Зміст

1. Послідовність незалежних випробувань. Моменти біноміального розподілу

2. Оцінка дисперсії

3. Математична теорія експерименту у техніко-економічних задачах

4. За даними закону розподілу знайти М(х), Д(х), σ(х)

Література

1. Послідовність незалежних випробувань. Моменти біноміального розподілу

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події

Для розв’язування задач на повторні незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Найімовірніша кількість. Частота настання події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Вона визначається за формулою:

Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.

Формула Пусона. Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань

, а n велике, то

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

— функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти події А від її ймовірності за модулем не перевищить e, визначається за формулою:

Твірна функція. Нехай проводяться n незалежних випробувань, в яких подія А відбувається з імовірністю

Тоді ймовірність настання цієї події m раз визначається за допомогою твірної функції

Якщо перетворити праву частину функції і звести подібні члени, то коефіцієнт при визначає

У теорії ймовірностей часто застосовуються деякі закони розподілу випадкових величин. Розглянемо ці розподіли, а також задачі, де вони використовуються.

Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою

m = 0,1,2, …, n.

Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

2. Оцінка дисперсії

Оцінка параметра розподілу сукупності у загальному випадку є випадковою величиною, яка визначається за даними вибірки і використовується замість невідомого значення параметра, який потрібно оцінити.

Оцінка називається обґрунтованою, якщо вона збігається за ймовірністю до відповідного параметра при

Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра.

У різі вибору з усіх відомих незміщених обґрунтованих оцінок певної оцінки потрібно зазначити критерій, за яким зроблено вибір.

Найчастіше застосовується критерій, який полягає у виборі оцінки, що має найменшу можливу дисперсію. Така оцінка називається ефективною. Нижня межа дисперсії незміщеної оцінки параметра (яку позначатимемо ), подається формулою:

де — щільність розподілу випадкової величини (для дискретної випадкової величини ).

Оцінки параметрів розподілу знаходять методами максимальної правдоподібності і моментів. Метод максимальної правдоподібності полягає ось у чому. Нехай закон розподілу випадкової величини подається через параметр , який у загальному випадку k-вимірний. Тоді для вибірки спільний закон розподілу подається функцією правдоподібності (запишемо, наприклад, для неперервних величин):

За оцінки максимальної правдоподібності параметрів беруться вибіркові функції, які є розв’язком системи рівнянь:

Застосування методу моментів ґрунтується на збіжності (за ймовірністю) статистичних моментів розподілу до відповідних теоретичних моментів розподілу, які в такому разі мають існувати. Як відомо, теоретичні моменти розподілу виражаються через параметри розподілу. Складаємо систему k рівнянь, в якій попарно прирівнюємо відповідні теоретичні і статистичні моменти. Розв’язком цієї системи є оцінки для параметрів розподілу.

Нехай маємо точкову оцінку параметра . Знайдемо для параметра інтервальну оцінку, скориставшись умовою В такому разі e називається точністю оцінки, а g — її надій- ністю. Тоді інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра q набуває вигляду Параметр q — не випадкова величина, надійність g можна розглядати як імовірність того, що випадковий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з обсягом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Вибірку обсягом n зроблено із сукупності, розподіленої за законом Релея

Знайти оцінку для параметра і перевірити її на незміщеність, обґрунтованість і ефективність.

Розв’язання. Застосуємо метод максимальної правдоподібності. Побудуємо функцію правдоподібності, складемо і розв’я жемо рівняння для визначення оцінки:

Перевіримо оцінку на незміщеність, знайшовши її математичне сподівання:

Перетворення виконано згідно з властивостями математичного сподівання та з урахуванням того, що результати вибірки є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами. Знайдемо випадкової величини, розподіленої за законом Релея:

Тоді тобто оцінка незміщена.

Перевірку обґрунтованості оцінки виконаємо, скориставшись другою формою нерівності Чебишова, тобто оцінимо ймовірність Щоб знайти дисперсію оцінки, виконаємо обчислення:

(Останній інтеграл, що є математичним сподіванням квадрата випадкової величини, дорівнює і обчислювався раніше.) Тоді Отже, маємо:

Підставляючи дисперсію оцінки в нерівність Чебишова, дістаємо:

Отже, оцінка обґрунтована.

Знаходимо дисперсію ефективної оцінки:

Дисперсія ефективної оцінки збігається з дисперсією знайденої оцінки для а це означає, що оцінка ефективна.

Приклад 2. За методом моментів знайти оцінку параметра р геометричного розподілу за даними вибірки обсягом n.

Розв’язання. Геометричний закон розподілу визначається формулою:

Оскільки потрібно знайти оцінку одного параметра, зрівнюємо теоретичні і статистичні початкові моменти першого порядку:

Приклад 3. За даними вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності, дисперсія якої , а надійність , знайти інтервальну оцінку для математичного сподівання цієї сукупності.

Розв’язання. Інтервальна оцінка для математичного сподівання, якщо дисперсія сукупності відома, подається у вигляді

де де — функція Лапласа.

