Контрольная работа Решение систем линейных уравнений

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 25.11.2024

Задача 1

а) Методом Гаусса – Жордана решить систему линейных уравнений:

Определить тип системы (совместная/несовместная, определенная/неопределенная), указать размерность многообразия решений.

б) Заменить все правые части системы на нуль, и для полученной системы линейных однородных уравнений написать общее решение и базис решений. Решение. а) Решим систему уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы.

Прямой ход.

2 -3 30 9 -8

6 5 6 13 4

8 2 36 22 -4

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3.

[ 6 -9 90 27 -24]

2 -3 30 9 -8

0 14 -84 -14 28

8 2 36 22 -4

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4.

[ 8 -12 120 36 -32]

2 -3 30 9 -8

0 14 -84 -14 28

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1.

[ 0 14 -84 -14 28 ]

2 -3 30 9 -8

0 14 -84 -14 28

0 0 0 0 0

Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Ранг основной и расширенной матрицы равен 2. Система совместна.

Обратный ход.

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 .

[ 0 -3 18 3 -6]

2 0 12 6 2

0 14 -84 -14 28

0 0 0 0 0

Элементы строки 1 разделим на 2.

1 0 6 3 -1

0 14 -84 -14 28

0 0 0 0 0

Элементы строки 2 разделим на 14.

1 0 6 3 -1

0 1 -6 -1 2

0 0 0 0 0

Ответ:

Система имеет бесконечное множество решений.

б) Решим систему уравнений

Прямой ход.

2 -3 30 9 0

6 5 6 13 0

8 2 36 22 0

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3.

[ 6 -9 90 27 0]

2 -3 30 9 0

0 14 -84 -14 0

8 2 36 22 0

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4.

[ 8 -12 120 36 0]

2 -3 30 9 0

0 14 -84 -14 0

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1.

[ 0 14 -84 -14 0]

2 -3 30 9 0

0 14 -84 -14 0

0 0 0 0 0

Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Ранг основной и расширенной матрицы равен 2.

Обратный ход. Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 .

[ 0 -3 18 3 0]

2 0 12 6 0

0 14 -84 -14 0

0 0 0 0 0

Элементы строки 1 разделим на 2.

1 0 6 3 0

0 14 -84 -14 0

0 0 0 0 0

Элементы строки 2 разделим на 14.

1 0 6 3 0

0 1 -6 -1 0

0 0 0 0 0

Ответ:

Общее решение:

Базисное решение:

-6 -3

λ₀= 6 λ₁= 1

1 0

0 1

Задача 2

Используя матричное исчисление, выразить переменные , через , , , если:

Решение:

Первое линейное преобразование:

y₁ x₁ 1 0 1

y₂ = A x₂A = 1 1 6

y₃ x₃1 -1 1

Второе линейное преобразование:

z₁ y₁ 1 1 -6

z₂ = B y₂B = 1 0 1

z₃ y₃6 1 -1

Тогда произведение имеет вид:

1 1 -6 1 0 1 -4 7 1

C = B · A = 1 0 1 · 1 1 6 = 2 -1 2

6 1 -1 1 -1 1 6 2 11

Ответ:

z₁ -4 7 1 y₁

z₂ = 2 -1 2 y₂

z₃ 6 2 11 y₃

Задача 3

Показать, что векторы , образуют базис в 3-мерном пространстве, и найти координаты вектора в этом базисе. Соответствующую систему линейных уравнений решить:

а) методом Гаусса – Жордана;

б) правилом Крамера;

в) матричным методом (методом обратной матрицы).

Решение:

Векторы образуют базис, если они линейно независимы.

α+β+γ=0

6α-β+2γ=0

6α-2β+3γ=0

Тогда:

Это условие выполняется, когда определитель матрицы отличен от нуля.

