Министерство образования и науки Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Кафедра системы управления
Курсовая работа
по дисциплине: исследование операций

Вариант 9

_
Челябинск
2004 г.
Содержание
Задание 1                                                                                            3
Задание 2                                                                                            6
Задание 3                                                                                            9
Задание 4                                                                                  11
Литература                                                                               17

Задание 1
Задача 9
Условие:
Из трех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее  a ед. химического вещества А, b ед. – вещества В и c ед. – вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг. сырья каждого вида, указано в таблице. Там же приведена цена 1 кг. сырья каждого вида. Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость.

Вещество	Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг сырья
	1	2	3
А	d11	d12	d13
В	d21	d22	d23
С	d31	d32	d33
Цена 1 кг сырья	D1	D2	D3

№ вар.	d11	d12	d13	d21	d22	d23	d31	d32	d33
9	1	1	0	2	0	3	1	2	4

D1	D2	D3	а	b	c
5	6	7	26	30	24

Решение:
Составим математическую модель задачи.
Обозначим через n1, n2, n3 количество кг сырья 1, 2, 3 соответственно.
Тогда, целевая функция будет
L=D1n1+ D2n2+D3n3 = 5n1+ 6n2+7n3 →min
Система ограничений:
_ EMBED Equation.3  ___
Приведем систему ограничений к  виду основной задачи линейного программирования. Введем целевую функцию с противоположным знаком L', и новые переменные  n4, n5, n6, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.
L’=0-(5n1+ 6n2+7n3) →max
_ EMBED Equation.3  ___
Выберем n1, n2, n3 свободными переменными, а  n4, n5, n6 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:
L’=0-(5n1+ 6n2+7n3)
_ EMBED Equation.3  ___
Составим симплекс-таблицу.
Это решение не опорное, т.к. свободные члены не положительны.
Выберем в первой строке отрицательный элемент, например на пересечении n1 и n4, тогда разрешающий столбец n1, а разрешающий элемент – n5 (минимальный по отношению свободного члена к элементам разрешающего столбца).
Таблица 1.1

	b		n1		n2		n3
L’	0		5		6		7
		-75		2,5		0		-8
n4	-26		-1		-1		0		26/1=26
		15		-1		0		1,5
n5	-30		-2		0		-3		30/2=15min
		15		-1		0		1,5
n6	-24		-1		-2		-4		24/1=24
		15		-1		0		1,5

Меняем n₁ и n_5.
Таблица 1.2

	b		n5		n2		n3
L’	-75		2,5		6		-0,5
		-45		5		-10		25
n4	-11		-0,5		-1		1,5		11/0,5=22
		9		-1		2		-5
n1	15		-0,5		0		1,5
		9		-1		2		-5
n6	-9		-0,5		-2		-2,5		9/0,5=18min
		18		-2		4		5

Меняем n₅ и n_6.
Таблица 1.3

	b		n6		n2		n3
L’	-120		5		-4		25
		-10		5		5		-18
n4	-2		-1		1		-4
		2		-1		-1		2,5
n1	24		-1		2		-3
		2		-1		-1		3,5
n5	18		-2		4		5
		4		-2		-2		7

Меняем n₄ и n₆.
Таблица 1.4

	b		n4		n2		n3
L’	-130		5		1		7
n6	2		-1		-1		3,5
n1	26		-1		-1		0
n5	22		-2		2		12

Т.к. коэффициенты при всех ni положительны, то это и есть оптимальное решение.
Тогда n4 = n2 = n3 =0, n6 =2, n1 =26, n5 =22, L’= -130, следовательно, L=130.
Необходимо взять 26 кг первого сырья, и тогда получим смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость 130.
Ответ: для получения смеси с минимальными затратами необходимо взять 26 кг только первого сырья.

Задание 2
Задача 29
Условие:
Решение задачи линейного программирования.
С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx  при условии Ax ( (B,
где (( = ( (1  (2  . . .  (6 (( ,                В( = ( b1 b2  . . . b6 (( ,
(( = ( (1  (2  . . .   (6(( ,               А= (((((     ((=1,6;  (=1,3).

№  вар.	С1	с2	с3	с4	с5	с6	b1	b2	b3
29	0	5	1	–1	1	0	2	2	10

Знаки ограничений			a11	a12	a13	a14
1	2	3
£	£	£	–1	1	1	0

a15	a16	a21	a22	a23	a24	a25	a26
0	0	1	–2	0	1	0	0

a31	a32	a33	a34	a35	a36	Тип экстрем.
2	1	1	1	2	0	max

Решение:
Составим систему:
_ EMBED Equation.3  ___
Целевая функция Q= 0x1+5x2+x3 –x4+x5 →max
Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования.
_ EMBED Equation.3  ___
Пусть х1, х2 , х3, х4, х5 – свободные переменные, х6, х7, х8 – базисные.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
Q= 0-(-5x2-x3 +x4- x5)
_ EMBED Equation.3  ___
Составим симплекс-таблицу:
Это опорное решение т.к. коэффициенты bj>0. Будем искать оптимальное решение. Т.к. коэффициенты при свободных членах <0 (кроме при x1), то разрешающим может быть любой столбец. Пусть x2, тогда на пересечении x2 и x6 получим разрешающий элемент.
Таблица 2.1

	b		x1		x2		x3		x4		x5
Q	0		0		-5		-1		1		-1
		10		-5		5		5		0		0
x6	2		-1		1		1		0		0		2/1=2min
		2		-1		1		1		0		0
x7	2		1		-2		0		1		0
		4		-2		2		2		0		0
x8	10		2		1		1		1		2		10/2=5
		-2		1		-1		-2		0		0

