Контрольная работа по Теории вероятности

№ 1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет одинаковое число очков на обеих костях, и вероятность того, что на обеих костях выпадет четное число очков.

Решение

Событие А – выпало одинаковое число очков на обеих костях

Р (А) =

n = 6² = 36

Исходы у А:

{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } = 6 = m

Р (А) = = 0,17

Событие В – выпадет на обоих костях четное число очков

m = { (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4),(4,6), (6,2), (6,4), (6,6) } = 9

Р (В) = 0,25

Ответ:

Р (А) 0,17 , Р (В) = 0,25.

№ 2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад извлекают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы два черных шара?

Решение: Событие С – извлекли из урны хотя бы два черных шара, т.е. или два, или три, или четыре

Р (С) =

N = = = = 210

Пусть событие С₁ – из четырех шаров два черных шара

М₁ = = = = 90

Пусть событие С₂ – извлекли из четырех шаров три черных шара

М₂ = = =

Пусть событие С₃ – извлекли все 4 черных шара

М₃ = = 1

Так как события С₁, С₂, С₃ – несовместные, то по теореме сложения вероятностей :

Р(С) = Р(С₁) + Р(С₂) + Р(С₃)

Р(С) =

Ответ:

Р (С) = 0,88

№ 3. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

Решение:

Вероятность мужчин 5:

100 = 0,05

Вероятность женщин 0,25:

100 = 0,0025

Р(А) = Р(А₁) ∙ Р(Ā₂)

Событие А – вероятное лицо мужчина

Событие А₁ – дальтоник мужчина

Событие А₂ – дальтоник женщина

Р(Ā₂) = 1 – 0,0025 = 09975

Р(А) = 0,05 ∙ 0,09975 = 0,0049875

Ответ:

Р(А) = 0,0049875.

№ 4. В некотором семействе 8 детей. Вероятность рождения мальчика или девочки равна 0,5. Найти вероятность того, что

а) имеется 4 мальчика и 4 девочки;

б) число мальчиков заключено между 2 и 6 (включительно).

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Р_n(k) = ,

Где Р_n(k) – вероятность того, что среди n-детей ровно k- мальчиков.

а) Р₈(4) = 0,00390625∙

= 0,2734375≈ 0,27.

б) Число мальчиков заключено между 2 и 6, то есть 2 или 3, или 4, или 5,или 6.

Р₈(2) = ≈ 0,11

Р₈(3) = = 0,21875

Р₈(4) = 0,27

Р₈(5) = = 0,21875

Р₈(6) = = 0,11

Р_[2;6](А) = 0,11+0,21875+0,27+0,21875+0,11 = 0,9275

Ответ:

а) Р₈(4) =0,27,

б) Р_[2;6](А) = 0,9275.

№ 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х. найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины Х.

Х	10,6	20,6	21	21,6	22,4
р	0,3	0,3	0,2	0,1	0,1

Решение:

m(x) = ∑ x_ip_i = 10,6 ∙ 0,3+20,6 ∙ 0,3+21 ∙ 0,2+21,6 ∙ 0,1+22,4 ∙ 0,1 =

= 9,36+4,2+4,4 = 17,96

Дисперсия

D(x) = m²( x) - (m( x))²

m²( x) = ∑ x_i ²p_i = 10,6² ∙ 0,3+20,6 ²∙ 0,3+21² ∙ 0,2+21,6 ²∙ 0,1+22,4² ∙ 0,1=

= 33,708+127,308+88,2+46,656+50,176 = 346,048

D(x) =346,048 – (17,96)² = 346,048 – 322,5616 = 23,4864

Среднее квадратичное отклонение

��(x) = = ≈ 4,846

Функция распределения следующих величин Х

F(x) =

№ 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения. Требуется: а) найти плотность распределения; б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение; в) построить графики функций распределения и плотности распределения вероятностей.

Решение:

а) найдем плотность распределения

б) m(x)= =2 =

= 2 = 2 =

= 2 = =

D(x)=m(x²)- m²(x)

m(x²) = = 2 = =

= 2 =

= 2 =2 =

=

D(x)=m(x²)- m²(x) = =

��(x) = =

в) График функции распределения:

График плотности распределения:

№ 7. Для оценки вероятности появления дефектов были обследованы детали, выпускаемые некоторой производственной линией. Среди них было обнаружено k- дефектных деталей. Построить доверительный интервал для истинной вероятности появления дефектной детали с доверительной вероятностью, равной

0,95; n=100; k=10.

Решение:

γ= 0,95

Ф(t) = = 0,475 t = 1,96

x = = 0,1

n = 100

доверительный интервал:

0,1 – 1,96·

№ 8. Дисперсия случайной величины X равна �_². С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину ε. Параметры

��²=1,2; ε=1,8.

Решение:

Р( - неравенство Чебышева

Р( 0,37

№ 9. Математические ожидания и дисперсии независимых величин X и Y равны m_x, D_x и m_y, D_y. Вычислить математическое ожидание и дисперсию функции Z = 2XY- 9. Исходные данные

m_x=-5; , D_x= 5; m_y= 3; D_y=4.

Решение:

Величины X и Y – независимы,

D(t) = D(2XY- 9) = 2² D(X)· D(Y) - D(9) = 4·5·4 – 0 = 80

m(t) = m(2XY- 9) = 2 m(X)· m(Y) - m(9) =2·(-5)·3- 9= - 39

№ 10. По данным выборке случайной величины X вычислить все основные эмпирические характеристики: Математическое ожидание m_x^*; Дисперсии D^*; несмещенную дисперсию S²; среднее квадратическое отклонение ��_x^*; построить доверительный интервал для математического ожидания, построить доверительный интервал для дисперсии.

1,6	1,5	2,4	2,6	4,9	3,2	1,0	0,1	0,0	2,8	0,3	2,2	0,8	3,2	8,0
2,0	3,3	3,6	0,6	7,0	1,2	0,7	2,1	3,0	7,5	1,2	5,1	5,7	4,5	3,0
4,5	1,6	1,5	9,6	4,0	0,3	0,7	7,3	2,5	2,1	2,7	0,3	0,9	4,9	0,1
4,9	0,2	1,5	1,8	0,5	2,1	0,9	1,4	0,2	1,1	0,4	5,2	0,5	1,7	1,2

Решение:

Математическое ожидание

= =

= )² , где = (x₁+x₂+…+x_n)

=

S= x₁+x₂+…+x_n

= 2·2,56+2·2,25+5,76+6,76+24,01+2·10,24+1+0,01+7,84+2·0,09+0,64+64+4+10,89+12,96+0,36+49+1,44+2·0,49+4,41+18+56,25+1,44+26,01+32,49+2·20,25+92,16+16+53,29+6,25+4,41+7,29+0,09+2·24,01+0,01+0,04+2,25+3,24+0,25+4,41+0,81+0,04+1,21+0,16+27,04+0,25+2,89+1,44=670,58

D= - (2,528)² = 11,176 – 6,391 4,785

��(x) = 2,188.