Институт экономики и предпринимательства

(ИНЭП)
Контрольная работа по дисциплине
«Эконометрика»
Вариант 1
Выполнил:
студент группы №
 
 Проверил:
 преподаватель ИНЭП,
кандидат технических наук
Ю.М. Давыдов
 
г. Лосино-Петровский
2008-2009 уч. год

1. Цель работы
Цель контрольной работы – демонстрация полученных теоретических знаний и приобретенных практических навыков по эконометрике – как синтезу экономической теории, экономической статистики и математики, в том числе исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и множественной регрессии (ЛММР), трендовых моделей, методом наименьших квадратов (МНК).
Для проведения расчетов использовалось приложение к ПЭВМ типа EXCEL.

2. Исследование линейных моделей парной (ЛМПР) и
множественной регрессии (ЛММР) методом наименьших
квадратов (МНК).
2.1 Контрольная задача № 1
2.1.1. Исследуем зависимость производительности труда Y (т/ч) от уровня механизации Х (%).
Исходные данные для 14 однотипных предприятий приводятся в таблице 1:
Таблица 1
2.1.2 Матричная форма записи ЛМПР (ЛММР):
Y^ = X* A^  (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии;
x_i1 – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 1;
ранг матрицы X = n + 1= 2 < k = 14    (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1  32 )             (20 )
( 1  30)             (24 )
 ( 1  36)             (28 )
 ( 1  40 )             (30 )
 (1  41 )             (31 )
 ( 1  47 )             (33)
X = (1  56)        Y =  (34 )
 (1  54)            (37 )   
 (1  60 )            (38 )
 (1  55 )            (40 )
 ( 1  61 )            (41 )
 ( 1  67 )            (43)
 (1  69 )            (45 )
 ( 1  76 )            (48 )
Значение параметров А^ = (а₀, а₁) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить (статистически оценить) методом наименьших квадратов.
Так как матрица Х, по условию, является прямоугольной, а обратную матрицу Х^-1 можно рассчитать только для квадратной матрицы, то произведем небольшие преобразования матричного уравнения типаY = X *A, умножив левую и правую части на транспонированную матрицу Х ^Т.
Получим  X^T* X * A^{^} = X ^T * Y ,
откуда A^{^} = (X^T * X ) ^–1 *( X^T * Y)  (3),
где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.
2.1.2.                     Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :
(  1  1  1  1   1  1  1  1   1  1   1  1  1  1 )
X^T = ( 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 )
в)  Находим произведение матриц X^T *X :
(  14    724 )
X^T * X =  ( 724   40134)
г) Находим произведение матриц X^T * Y:
 (  492  )
X^T * Y = ( 26907 )
д)  Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :
 (  1,064562  -0,0192 )
( X^T * X) ^–1 = (-0,0192   0,000371)

е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение
матриц (X^T *Y) и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁)^T :
(  7,0361  )
A^ = ( X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) =  (  0,543501).
Уравнение парной регрессии имеет следующий вид:
у_i^{^} = 7,0361 + 0,543501* x_i1   (4).
у_i^{^} (60) = 7,0361 + 0,543501*60 = 39, 646.
2.1.3 Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества параметров Â применим коэффициент детерминации R² . Величина R² показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена объясняющей переменной. Чем ближе R² к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные. 
Q = ∑(y_i - y¯)² (5) – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней; Q_R = ∑(y^_i - y¯)² (6) – сумма квадратов, обусловленная регрессией; Q_е = ∑(y_i – y^_i)² (7) – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов; Q = Q_R + Q_е  (8).
Q = 847,714; Q_R = 795,453; Q_е = 52,261.
Q = Q_R + Q_е = 795,453 + 52,261 = 847,714.
R² = Q_R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.
R² = 1 – Q_e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.
В нашем примере коэффициент детерминации R², очень высокий, что показывает на хорошее качество регрессионной модели (4).
2.2 Контрольная задача № 2
2.2.1. Исследуем зависимость урожайности зерновых Y от ряда переменных, характеризующих различные факторы:
Х₁ – количество удобрений, расходуемых на гектар (т\га);
Х₂ - количество химических средств защиты растений на гектар ( ц\га) .
Исходные данные для 5 районов области приводятся в таблицах:
Таблица 2

I (номер района)	yi	хi 1	хi 2
1	9,7	0,32	0,14
2	8,4	0,59	0,66
3	9,3	0,3	0,31
4	9,6	0,43	0,59
5	9,6	0,39	0,16

