Задача 1

Сравнить по риску вложения в акции типов А,В,С, если каждая из них откликается на рыночную ситуацию в соответствии с данными таблицы.

Оценку произвести сравнив средние доходности, дисперсии и СКО, и коэффициент вариации.

Тип акций	Ситуация 1		Ситуация 2
	вероятность	доходность	вероятность	доходность
А	0,5	20%	0,5	10%
В	0,99	15,1%	0,01	5,1%
С	0,7	13%	0,3	7%

Тогда ожидаемое получение прибыли от вложения капитала (т.е. математическое ожидание) составит:

Тип акций	Ситуация 1			Ситуация 2
	р	доходность	Ср.дох.	р	доходность	Ср.дох.
А	0,5	20%	10%	0,5	10%	5%
В	0,99	15,1%	14,95%	0,01	5,1%	0,051%
С	0,7	13%	9,1%	0,3	7%	2,1%

Средняя доходность акций типа В выше для ситуации 1, а для ситуации 2 – типа А.

Среднее ожидаемое значение - это то значение величины события, которое связано с неопределенной ситуацией. Среднее ожидаемое значение является средневзвешенным для всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или веса соответствующего значения. Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Среднее ожидаемое значение1 = 15,55%

Среднее ожидаемое значение2 = 8,77%

Затем по формуле

Д=/

определяется дисперсия

Д1 = 57,36/ 2,19 = 26,19%*%

Далее по формуле находится среднее квадратическое отклонение

σ = = = 5,12%

И, наконец, рассчитывается квадратический коэффициент вариации

V= σ/ Хср= 5,12 / 15,55 = 0,329 или 32,9%.

т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериальное (0,329 < 0,333), то делается вывод о типичности средней со значением 15,55% для ситуации 1.

Д2 = 21,21/ 0,81 = 26,19%*%

Далее по формуле находится среднее квадратическое отклонение

σ = = = 5,12%

И, наконец, рассчитывается квадратический коэффициент вариации

V= σ/ Хср= 5,12 / 8,77 = 0,584 или 58,4%.

т.к. расчетное значение коэффициента вариации превышает критериальное (0,584 > 0,333), то делается вывод о нетипичности средней со значением 8,77% для ситуации 2.

Задача 2

Инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5% и решил приобрести акции одного из типов А или В.

Для акций указанных типов на рынке могут возникнуть ситуации, указанные в таблице. Оценить возможное поведение инвестора при покупке акций одного из типов (средняя дисперсия) с учётом возможного проигрыша.

Тип акций	Исход 1			Исход 2
	р	доходность	Ср.дох.	р	доходность	Ср.дох.
А	0,3	6%	1,8%	0,7	2%	1,4%
В	0,2	-1%	-0,2%	0,8	4,25%	3,4%

Среднее ожидаемое значение - это то значение величины события, которое связано с неопределенной ситуацией. Среднее ожидаемое значение является средневзвешенным для всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или веса соответствующего значения. Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Средние доходности по типам акций.

Среднее ожидаемое значение по акциям А = 3,2%

Среднее ожидаемое значение по акциям В = 3,2%

Ответ – акции равноценны. Следовательно, выгоднее приобретать акции типа А, поскольку в случае исхода 1, мы имеем средний доход 1,8%, в случае исхода Б – среднюю доходность 1,4%.

В случае же исхода два мы теряем возможные 2 % прибыли. Но, если бы мы выбрали акции типа Б, то мы бы имели убыток в о.2% при исходе Б.

Задача 3

Швейное предприятие решило привязать свой ассортимент на следующий год к долгосрочному прогнозу погоды, т.е. на весь следующий год. Была собрана информация за прошедшие 11 лет о состоянии погоды. При этом оказалось, что обычная погода бывает с р=0,2, прохладная с р=0,3 и тёплая с р=0,5.

Вероятностная платёжная матрица имеет вид, приведённый в таблице. Рассчитать и объяснить выбор стратегии исходя из данных (использовать показатели среднего, дисперсии, коэффициента вариации).

Вероятность	0,2		0,3		0,5
Стратегия природы	Обычная -П1		Прохладная - П2		Тёплая – П3
Стратегия предприятия
Тёплая -Р1	17900		5900		35900
Прохладная - Р2	22000		35400		6400
Обычная -Р3	34800		22800		16000
Вероятность	0,2		0,3		0,5
Стратегия природы	Обычная -П1		Прохладная - П2		Тёплая – П3
Стратегия предприятия
Тёплая -Р1	3580	716	1770	531	17950	8975
Прохладная - Р2	4400	880	3186	1062	3200	1600
Обычная -Р3	6960	1392	6840	2280	8000	4000

Если проанализировать полученные результаты, то, можно сделать вывод, что наиболее выгодна предприятию стратегия, ориентированная на обычные погодные условия., так как практически во всех случаях средний доход получается максимальный по сравнению с другими стратегиями.