1 1 1

6 -1 2 = 5

6 -2 3

α+β+γ= 2

6α-β+2γ= -6

6α-2β+3γ= -18

Метод Жордана-Гаусса

1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 3/7 -4/7

6 -1 2 -6 ~ 0 -7 -4 -18 ~ 0 1 4/7 18/7 ~

6 -2 3 -18 0 -4 -3 30 0 0 5/7 138/7

1 0 0 -62/5

~ 0 1 0 -66/5

0 0 1 138/5

Координаты вектора x₁=-62/5; x₂=-66/5; x₃=138/5. Метод Крамера

1 1 1

Δ = 6 -1 2 = 5

6 -2 3

2 1 1

Δ₁ = -6 -1 2 = -62

-18 -2 3

1 2 1

Δ₂ = 6 -6 2 = -66

6 -18 3

1 1 2

Δ₃ = 6 -1 -6 = 138

6 -2 -18

Координаты вектора :

3. Метод обратной матрицы

1 1 1

А = 6 -1 2

6 -2 3

В = -6

-18

-7/5 -1/5 3/5

А^-1 = -6/5 -3/5 4/5

18/5 4/5 -7/5

-7/5 -1/5 3/5 2 -62/5

х = А^-1 · В = -6/5 -3/5 4/5 · - 6 = -66/5

18/5 4/5 -7/5 -18 138/5

Координаты вектора : x₁=-62/5; x₂=-66/5; x₃=138/5

Ответ: Координаты вектора тремя способами получились: x₁=-62/5; x₂=-66/5; x₃=138/5

Задача 4

Даны уравнения и сторон АВ и АС треугольника АВС и точка D (7; 2; -6) пересечения медиан. Составить уравнение стороны ВС и уравнение высоты (прямой линии) через вершину А. Выполнить рисунок.

Решение:

Найдем координаты т.А:

x - y=6

y=4

Решая систему уравнений установим, что А(10;4).

2) Найдем координаты т. N.

Известно, что точка D – пересечение медиан делит прямую АN на две части в соотношении AD:DN=2:1, λ=2.

N (11/2;1)

3) Найдем координаты точки В и точки С.

Координаты этих точек удовлетворяют уравнениям прямых АВ и АС.

Т.к. т.N делит ВС пополам получим:

Получим систему уравнений:

Решив систему уравнений получим координаты В(4;-2) и С(7;4).

Уравнение ВС получим как уравнение прямой проходящей через 2 точки:

4) Уравнение высоты АМ:

Найдем как уравнение прямой проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. В нашем случае через т.А и перпендикулярно ВС. Коэффициент k=2.

Ответ: Уравнение ВС:.

Уравнение высоты АМ:

Задача 5

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение:

а) ,

т.к. знаменатель

б) ;

в) = = = ;

г) = = ;

д) = = =

= = е⁶

Задача 6

Множество D на плоскости задано системой неравенств

Решение

- окружность с центром в точке начала координат и радиусом 11. Неравенство определяет множество точек, лежащих внутри окружности.

- окружность с центром в точке начала координат и радиусом 6. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности включая точки, лежащие на окружности.

- окружность с центром в точке с координатами (-8;0) и радиусом 1. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности.

- окружность с центром в точке с координатами (8;0) и радиусом 1. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности включая точки, лежащие на окружности.

≠ 11/2 – прямая исключает множество точек при пересечении с окружностями и из области, по которой проходит эта прямая.

Список использованной литературы

Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике: Учебное пособие/М. Я. Выгодский.- М.: АСТ Астрель, 2006.- 991с.
Демидович, Б. П., Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие/Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев.- М.: АСТ; Астрель, 2001.- 656с.
Дураков, Б. К. Краткий курс высшей алгебры: Учебник для вузов/Б. К. Дураков.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 232с.
Журбенко, Л. Н., Никанова, Г. А. Математика в примерах и задачах: Учебное пособие/Л. Н. Журбенко, Г. А. Никанова.- М.: Инфра – М, 2009.- 373с.
Лунгу, К. Н., Макаров, Е. В. Высшая математика. Руководство к решению задач. Часть I: Учебное пособие/К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 216с.
Минорский, В. П., Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие/В. П. Минорский.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 336с.
Соболь, Б. В., Мишняков, Н. Т., Поркшеян, В. М. Практикум по высшей математике: Учебное пособие/Б. В. Соболь, Н. Т. Мишняков, В. М. Поркшеян.- Ростов – на – Дону: Феникс,2006.- 640с.
Черненко, В. Д. Высшая математика в примерах и задачах в 3-х томах.- Т.1: Учебное пособие/В. Д. Черненко.- Спб: Политехника, 2003.- 703с.

Bukvasha