2.2.2. Матричная форма записи ЛММР:
Y^ = X* A^  (1), где А^ – вектор-столбец параметров регрессии ;
х_{i 1} , х_{i 2}  – предопределенные (объясняющие) переменные, n = 2;
Ранг матрицы X = n + 1= 3 < k = 5    (2).
Исходные данные представляют в виде матриц.
( 1  0,32  0,14 )        (9,7) 
( 1  0,59 0,66 )        ( 8,4  
X = ( 1  0,3   0,31 )    Y = (9,3 )
( 1  0,43  0,59 )        (9,6)
(1  0,39  0,16 )        (9,6)
Значение параметров А^ = (а₀, а₁, а ₂ ) ^T  и s² – нам неизвестны и их требуется определить ( статистически оценить ) методом наименьших квадратов.
Для нахождения параметров A^{^} применим формулу (3) задачи № 1
A^{^} = (X^T * X ) ^–1 * X^T * (3),
где (X^T * X ) ^–1 - обратная матрица.
2.2.3. Решение.
а) Найдем транспонированную матрицу Х^Т :
(  1    1    1    1   1   )
 X^T = ( 0,32 0,59 0,38 0,43 0,39 )
 ( 0,14  0,66 0,53 0,59 0,13 ).
 в)  Находим произведение матриц X^T *X :
(  5     2,11  2,05 )
X^T * X =  ( 2,11   0,932  0,94 )
( 2,05  0,94   1,101).
г) Находим произведение матриц X^T * Y:
(  46,6  )
X^T * Y =  ( 19,456 )
( 18,731 ).
д)  Вычисляем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 :
(  5,482    - 15,244  2,808  )
( X^T * X) ^–1 = (  -15,244   50,118  -14,805 )
(  2,808    -14,805   7 ,977  ).
е) Умножаем обратную матрицу  ( X^T * X) ^–1 на произведение
матриц  X^T * Y и получаем вектор- столбец A^ = (a ₀ , a ₁, a ₂)^T :
 (  11, 556 )
A^ = (X^T * X) ^–1 * (X^T * Y) = (  -5, 08  )
(  0, 0219 )
Уравнение множественной регрессии имеет следующий вид:
y_i^{^} = 11,456 - 5,08 * x_i1 - 0,0219 * x_i2 (4) .
2.2.4. Оценка качества найденных параметров
Для оценки качества найденных параметров а^₀ , a^₁ .a^₂ необходимо найти оценку дисперсии по формуле
1
s^² = ------------ (Y – X * A^)^T * (Y – X * A^),
k – n - 1
после чего можно найти среднеквадратические ошибки S_L по формуле S_L = s^√h_ii , где h_ii элементы главной диагонали матрицы (X^T * X) ^–1 .
А. Произведение матриц X * A^:
 ( 9,833 )
 ( 8,472 )
Y^{^} =X * A^ = ( 9,536 )
( 9,283 )
(9,476 ).
Б. Разность  матриц ( Y - X * A^ ) :
( -0,132 )
( - 0,072 )
( Y - X * A^ ) =(-0,036  )
( 0,116  )
( 0,0835 ).
В. ( Y - X * A^ )^T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835 )
Г. Произведение ( Y - X * A^ )^T * ( Y - X * A^ ) = 0,04458 .
С учетом того, что в нашем примере к = 5 и n = 2
1                                                              1
s^² = ------------ (Y – X * A^)^T *(Y – X * A^) =------* 0,04458 = 0,0223.
k – n - 1                                                   2
s^ = Ö 0,0223 = 0,1493 .
Г. Среднеквадратические ошибки оценок параметров будут равны:  
S ₀ = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496 ;
S ₁ = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057 ;
S ₂ = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217 .
Среднеквадратические ошибки имеют различное значения, иногда превышающие оценки параметров, что связано с малым количеством статистических данных.

3. Контрольная задача № 3
Оценки параметров трендовой модели.
3.1. По данным о розничном товарообороте региона нужно
произвести анализ основной тенденции развития товарооборота.
Таблица 3
3.2. Решение задачи будем производить методом множественной регрессии с оценкой параметров а₀, а₁, а₂, а₃ , так как: во-первых, абсолютный прирост неравномерен по годам; во-вторых, темпы роста также неравны между собой, то есть необходимо оценивать параметры а₂ и а₃ .
Матрица Х размерами 5×4 и вектор-столбец Y размерами 5×1,  будут иметь следующий вид:
 ( 1  1  1  1 )              (1,84E+10 )
 ( 1  2  4  8 )              ( 1,89E+10 )
 X = ( 1 3 9   27)       Y =   ( 1, 98E+10)
 ( 1 4 16 64)              (2, 03E+10)
 ( 1 5 25 125)             ( 2,11E+10 )
Решение задачи с помощью п риложения EXCEL позволило получить следующие оценки параметров Â и соответственно аппроксимируемые значения Y^:
 (а₀ )    ( 1,79E+10 )         (1, 838E+10 )
 (а₁ )    ( 3,976E+08 )        ( 1,899E+10 )
 =  (а₂ ) =  ( 8,929E+07 )   Y^ = ( 1, 967E+10 )
 (а₃ )    (- 8,333E+06)        ( 2, 039E+10)
 ( 2, 108E+10).
Отрицательное значение параметра а₃ = - 8,333Е+06 говорит о том, что ускорение (темп роста) замедляется, что качественно можно оценить и из вышеприведенной таблицы.
3.3. Анализ полученной трендовой модели на качество аппроксимации произведем помощью коэффициента детерминации R² .
Значение коэффициента детерминации R² = 0,9931 говорит об очень хорошем качестве трендовой модели
y_t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929*t² – 0,008333*t³ .