Контрольная работа

Контрольная работа Дифференцирование Интегрирование

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 12.5.2025


Задание 1. Найти производные функций

a)

Пусть , , тогда

b)

Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:

По свойству логарифма

Таким образом,

c)

Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:

Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна.

Функция нечетная, т. к.

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y=0 не имеет решений).

Найдем производную функции:

.

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.















Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость.

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.





В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т.к. и



2) горизонтальных асимптот нет,

т. к. и



3) наклонных асимптот нет,



т. к.

и



Задание 3. Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x2 + 2xy2)

Найдем частные производные первого порядка.



М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.





>0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x2 + 2xy2) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A< 0.



Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием



a)



Решаем методом замены переменной. Положим ,



тогда ,

Таким образом, получаем





Вернемся к переменной х.





Проверим дифференцированием:



b)



Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]

С



Проверим дифференцированием:



c)



Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем







Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем





Подстановка приводит интеграл к виду





Возвращаясь к аргументу х, получаем



Таким образом, ,

где С=С12



Проверим дифференцированием:



Задание 5. Вычислить определенный интеграл





Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим





Вернемся к переменной х.

Таким образом,









Библиографический список

  1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

  2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

  3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.


1. Курсовая Железнодорожные перевозки
2. Реферат на тему Animal Experimentation At New York University Essay
3. Реферат на тему Descartes First Meditation Essay Research Paper Question
4. Сочинение на тему Фонетическая вариативность английских диалектов
5. Конспект на тему Пошук інформації на компютері
6. Реферат на тему How Biff Shows Irresponsiblility In
7. Статья на тему Обеспечение безопасности населения и территорий Арктического района Красноярского края от чрезвычайных
8. Реферат на тему Up Dikes A
9. Реферат Бенин
10. Курсовая Технология выращивания грибов