ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»
 
Контрольная работа
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13.
Выполнила студентка
Проверил:
Красноярск, 2008г.

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1

 

Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:

A = B + C,
где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:
B = D ;
C = E,
где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; ,  - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P ( ) = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2
P ( ) = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4
По теоремам сложения и умножения вероятностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P ( ) + P ( ) P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:
F =
По теореме умножения вероятностей
P (F) = P ( ) P ( ) = 0,2 * 0,4 = 0,08

 

Задание 2

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам
np – q ≤ k < np + p,
где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99
800 * 0,01 – 0,99 ≤ k < 800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k < 8,01
k = 8
Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:
Pn (k) = ,
где a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) =  = 0,140

 

Задание 3

На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.
X       0       1       2                 Y       0       2
p       0,1    0,6    0,3              p       0,5    0,5
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Величина Z может принимать значения:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон распределения:
Z       0       1       2       3       4
p       0,05  0,3    0,2    0,3    0,15
Проверка:
∑ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функция распределения
F (x) = P (X < x) =  =
\s
Математические ожидания:
M (x) = ∑ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 =  = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3  \* MERGEFORMAT 1,2
M (y) = ∑ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = ∑ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 =  = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \* MERGEFORMAT 2,2
M (z) = M (x) + M (y) =  = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3  \* MERGEFORMAT 1,2 + 1 =  = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \* MERGEFORMAT 2,2

Задание 4

Случайная величина X задана функцией распределения
F (x) =
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).

1)                Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна

P (a < X < b) = F (b) – F (a)

P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/27

2)                Функция плотности

f (x) = F`(x) =
3)                Математическое ожидание
M (X) =  =  =  =  = ¾ (14 – 04) = ¾
4)                Графики:
\s
\s

Задание 5

 

Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием a = 26 и средним квадратическим отклонением σ = 0,7. Требуется: а) записать функцию плотности вероятности случайной величины X – цены акции и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (25,2; 26,8); в) найти вероятность того, что абсолютная величина |X – 26| окажется меньше ε = 0,5.

А) Функция плотности нормального распределения имеет вид

f (x) =  =  =

\s

 

Б) Вероятность того, что нормальная величина примет значение из интервала (α; β), равна
P (α < X < β) =  -  =  -  = Ф (1,14) – Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значения функции Лапласа Ф (x) = берем из таблиц.
В) Вероятность того, что отклонение нормальной величины от математического ожидания не превышает ε, равна
P (|X – a| < ε) =
P (|X – 26| < 0,5) =  = 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222

СТАТИСТИКА

 

Задание 1

В задаче приведена выборка, извлеченная из соответствующей генеральной совокупности. Требуется: 1) по несгруппированным данным найти выборочную среднюю; 2) найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака X генеральной совокупности (генеральной средней), если признак X распределен по нормальному закону; известны γ = 0,98 – надежность и σ = 200 – среднее квадратическое отклонение; 3) составить интервальное распределение выборки с шагом h = 200, взяв за начало первого интервала x1 = 700; 4) построить гистограмму частот; 5) дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Проведено выборочное обследования объема промышленного производства за 16 месяцев и получены следующие результаты (тыс. руб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1)                Выборочная средняя
      =  = (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тыс. руб.
2)                Доверительный интервал
 -  < a <  + ,
где Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По таблице функции Лапласа находим: t = 2,32.
1178,1 -  < a < 1178,1 +  
1178,1 – 116,3 < a < 1178,1 + 116,3
1061,8 < a < 1294,4 тыс. руб.
3)                Подсчитаем границы интервалов:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 и т.д.
Подсчитаем частоты интервалов (т.е. количество значений объема производства, попавших в данный интервал). Интервальное распределение выборки:

Интервал	Частоты
(700; 900)	1
(900; 1100)	4
(1100; 1300)	7
(1300; 1500)	3
(1500; 1700)	1

4)                Гистограмма частот:
\s
5)                Экономическая интерпретация. Средний объем промышленного производства за 16 месяцев составил 1178,1 тыс. руб. С надежностью 0,98 можно утверждать, что средний объем производства находится в пределах от 1061,8 до 1294,4 тыс. руб. Наибольшее число месяцев (7) объем производства находился в интервале от 1100 до 1300 тыс. руб.

Задание 2

По корреляционной таблице требуется: 1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y, сделать предположение о виде корреляционной связи; 2) оценить тесноту линейной корреляционной связи; 3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, построить их графики в одной системе координат; 4) используя полученное уравнение, оценить ожидаемое среднее значение признака Y при заданном x = 98. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
В таблице дано распределение 200 заводов по основным фондам X в млн. руб. и по готовой продукции Y в млн. руб.:

y\x	20	30	40	50	60	70	80	90	100	ny
12	4									4
18	6	10	2							18
24		8	13	1	1					23
30		4	7	9	3	4	2			29
36		1	2	3	12	4	8			30
42				1	3	18	24	1		47
48							7	12	3	22
54								9	18	27
nx	10	23	24	14	19	26	41	22	21	n = 200

1)                Расчетная таблица:

