Контрольная работа

Контрольная работа Дифференциальные уравнения

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024


Задача №1

Даны вершины треугольника АВС.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).

Решение

1. Расстояние d между точками M1(x11) и М222) определяется по формуле:

Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М111) и М222), имеет вид:

Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда

kab = - 3/4.

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

Для нахождения углового коэффициента k прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда

k = 1/2.

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле:

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1= kab = -3/4, k2 = kac = 1/2.

< А = arctg 2 = 1,11 рад.

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М111) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид:

у – у1 = k(х – х1).(4)

Подставив в формулу (4) координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD:

у – 10 = 4/3(х – 3) , у – 10 = 4/3х – 4 , 4х – 3у + 18 = 0. (CD)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим:

СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36 + 64 = 10 .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:

(х – а)2 + (у – b)2 = R2 (5)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности:

(х – 0)2 + (у – 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

3* 3+ 4*10 +1 = 50 > 0.

поэтому искомое неравенство имеет вид:

3х + 4у +1 ≥ 0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

7* (- 7) + 5 – 31 = - 75 < 0.

Искомое неравенство будет

7х + у – 31 ≤ 0.

Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:

5 – 2(- 4) + 17 = 30 > 0.

Третье искомое неравенство

х – 2у + 17 ≥ 0.

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

Задача №2

Даны векторы a1 , a2 , a3 , b . Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

a1(5;3;1) , а2(-2;-1;2) , а3(-2;1;4) , b(3;0;1)

Решение

1. Система векторов в пространстве Rn линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:

Подставив в формулу (1) координаты векторов a1 , a2 , a3 найдем определитель:

Так как определитель не равен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственно они образуют базис трехмерного пространства.

2. Вычислим координаты вектора b в новом базисе. А – матрица перехода.

b = А * bnew

Нам необходимо определить координаты bnew.

bnew = A-1 * b(2)

Для нахождения обратной матрицы применяется формула

Необходимо найти все элементы для составления обратной матрицы:

Подставляем полученные элементы в формулу (3) и найдем А-1:

Подставив значения А-1 и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:

Задача №3

Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение

Обозначим через матрицу А – матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z; H – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А*Х = Н(1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1, получим:

А-1 * А * Х = А-1 * Н

Но А-1 * А = Е (Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х = А-1 * Н(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

где Аij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (- 1)ij на минор (определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А-1.

Тогда

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

х = - 1; у = 1; z = 0.

Задача №4

Вычислить пределы.

Решение

а) Подстановка предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х – 3) отличен от нуля при х →3:

б) При х→∞ выражение дает неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение их производных .Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение .

в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:

г)При х→∞ выражение является неопределенностью вида 1. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела:

Тогда имеем:

Пусть 3х – 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя к переменной у, получим:

Задача №5

Найти производные функций:

Решение

а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .

2у′ + еху (у + ху′) = 0, 3у2у′ + уеху + хеху у′ = 0,

Из последующего уравнения находим у′:

у′ (3у2 + хеху) + уеху = 0,

Задача №6

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на непрерывность;

3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;

4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптоты графика функции.

Решение

1. Функция определена при всех значениях аргумента х.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ∞; ∞).

3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) – четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:

Следовательно, f(-х) ≠ f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у′ = 0 при х1 = - 3, х2 = 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции.

Разобьем числовую ось на три интервала: (- ∞; - 3), (- 3; 3), (3; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:

уmin = у(-3) = 0

Значит, А(-3;0) – точка минимума.

При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:

уmax = у(3) = 2

Значит, В(3;2) – точка максимума.

На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = - 3√3 , х3 = 3√3.

Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞).

рис.2

На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла.

При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.

Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба.

Следовательно – точка перегиба графика функции.

6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.

у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1

Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

рис. 3

Задача №7

Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Решение

а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:

Задача №8

Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.

Решение

Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:

Подставим в формулу (1) у = 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим:

Ответ: объем тела вращения равен 12π


1. Курсовая на тему Фонды и фондовый рынок
2. Реферат на тему Cold War A PostRevisioninst View Of The
3. Задача Перестрахование 5
4. Реферат Массовая культура основные понятия
5. Реферат Бухгалтерский учет операций по движению и использованию материалов
6. Реферат на тему Caryl Churchill Essay Research Paper Caryl ChurchillWho
7. Реферат на тему Suicide Essay Research Paper Suicide is the
8. Курсовая на тему Система трудовых показателей в разработке бизнес плана
9. Курсовая Организаци складского тарного хозяйства на предприятии общественного питания
10. Курсовая Рівносильні та рівновеликі багатокутники