Задача 4

Найдите коэффициент вариации выплат по договору страхования жизни на один год. Страховая сумма b = 100000 руб., вероятность смерти застрахованного в течении года q = 0,0025

Решение

V= σ/ Хср

Число выплат	Сумма выплат	Х - Хср
1	100000	-1200000
2	200000	-1100000
3	300000	-1000000
4	400000	-900000
5	500000	-800000
6	600000	-700000
7	700000	-600000
8	800000	-500000
9	900000	-400000
10	1000000	-300000
11	1100000	-200000
12	1200000	-100000
13	1300000	0
14	1400000	100000
15	1500000	200000
16	1600000

	300000
17	1700000	400000
18	1800000	500000
19	1900000	600000
20	2000000	700000
21	2100000	800000
22	2200000	900000
23	2300000	1000000
24	2400000	1100000
25	2500000	1200000
Итого	32500000

Хср = 32500000/25 = 1 300 000

Затем по формуле

Д=/

определяется дисперсия

Д1 = 130 000 000/ 25 = 5 200 000 руб.*руб.

Далее по формуле находится среднее квадратическое отклонение

σ = = = 2280 руб.

И, наконец, рассчитывается квадратический коэффициент вариации

V= σ/ Хср= 2280 / 1300000 = 0,002 или 0,2%.

т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериальное (0,002 < 0,333), то делается вывод о типичности средней со значением 1300000

Ответ: V= 0,002 или 0,2%.

Задача 5

Подсчитать среднее значение выплат по договору страхования жизни на один год с зависимостью страховой суммы от причины смерти от несчастного случая b1 = 500000руб., а при смерти от естественных причин – b2 = 100000 .руб. вероятность смерти в течении года от несчастного случая q1 = 0,0005, q2 = 0,002.

n	смерть от несчастного случая	смерть от естественных причин
1	500000	100000
2	1000000	200000
3	1500000	300000
4	2000000	400000
5	2500000	500000

Хср1 = 7500000/5 = 1500000 руб. – средние выплаты по страховкам при наступлении смерти от несчастного случая.

Хср2 = 1500000/5 = 300000 руб. – средние выплаты по страховым случаям при наступлении смерти от естественных причин.

Ответ: 1500000 руб. – средние выплаты по страховкам при наступлении смерти от несчастного случая.

300000 руб. – средние выплаты по страховым случаям при наступлении смерти от естественных причин.

Задача 6

Распределение размера потерь для договора страхования склада от пожара задано таблицей. Подсчитать средний размер потерь от пожара.

Таблица. Распределение потерь от пожара.

Размер потерь	Вероятность
0	0,9
500	0,06
1000	0,03
10000	0,008
50000	0,001
100000	0,001

Размер потерь	Число застрахованных	Выплаты
0	900	0
500	6	3000
1000	3	3000
10000	8	80000
50000	1	50000
100000	1	100000
	1000	236 000

Хср = 236000/1000 = 236 руб.

Ответ: средний ущерб от пожара - 236 руб.

Задача 7

Компания только что выплатила дивиденд по обыкновенным акциям – 300 руб. на акцию. Прогнозируется будущий темп роста дивиденда 5% в год. Безрисковая доходность – 6%, доходность рынка – 9%. β – коэффициент акции равен 2. Определить ожидаемую доходность обыкновенной акции (срок её обращения неограничен).

Решение

Будущее значение дивиденда – 300 *1,05 = 315 руб.

β = цена/прибыль = 2, следовательно,

цена акции через год возрастёт до 315*2 = 630 руб.

первоначальная цена акции = 300*2 = 600 руб.

доходность = дивиденд/рыночная цена акции*100%

Ожидаемая доходность владения акцией находится по следующей формуле:

,

где

P – цена покупки акции;

D0 – последний выплаченный дивиденд по акции;

D1 – дивиденд, ожидаемый к выплате в ближайшем периоде в будущем;

g – ожидаемый темп прироста дивиденда в будущем.

r = = 0,479 или 47,9%

Ответ: ожидаемая доходность = 0,479