X Y	20	30	40	50	60	70	80	90	100	ny	yny	y2	y2ny	∑xnxy	Усл. ср. y
12	4									4	48	144	576	80	20,0
18	6	10	2							18	324	324	5832	500	27,8
24		8	13	1	1					23	552	576	13248	870	37,8
30		4	7	9	3	4	2			29	870	900	26100	1470	50,7
36		1	2	3	12	4	8			30	1080	1296	38880	1900	63,3
42				1	3	18	24	1		47	1974	1764	82908	3500	74,5
48							7	12	3	22	1056	2304	50688	1940	88,2
54								9	18	27	1458	2916	78732	2610	96,7
nx	10	23	24	14	19	26	41	22	21	200	7362		296964	12870
xnx	200	690	960	700	1140	1820	3280	1980	2100	12870
x2	400	900	1600	2500	3600	4900	6400	8100	10000
x2nx	4000	20700	38400	35000	68400	127400	262400	178200	210000	944500
∑ynxy	156	528	630	444	672	1020	1692	1104	1116	7362
∑xynxy	3120	15840	25200	22200	40320	71400	135360	99360	111600	524400
Усл. ср. x	15,6	23,0	26,3	31,7	35,4	39,2	41,3	50,2	53,1

Подсчитаем условные средние:
x = 20 =  = (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 и т.д.
y = 12 =  = 20 * 4 / 4 = 20,0 и т.д.
Эмпирические ломаные регрессии:
\s
\s
Эмпирические линии регрессии близки к прямым. Можно сделать предположение о линейном характере связи между величиной основных фондов и готовой продукцией.
2)                Выборочные средние:
 =  = 12870 / 200 = 64,35
 =  = 7362 / 200 = 36,81
Выборочные средние квадратические отклонения
σx =  =  = 24,12
σy =  =  = 11,39
Выборочный коэффициент корреляции
r =  =  = 0,922
3)                Уравнение линейной регрессии Y по X:
x -  = r (x - )
x – 36,81 = 0,922 *  (x – 64,35)
x = 0,435x + 8,786
Уравнение линейной регрессии X по Y:
y -  = r ( y - )
y – 64,35 = 0,922 *  (y – 36,81)
y = 1,951y – 7,452
Графики:
\s
4)                Ожидаемое среднее значение Y при X = 98:
x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. руб.
Экономическая интерпретация. Связь между величиной основных фондов и готовой продукций прямая и очень тесная: коэффициент корреляции положителен и близок к 1. При увеличении основных фондов на 1 млн. руб. готовая продукция возрастает в среднем на 0,435 млн. руб. При увеличении готовой продукции на 1 млн. руб. основные фонды возрастают в среднем на 1,951 млн. руб. При величине основных фондов 98 млн. руб. ожидаемое среднее значение готовой продукции 51,5 млн. руб.

Задание 3

Даны эмпирические значения случайной величины. Требуется: 1) выдвинуть гипотезу о виде распределения; 2) проверить гипотезу с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости α = 0,05. За значения параметров a и σ принять среднюю выборочную и выборочное среднее квадратичное отклонение, вычисленные по эмпирическим данным.
В таблице дано распределение дохода от реализации некоторого товара:

8-12	12-16	16-20	20-24	24-28	28-32
6	11	25	13	4	1

1)                Вычислим середины интервалов дохода:
xi = (8 + 12) / 2 = 10 и т.д.
Расчетная таблица:

№	xi	ni	xini	xi -	(xi - )2	(xi - )2 ni
1	10	6	60	-8,067	65,071	390,4
2	14	11	154	-4,067	16,538	181,9
3	18	25	450	-0,067	0,004	0,1
4	22	13	286	3,933	15,471	201,1
5	26	4	104	7,933	62,938	251,8
6	30	1	30	11,933	142,404	142,4
Сумма		60	1084			1167,7

Выборочное среднее
      =  = 1084 / 60 = 18,067
Выборочное среднее квадратическое отклонение
s =  =  = 4,412
Выдвигаем гипотезу о нормальном распределении.
2) Расчетная таблица для применения критерия Пирсона:

i	xi	Частоты ni	ui = (xi - ) / s	φ (ui) =	Теорет. частоты ni` = nh φ (ui) / s	ni - ni`	(ni - ni`)2	(ni - ni`)2 / ni`
1	10	6	-1,829	0,0750	4,1	1,9	3,7	0,9
2	14	11	-0,922	0,2609	14,2	-3,2	10,2	0,7
3	18	25	-0,015	0,3989	21,7	3,3	10,9	0,5
4	22	13	0,892	0,2681	14,6	-1,6	2,5	0,2
5	26	4	1,798	0,0792	4,3	-0,3	0,1	0,0
6	30	1	2,705	0,0103	0,6	0,4	0,2	0,3
Сумма		60			59,4			2,7

Наблюдаемое значение
χн2 = ∑ (ni - ni`)2 / ni` = 2,7
Критическое значение (из таблиц при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 6 – 3 = 3)
χкр2 = 7,8
Так как χн2 < χкр2, гипотезу о нормальном распределении принимаем.