Для побудови оцінки розглядалась вибіркова функція яка має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 4. Розв’язати попередню задачу для випадку, коли дисперсія сукупності невідома.

Розв’язання. У цьому випадку інтервальну оцінку побудуємо за допомогою вибіркової функції

яка розподілена за законом Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Довірчий інтервал

де а де — функція розподілу Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Якщо кількість ступенів волі перевищує 20, то розподіл Стьюдента практично не відрізняється від нормального закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 5. За результатами вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності з надійністю знайти довірчий інтервал для дисперсії сукупності.

Розв’язання. Для визначення довірчого інтервалу беремо вибіркову функцію яка має розподіл з n – 1 ступенями волі. Довірчий інтервал подається у вигляді Значення визначаються за допомогою таблиць розподілу з відповідною кількістю ступенів волі:

3. Математична теорія експерименту у техніко-економічних задачах

Можна виокремити щонайменше чотири функції щодо застосування математичної теорії експерименту у техніко-економічних задачах.

1. Удосконалення системи економічної інформації. Математичні експерименти дозволяють упорядковувати систему економічної інформації, виявляти недоліки в наявній інформації і виробляти вимоги до підготовки нової інформації чи її коригування. Розробка і застосування економіко-математичних моделей вказує шляхи вдосконалення економічної інформації, орієнтованої на вирішення певної системи завдань планування та управління. Прогрес у інформаційному забезпеченні планування та управління спирається на технічні й програмні засоби інформатики, яка бурхливо розвивається.

2. Інтенсифікація і підвищення точності економічних розрахунків. Формалізація економічних задач і застосування комп’ютерів багаторазово прискорюють типові, масові розрахунки, підвищують точність і скорочують трудомісткість, дозволяють проводити багатоваріантні економічні дослідження та обґрунтування складних заходів, недосяжні за панування «ручної» технології.

3. Поглиблення кількісного аналізу економічних проблем. Завдяки застосуванню математичного експерименту значно підсилюються можливості конкретного кількісного аналізу, вивчення багатьох чинників, які впливають на економічні процеси, кількісна оцінка наслідків змін умов розвитку економічних об’єктів тощо.

4. Розв’язання принципово нових техніко-економічних задач. За допомогою математичного експерименту вдається розв’язувати такі економічні задачі, які іншими засобами розв’язати практично неможливо, наприклад, знаходження оптимального варіанта народногосподарського плану, імітація народногосподарських заходів, автоматизація контролю за функціонуванням складних економічних об’єктів.

Сфера практичного застосування економіко-математичного експерименту обмежується можливостями та ефективністю формалізації економічних проблем і ситуацій, а також станом інформаційного, математичного, технічного забезпечення використовуваних моделей. Намагання за будь-яку ціну застосувати математичну модель може не дати очікуваних результатів через відсутність необхідних умов.

Відповідно до сучасних економічних уявлень щодо системи розробки і прийняття господарських рішень вона має поєднувати формальні та неформальні методи, які підсилюють один одного. Формальні методи є передусім засобом науково обґрунтованої підготовки матеріалу для наступних раціональних дій людини в процесах управління. Це дозволяє продуктивно використати досвід, інтуїцію людини, її здатність розв’язувати задачі, які важко формалізуються.

У процесі створення та машинної реалізації математичних імітаційних моделей здійснюють такі (узагальнені) етапи:

• побудова концептуальної моделі;

• побудова алгоритму згідно з концептуальною моделлю системи;

• створення комп’ютерної програми;

• машинні експерименти з моделлю системи.

Побудова концептуальної моделі експерименту

Побудова концептуальної моделі складається з таких кроків:

• постановка задачі експерименту;

• визначення вимог щодо первісної інформації та способів її отримання;

• формування гіпотез і припущень;

• визначення параметрів та змінних моделі;

• обґрунтування вибору показників і критеріїв ефективності системи;

• складання змістовного опису експерименту.

У здійсненні постановки задачі моделювання економічних об’єктів і процесів використовується чітке формулювання цілей і задач дослідження реальної системи, обґрунтовується необхідність імітаційного (комп’ютерного) моделювання, обирається методика розв’язування задачі з урахуванням наявних ресурсів, визначаються необхідність і можливість декомпозиції задачі на окремі взаємопов’язані підзадачі тощо.

При зборі необхідної вихідної інформації треба звертати увагу на те, що, власне, від якості вихідної інформації про об’єкт дослідження і моделювання залежить як адекватність моделі, так і достовірність результатів моделювання даного експерименту.

Гіпотези при побудові експерименту слугують для заповнення «прогалин» щодо розуміння та формалізації задачі. Припущення дають можливість провести необхідні спрощення моделі на підставі раціональних гіпотез. У процесі роботи з моделлю системи, як правило, можливим є багаторазове повернення до цього етапу залежно від отриманих результатів експерименту і нової інформації (розуміння) про об’єкт.

Під час визначення параметрів і змінних складається перелік вихідних і керуючих змінних, а також зовнішніх (екзогенних) і внутрішніх (ендогенних) параметрів системи.