Меняем x₂ и x_6.
Таблица 2.2

	b		x1		x6		x3		x4		x5
Q	10		-5		5		4		1			-1
		4		1,5		-1		-1		0,5			0,5
x2	2		-1		1		1		0			0
		0		0		0		0		0			0
x7	6		-1		2		2		1			0
		0		0		0		0		0			0
x8	8		3		-1		-1		1			2
		4		6		-2		-2		2			0,5

Меняем x₅ и x_8.
Таблица 2.3

	b		x1		x6		x3		x4		x8
Q	14		-3.5		4,5		3,5		1,5		0,5
		21		5,25		-2,625		-2,625		2,625		2,625
x2	2		-1		1		1		0		0
		8/3		2/3		-1/3		-1/3		1/3		1/3
x7	6		-1		2		2		1		0
		8/3		2/3		-1/3		-1/3		1/3		1/3
x5	4		1,5		-0,5		-1		0,5		0,5
		8/3		2/3		-1/3		-1/3		1/3		1/3

Меняем x₅ и x_1.
Таблица 2.4

	b	x5	x6	x3	x4	x8
Q	35	5,25	1,875	0,875	4,125	3,125
x2	14/3	2/3	2/3	2/3	1/3	1/3
x7	26/3	2/3	5/3	5/3	4/3	1/3
x1	8/3	2/3	-1/3	-1/3	1/3	1/3

Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.
Следовательно Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0;  x1=8/3;  x2=14/3;  x7=26/3.
Ответ: Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0;  x1=8/3;  x2=14/3;  x7=26/3.

Задание 3
Задача 9
Условие:
Решение транспортной задачи:
1. Записать условия задачи в матричной форме.
2. Определить опорный план задачи.
3. Определить оптимальный план задачи.
4. Проверить решение задачи методом потенциалов.
Таблица  1

№вар.	а1	а2	а3	b1	b2	b3	b4	b5	с11	с12	с13
9	300	700	1000	200	100	400	600	200	23	40	10

с14	с15	с21	с22	с23	с24	с25	с31	с32	с33	с34	с35
12	21	25	21	20	50	18	15	30	32	25	50

Решение:
Составим таблицу транспортной задачи.
Таблица 2

	B1	B2	B3	B4	B5	a
A1
	23	40	10	12	21	300
A2
	25	21	20	50	18	700
A3
	15	30	32	25	50	1000
b	200	100	200	600	200

Заметим, что сумма запасов превышает заявки. Это транспортная задача с избытком запасов. Для того чтобы привести к транспортной задаче с правильным балансом, введем фиктивный пункт назначения В5 с нулевыми перевозками. Добавим недостающее число заявок b5=700. Теперь количество заявок равно количеству запасов и равно 2000.
Заполним таблицу. Для этого не будем использовать метод северо-западного угла, т.к. он принесет много хлопот, будем заполнять клетки слева направо от заявок к запасам, исходя из наименьшей цены.
Таблица 3

	B1	B2	B3	B4	B5	В6	a
A1				300
	23	40	10	12	21	0	300
A2		100	200		200	200
	25	21	20	50	18	0	700
A3	200			300		500
	15	30	32	25	50	0	1000
b	200	100	200	600	200	700	2000

Это будет опорный план.
Количество заполненных ячеек – 6. r=m+n-1=3+6-1=8>6, значит, план является вырожденным, т.к. не хватает 2 базисных клеток. Добавим их, и сделаем план невырожденным. Для этого изменим в некоторых клетках количество запасов и заявок на малую величину _ EMBED Equation.3  ___

Таблица 4

	B1	B2	B3	B4	B5	В6	a
A1				300			300
	23	40	10	12	21	0
A2		100	200		200	200	700
	25	21	20	50	18	0
A3	200			300		500	1000
	15	30	32	25	50	0
b	200	100	200	600	200	700	2000

Проверим методом потенциалов:
Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).
Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0
Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.
В результате получим следующую таблицу:
Таблица  5

	β1=2	β2=8	β3=7	β4=12	β5=6	β6=-13	a
α1=0				300			300
	23-2>0	40-8>0	10-7>0	12-12=0	21-6>0	0-(-13)>0
α2=13		100	200		200	200	700
	25-13-2>0	21-8-13=0	20-7-13=0	50-12-13>0	18-6-13=0	0-13+13=0
α2=13	200			300		500	1000
	15-13-2=0	30-13-8>0	32-13-7>0	25-13-2=0	50-13-6>0	0-13+13=0
b	200	100	200	600	200	700	2000

Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.
Тогда сумма всех перевозок:
L=200*15+10*21+200*20+300*12+300*25+200*18+200*0+500*0=23800
Ответ:

	B1	B2	B3	B4	B5	В6	a
A1				300
	23	40	10	12	21	0	300
A2		100	200		200	200
	25	21	20	50	18	0	700
A3	200			300		500
	15	30	32	25	50	0	1000
b	200	100	200	600	200	700	2000

Задание 4
Задача 54
Условие:
Определить экстремум целевой функции вида
( = (11(12+(22(22+(12(1(2+(1(1+(2(2
при условиях:
       (11(1+(12(2<=>(1
          (21(1+(22(2<=>(2 .
Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.
Составить функцию Лагранжа.
Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.
Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.
1.                Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.
2.                 

№

b1

b2

c11

c12

c22

extr

a11

a12

a21

a22

p1

p2

Знаки огр. 1         2

31

–7

–2

4

1.5

–2

min

–2

1.5

4

–3

18

9

£

³

Решение:
1) Целевая функция: F=4x12-2x22 +1,5x1x2-7x1-2x2→min
Рассмотрим F’=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2→max
Ограничения g1(x) и g2(x):  _ EMBED Equation.3  ___ →_ EMBED Equation.3  ___
Определим относительный максимум функции F’, для этого определим стационарную точку (х10, х20):
_ EMBED Equation.3  ___→ _ EMBED Equation.3  ___→ _ EMBED Equation.3  ___
2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции:
F’11 (х10, х20) = -8 < 0
F’12 (х10, х20) = -1,5
F’21 (х10, х20) = -1,5
F’22 (х10, х20) = 4
_ EMBED Equation.3  ___
Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки
3) Составляем функцию Лагранжа:
L(x,u)=F’(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=
=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2+u1(_ EMBED Equation.3  ___)+u2(_ EMBED Equation.3  ___)
Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:
_ EMBED Equation.3  ___             i=1;2
Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:
Система А: 
_ EMBED Equation.3  ___
Система В:
_ EMBED Equation.3  ___
Перепишем систему А:
_ EMBED Equation.3  ___
4)Введем новые переменные
V={v1,v2}≥0;  W={w1,w2}≥0
в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:
_ EMBED Equation.3  ___   
Тогда
_ EMBED Equation.3  ___.  
Значит , система В примет вид:
_ EMBED Equation.3  ___    - это условия дополняющей нежесткости.
5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.
Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы
_ EMBED Equation.3  ___
Затем создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min
Y’=-Y= -My1-My2→max.
Пусть свободные переменные: х1, х2, v1, v2, u1, u2;
а базисные y1, y2, w1, w2.
Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:
_ EMBED Equation.3  ___
_ EMBED Equation.3  ___
Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:

	b		x1		x2		u1		u2		v1		v2
Y'/M	-9		-9,5		2,5		0,5		1		1		1
		8,3125		1,1875		1,7813		-2,375		-4,75		-1,188		0
y1	7		8		1,5		-2		-4		-1		0
		0,875		0,125		0,1875		-0,25		-0,5		-0,125		0
y2	2		1,5		-4		1,5		3		0		-1
		-1,313		-0,188		-0,281		0,375		0,75		0,1875		0
w1	18		-2		1,5		0		0		0		0
		1,75		0,25		0,375		-0,5		-1		-0,25		0
w2	9		-4		3		0		0		0		0
		3,5		0,5		0,75		-1		-2		-0,5		0
	b		y1		x2		u1		u2		v1		v2
Y'/M	-0,69		1,1875		4,2813		-1,875		-3,75		-0,188		1
		0,6875		-0,188		-4,281		1		3,75		0,1875		-1
x1	0,875		0,125		0,1875		-0,25		-0,5		-0,125		0
		0,0917		-0,025		-0,571		0,1333				0,025		-0,133
y2	0,688		-0,188		-4,281		1,875		3,75		0,1875		-1
		0,3667		-0,1		-2,283		0,5333		2		0,1		-0,533
w1	19,75		0,25		1,875		-0,5		-1		-0,25		0
		0,1833		-0,05		-1,142		0,2667		1		0,05		-0,267
w2	12,5		0,5		3,75		-1		-2		-0,5		0
		0,3667		-0,1		-2,283		0,5333		2		0,1		-0,533
	b		y1		x2		y2		u2		v1		v2
Y'/M	0		1		0		1		0		0		0
x1	0,967						0,1333
u1	0,367		-0,1		-2,283		0,5333		2		0,1		-0,533
w1	19,93						0,2667
w2	12,87						0,5333

Т. о,  u2=x2=y1=y2=v1=v2=0; x1=0,967; u1=0,367; w1=19,93; w2=12,87;
б) Условия дополняющей нежесткости выполняются  (u2w2=0), значит решения исходной задачи квадратичного программирования существует.
ОТВЕТ: существует.

Литература
Курс лекций Плотникова Н. В.