1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.

а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m = 36. В результате получаем

Таким образом, искомая вероятность равна 1 .

б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.

×	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18

24

30

36

Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:

,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:

Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.

в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.

Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:

,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:

Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.

Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.

2. Имеются n изделий 4^-х сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m₁ – первого сорта, m₂ – второго сорта, m₃ – третьего сорта, m₄ – четвёртого сорта

Дано: n₁ = 3, n₂ = 3, n₃ = 4, n₄ = 2, m₁ = 2, m₂ = 1, m₃ = 2, m₄ = 2.

Решение.

Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.

Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:

Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.

(2+1+2+2)=7 изделий из изделий можно выбрать способами, то есть:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,0795.

3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.

Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.

Решение.

Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать способами, тогда

n =

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k = 7, n = 4.

Решение.

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А₁ – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А₄ – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А₁, А₂, А₃, А₄ являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

.

б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В₁ – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В₄ – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В₁, В₂, В₃, В₄ являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

.

Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.

5. В двух партиях К₁ и К₂ % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К₁ = 39%, К₂ = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,39 и р₂ = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:

Р() = р₁ · р₂ = 0,39 · 0,78 = 0,3042

Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:

Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.

б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:

Р(D) = q₁ · q₂ = (1 - р₁) · (1 - р₂) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е = +

или Р(Е) = Р() + Р()

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р₁ · q₂ + q₁ · р₂ = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P₁ = 0,39, а вторым стрелком - P₂ = 0,45. Первый стрелок сделал n₁ = 3 выстрелов, а второй стрелок – n₂ = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А₁ – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А₂ - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q₁ = 1 - p₁ = 1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q₂ = 1 - p₂ = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А₁ и А₂ находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А₁)×Р(А₂) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из ламп n_i принадлежат i^-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n₁ = 620, n₂ = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – выбранная лампа принадлежит 1^-й партии,

Событие Н₂ – выбранная лампа принадлежит 2^-й партии,

Событие Н₃ – выбранная лампа принадлежит 3^-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

Для события Н₁ имеем: m₁ = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 190, n =1000.

Для события Н₃ имеем: m₃ = 1000 - m₁ – m₂ = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i – число процентов бракованных ламп в i^-й партии. Тогда

Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N₁ белых и M₁ чёрных шаров, во второй N₂ белых и M₂ чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N₁ = 20, M₁ = 1, N₂ = 40, M₂ = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н₂ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н₁, Н₂ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N₁ + M₁) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁. 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂.

Для события Н₂ имеем:

m₂=×=

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂ соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н₁ имеем:

m₁ = 55, a n = 62, отсюда

При наступлении события Н₂ во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н₂ имеем:

m₂ = 54, a n = 62, отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756

Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н₂ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н₃ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н₁, Н₂, Н₃ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок - способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁ 2 чистые марки из 7 можно выбрать способами, а 0 гашенных из 5 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃:

Для события Н₂ имеем:

m₂=×=

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем:

m₃=×=

Отсюда, вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₁ имеем: m₁ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₂ в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₂ имеем: m₂ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₃ в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₃ имеем: m₃ = - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.

Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет m_i % изделий. Среди изделий i–го завода n_i % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?

Дано: m₁ = 60%, m₂ = 10%, m₃ = 30%, n₁ = 80%, n₂ = 90%, n₃ = 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H₁ – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H₂ – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H₃ – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н₃|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H₁, H₂ и H₃ образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса:

,

где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Для события Н₁ имеем: m₁ = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем: m₃ = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, m_i – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=

= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.

Отсюда, по формуле Байеса получим: .

Ответ: .

11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.

Дано: n = 5, m = 3.

Решение.

Испытание состоит в бросании монеты.

Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,2187.

12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р₁ может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р₂ – мелкий выигрыш, и с вероятностью р₃ билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов.

Определить вероятность получения n₁ крупных выигрышей и n₂ мелких.

Дано: n = 14, n₁ = 2, n₂ = 4, р₁ = 0,2, р₂ = 0,2.

Решение.

Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.

Рассмотрим события:

Событие А₁ – выпал крупный выигрыш.

Событие А₂ – выпал мелкий выигрыш.

Событие А₃ – билет оказался без выигрыша.

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,2, р₂ = 0,2, р₃ = 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.

Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:

Отсюда:

Ответ: .

13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .

Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k₁ ≤ m.

Дано:n = 100, p = 0,8, k₁ = 70.

Решение.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где: Ф(х) – функция Лапласа,

,

По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k₁ = 70, k₂ = 100. Вычислим х` и x``:

,

Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим

По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.

Искомая вероятность равна:

Р₁₀₀() = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.

Ответ: 0,9938.

14. Дана плотность распределения случайной величины Х.

Найти параметр γ, функцию распределения случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.

Решение.

Воспользуемся свойством плотности распределения:

.

В данном случае:

, так как при . Тогда:

То есть:

Тогда получим две функции плотности распределения:

Контроль:

Функцию распределения случайной непрерывной величины Х найдём по формуле:

где: - функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.

1. При имеем:

2. При исходный интеграл разобьем на два интеграла:

3. При исходный интеграл разобьем на три интеграла:

Таким образом, функция распределения примет вид:

б) Математическое ожидание находим по формуле:

Применяя формулу, получим:

в) Найдём дисперсию случайной величины Х :

Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:

Тогда дисперсия

Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0:

Ответ:

,

М(х) = -2, D(x) = 0,3333, .