Обрані показники і критерії ефективності системи повинні відображати мету (цілі) функціонування системи і являти собою функції змінних і параметрів системи.

Розроблення концептуальної моделі експерименту завершується складанням змістовного опису, котрий використовується як основний документ, що характеризує результати опрацювання концептуальної постановки задачі (розуміння її всіма суб’єктами, зацікавленими у результатах дослідження).

Побудова алгоритму згідно з концептуальною моделлю системи

Побудова алгоритму містить такі складові:

• побудова логічної схеми алгоритму;

• формування математичних співвідношень (аналітичних моделей);

• перевірка достовірності алгоритму.

Спочатку, як правило, створюють узагальнену схему моделюючого алгоритму, котра задає загальний порядок (хід) дій в експерименті досліджуваного процесу. Після цього розробляється детальна схема, кожний елемент якої перетворюється в оператор (групу операторів) програми.

Перевірка достовірності алгоритму повинна дати відповідь на запитання, наскільки адекватно і точно він відображає сутність експериментального процесу (у конкретній ситуації) та побудованої концептуальної моделі.

Створення комп’ютерної програми

Розроблення програми для ПК включає такі кроки:

• вибір обчислювальних засобів;

• програмування (чи налаштування відповідних параметрів існуючих програмно-методичних комплексів);

• тестування програмних засобів.

На останньому кроці необхідно, зокрема, оцінити тривалість виконання програми на комп’ютері (витрати часу) для здійснення однієї реалізації (прогону) модельованого процесу, що дасть змогу системному аналітикові правильно сформулювати вимоги щодо точності й достовірності результатів експерименту.

Проведення машинних експериментів з моделлю системи

На цьому етапі провадяться серійні обчислення за допомогою програми. Етап складається з таких кроків:

• планування машинного експерименту;

• проведення робочих обчислень;

• відповідне подання результатів моделювання (у табличній та графічній формах);

• подання рекомендацій щодо оптимізації режиму функціонування реальної системи.

Перед здійсненням робочих обчислень на комп’ютері доречно скласти план проведення експерименту з переліком комбінацій змінних і параметрів, за яких повинно відбутися моделювання системи. Завдання полягає у розробці оптимального плану експерименту, реалізація якого дозволить за порівняно невеликої кількості тестувань моделі отримати достовірні дані про закономірності функціонування реальної системи.

Результати моделювання можуть бути подані у вигляді таблиць, графіків, діаграм, схем тощо. Зазвичай найпростішою формою вважаються таблиці, хоча графіки ілюструють результати моделювання економічного об’єкта (системи) у більш наочній формі. Доцільно передбачити інтерактивний режим функціонування комплексу, виведення результатів на екран дисплея та на принтер.

Інтерпретація результатів експерименту має на меті перехід від інформації, отриманої в результаті машинного експерименту з моделлю, до висновків щодо процесу функціонування об’єкта-оригіналу.

4. За даними закону розподілу знайти М(х), Д(х), σ(х)

Х	2	4	7	3
р	0,2	0,3	0,4	0,1

Розв’язання

Обчислимо математична сподівання дискретної випадкової величини Х за формулою:

М(х)=х₁*р₁+х₂*р₂+х₃*р₃+х₄*р₄

М(х)= 2*0,2+4*0,3+7*0,4+3*0,1=0,4+1,2+2,8+0,3=4,7

Обчислимо дисперсію випадкової величини Х:

Д(х)=М(х²)-(М(х))²

М(х²)= х₁²*р₁+х₂²*р₂+х₃²*р₃+х₄²*р₄

М(х²)=4*0,2+16*0,3+49*0,4+9*0,1=0,8+4,8+19,6+0,9=26,1

Звідси, Д(х)=26,1-(4,7)²=26,1-22,09=4,01

Обчислимо середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х:

σ(х)=

σ(х)=

Відповідь: М(х)=4,7; Д(х)=4,01; σ(х)=2,002.

Література

1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1973.

2. Волощенко А. Б. Теория вероятностей и математическая статистика для инженеров-экономистов. — К.: КИНХ, 1973.

3. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические указания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Случайныя события». — К.: КИНХ, 1979.

4. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические указания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Математическая статистика». — К.: КИНХ, 1979.

5. Волощенко А. Б., Гетманцев В. Д., Кузубов В. И. Методические указания к решению задач с экономическим содержанием по разделу «Случайные величины и функции». — К.: КИНХ, 1980.

6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1977.

7. Гнеденко В. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1965.

8. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.

9. Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1970.

10. Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей. — М.: Изд-во МГУ, 1963.

11. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А. А. Свешникова. — М.: Наука, 1970.

12. Турчин В. М. Математична статистика. — К.: Вид. центр «Академія», 1999.

13. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высш. шк., 1975. — 332 с.

14. Справочник по математике для экономистов / Под ред. В. И. Ерма кова. — М.: Высш. шк., 1987. — 306 с.

15. Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. — Минск.: Вышейш. шк., 1993. — 270 с.

16. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1999.

17. Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей. — К: КНЕУ, 1999. — Ч. 1.

18. Крамер М. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001.