заданной параметрическим.

Решение.






Задание 163.
На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.
          Угловой коэффициент прямой:   
   или           
 
         Угловой коэффициент касательной к линии: 

      Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  
тогда:

   Таким образом получаются две точки:
 
Задание 173.
Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Решение.





 SHAPE  \* MERGEFORMAT

B             R             O            R A                       K                  C

Задание 183.
         Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.
    
Решение.

           1. область определения функции:

     так как  то функция нечетная.
         2. Точки пересечения с осями координат:
При при

           3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

    При  функция возрастает.
    При  функция убывает.
    При  функция убывает.
    При   функция возрастает

     Точка точка максимума.
     Точка точка минимума.
         4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

     При    функция выпукла;
     При    функция вогнута;
    При    функция выпукла;
    При    функция вогнута.


    Точки  - точки перегибов.
         5. Асимптот нет
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

Y

X

0

1. область определения функции:
2.  точки пересечения с осями координат:
При
     так как  то функция нечетная.
3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.
   
Точек экстремумов нет.
Так как  то функция возрастает.
4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.
      
При   функция вогнута;
При    функция выпукла;
Точка (0;0) точка перегиба.
5. асимптоты.
     
        асимптота.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

0

X

Y

1

-1

Задание 193.
Определить количество действительных корней уравнения ;
отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

Решение.
Исследуем график функции.
   
Количество корней  К=1.
    

     Таким образом, функция принимает значения на отрезке   ,в качестве начального приближения возьмем
     метод касательных:
     составим таблицу:

1 2 3	-0,1 -0,398 -0,388	-0,001 -0,063 -0,586	1,499 -0,053 -0,0001	5,03 5,475 5,452	0,298 -0,0097 -0,00002	-0/3980 -0,3883 -0,3882

Искомый корень х=-03882
Задание 203.
Найти частные производные функции

Решение.
      Частные производные:


Задание 213.
Дана функция  и две точки . Требуется:
1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

Решение.
       
Вычислим частные производные в точке А.
      
 


Приближенное значение:
       
Вычислим точки значения функции:
       
Относительная погрешность вычисления:
        

Задание 223.
Даны функция  точка  и вектор а.  Требуется найти:
1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.

Решение.
1) вектором градиентом функции двух переменных  является вектор:
       
Найдем частные производные в точке А:
        


2) производная по направлению вектора вычисляется по формуле.
        
    
Задание 233.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

Решение.
Частные производные:

На прямой АВ: \
      
На прямой АС: 
        
На прямой ВС: 
             
  
   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

О(0;0)

Y

X

Использованная литература:
 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.
2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:
-М: Оникс 21 век,  2005 г.
3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004       г.