Контрольная работа
по курсу «Компоненты электронной техники»
Тема: «Расчет индуктивности».

Методы расчета индуктивностей
Индуктивностью (коэффициентом самоиндукции) называют коэффициент пропорциональности между током и возбуждаемым им потокосцеплением. Если речь идет об отношении потокосцепления одного из двух контуров в силе обусловливающего его тока в другом контуре, то говорят о взаимной индуктивности (коэффициенте взаимной индуктивности).
Поскольку индуктивность, как это следует из определения, зависит от распределения тока в проводниках, при ее расчете надо учитывать влияние частоты. Под низкой частотой понимается такая, при которой можно пренебречь неравномерностью распределения тока по сечениям проводов; длина электромагнитной волны при этом значительно больше линейных размеров сечения. Под весьма высокой частотой понимают частоту, длина волны которой значительно меньше размеров поперечного сечения провода; при этом ток можно считать сосредоточенным в поверхностном слое нулевой толщины. Высокие частоты занимают промежуточное положение.
С практической точки зрения целесообразно рассмотреть отдельно методы расчета индуктивности воздушных контуров, катушек с замкнутыми сердечниками и катушек с сердечниками, имеющими воздушный зазор.
Воздушные контуры
Под воздушными контурами подразумевают такую систему проводов, для которых магнитная проницаемость равна проницаемости окружающей среды. Расчет в общем случае сводится к следующему. Задаваясь токами в рассматриваемых контурах, разбивают каждый из токов на элементарные нити и на основе закона Био-Савара определяют индуктивность в выбранной точке поля. По ее значению находят поток, сцепляющийся с какой-нибудь нитью тока, затем вычисляют полный магнитный поток, сцепляющийся с рассматриваемым контуром и определяемый соответствующим током.
Если справедливо предположение, что ток распределен равномерно по сечению или по поверхности провода, применяют вариант метода, заключающийся в следующем. Поток, сцепляющийся с какой-нибудь нитью тока, выражают как сумму потоков взаимной индукции, создаваемых другими нитями, причем суммирование должно быть распространено на все нити данного контура при вычислении взаимной индуктивности. При этом получают выражения, содержащие в явном виде указания на необходимые математические операции.
Таким образом, имеем
  ;
;
,
где L и M – собственная и взаимная индуктивности; di – нити тока; dl – элементы длины нитей; Ө - угол между элементами; μ₀ – магнитная постоянная.
Сложность расчетов приводит к тому, что выше приведенным методом определяют индуктивность либо проводов простой формы, либо участков, составляющих сложные контуры. В последнем случае индуктивность контура состоит из суммы индуктивностей всех участков и двойной суммы взаимной индуктивности между участками, т.е.
 (k ≠ i),
где n – число участков.
Получение расчетных соотношений для индуктивности возможно на основе и иных соображений. По определению индуктивность
,
где I – ток; Ψ – обусловленное им потокосцепление; ω – число витков; G – некоторая величина, являющаяся функцией геометрических размеров системы и имеющая размерность магнитной проводимости.
Если частные потоки сцепляются со всеми витками, то для расчета индуктивности берется проводимость пространства, в котором рассматривается суммарный поток.
Расчет индуктивностей катушек выполняют по одному из двух методов суммирования или массивного витка. Метод суммирования, заключающийся в учете частичных собственных и взаимных индуктивностей отдельных витков, не имеет явных преимуществ и применяется довольно редко (главным образом для численных расчетов катушек сложной формы). Методом массивного витка сравнивают индуктивность рассматриваемой катушки с индуктивностью массивного витка, имеющего такую же форму и размеры, при этом предполагая, что коэффициент заполнения равен единице. Таким образом, находят расчетную индуктивность, к которой затем вычисляют поправки на изоляцию.
Катушки с замкнутыми магнитопроводами (сердечниками). Расчет индуктивности катушек в магнитопроводах замкнутой формы осуществляют по общим соотношениям для магнитных цепей. В конечном своем виде эти соотношения отличаются от результатов, полученных для воздушных катушек, наличием множителя, учитывающего свойства сердечника и равного его магнитной проницаемости.
Для получения практических формул принимают, как правило, что весь магнитный поток проходит через магнитопровод (без утечек и рассеивания), а средняя магнитная силовая линия пронизывает центры масс поперечных сечений магнитной цепи (т. е. совпадает со средней линией магнитопровода). Исключением являются особые случаи, например катушки на сердечниках тороидальной формы с неполной обмоткой.
Если для какой - либо цепи возможно интегральное определение формализованной магнитной проводимости (или сопротивления), для вычисления индуктивности можно использовать формулу
,
связывающую индуктивность с магнитным сопротивлением R_M , в виде
,
где S_M - площадь поперечного сечения магнитопровода; l_M - длина средней магнитной силовой линии; μ_a - абсолютная магнитная проницаемость материала сердечника.
Катушки с сердечниками, имеющими воздушный зазор
Для магнитопроводов с большим воздушным зазором необходимо учитывать отклонение распределения поля в зазоре от идеализированного. При этом магнитные сопротивления для основного потока и потока рассеивания становятся соизмеримыми, и расчетные формулы существенно усложняются.
Поэтому для таких катушек применяют различные приближенные методы, основанные либо на аппроксимации картины поля простыми геометрическими фигурами, либо на выборе так называемых расчетных полюсов, либо на использовании картин плоскопараллельных полей.
На практике удобно применять метод эквивалентного зазора, позволяющий использовать все формулы для сердечников с малыми зазорами. При этом эквивалентным зазором называют такой, который имеет ту же проводимость, что и реальный, а геометрия его определяется сечением полюсов магнитопровода и некоторой эквивалентной длиной. Эквивалентную длину находят из условия равенства проводимости на основе аппроксимации возможных путей потока.
Применительно к элементам радиоэлектронных цепей случай больших зазоров встречается сравнительно редко (исключение – катушки на стержневых сердечниках), и большая точность расчетов при этом не требуется. Индуктивность катушек на стержневых сердечниках определяют с помощью магнитной проницаемости тела (сердечника), выражаемой через коэффициент размагничивания. В этом случае коэффициент размагничивания равен проводимости (формально введенной) окружающего сердечник пространства при условии, что весь поток проходит через торцы сердечника.
Если известен для данного сердечника коэффициент размагничивания, то индуктивность катушки легко найти путем рассмотрения магнитной цепи, состоящей из двух участков с известными магнитными сопротивлениями.
В тех случаях, когда для расчетов используют коэффициент размагничивания, в формулы вместо μ_r подставляют μ₀ (относительную магнитную проницаемость сердечника)
,
где N – коэффициент размагничивания.
Основная сложность заключается в определении коэффициентов размагничивания, зависящих в общем случае от геометрических размеров сердечника, магнитных свойств материала сердечника и характера распределения намагничивающего поля катушки.
Индуктивность воздушных катушек и тел специальной формы
Рассмотрим формулы для расчета индуктивности элементов, для которых магнитная проницаемость равна проницаемости окружающего пространства. Под общим названием «тела специальной формы» объединены элементы, не являющиеся катушками в собственном смысле, но входящие в состав цепей РЭА (провода, электроды, кабели и т. д.). Предполагается, что проводники выполнены из немагнитного материала.
Все линейные размеры приведены в сантиметрах, индуктивность в микрогенри.
 Однослойная воздушная катушка со сплошной намоткой.
 при < ,
где d – диаметр катушки; l – длина катушки; ω – число витков катушки;
 при > 5.
Многослойная воздушная катушка:
;
где d_ср – средний диаметр катушки; h – высота катушки; t – радиальная ширина намотки; ∆ L – поправка на заполнение:

,
где d_из – диаметр провода в изоляции; d_м – диаметр провода по меди.
Катушка со спиральной намоткой ленточным проводом.
Расчет индуктивности практически совпадает с расчетом L для многослойной катушки с теми же наружным и внутренним диаметрами, высотой и коэффициентом заполнения. Вместо числа витков в формулу подставляют число слоев ленточной катушки.
Соленоид на каркасе прямоугольного сечения:
 при ;
a, b – стороны поперечного сечения каркаса, a < b; l – длина катушки; k₁ - на рис 1;
 при ;
где ; .
Значение поправок α₁ и α₂ приведены в таблице 1.
Табл. 1. Значения поправок α₁ и α₂.

a/b	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
α1	0,112	0,183	0,238	0,285	0,325	0,361	0,393	0,422	0,449	0,473
α2	0,016	0,032	0,048	0,064	0,080	0,096	0,111	0,127	0,143	0,159

Погрешность расчетов индуктивности для l / b ≥ 1 определяют по рисунку 2, где ε – верхняя оценка относительной погрешности.
Для некоторых сочетаний l / b и a / b значения k₂ приведены на рис. 3.
Плоские катушки со спиральной намоткой
1.           Катушка с круглыми витками:
   при ;
 при ,
где d_ср – средний диаметр намотки; t – радиальная ширина намотки; k – на рис. 4.
2.           Катушка с квадратными витками:
,
где a_ср – дли средней стороны квадрата.
3.           Поправка на шаг намотки
;
,
где p – шаг намотки; d_M – диаметр провода по меди (или диаметр равновеликого сечения); ∆₂ – в табл. 2.

Табл. 2. Формулы для расчета поправок ∆₁ и ∆₂
для ленточных проводов.

Вид провода	∆1	∆2
Тонкая лента (с ≤ 0,1 b) Лента квадратного сечения (b = c)	ln  - k значение k по графику	k – 2 n + ( )2 *(0,6 – )+ + * ( - 2,5 ) (0,08 - ) значения n по графику k – 2 m – 0,2 ( )4 * (0,08 - ), значение m

Плоские контуры:
1.           Круговое кольцо из провода кругового сечения:
,
где D – диаметр кольца по центру сечения; d – диаметр провода.
2.           Круговое кольцо из провода квадратного сечения:
;
 где a – сторона поперечного сечения провода.
 При высоких частотах
.

3. Круговое кольцо из тонкой ленты:
,
где а – ширина ленты.
4.           Контур в виде правильного многоугольника (при условии, что длина провода значительно больше периметра его сечения):
,
где l – длина провода; A = 4l / d – для круглого провода с диаметром d; A = 2 l / (a + b) – для провода прямоугольного сечения со сторонами а и b; В – коэффициент, зависящий от числа сторон n. Его значения в табл. 3.
Табл. 3. Зависимость коэффициента В от числа сторон многоугольника n.

N	3	4	5	6	8
B	3,197	2,853	2,712	2,636	2,561

Формулой можно воспользоваться также для расчета индуктивности кругового витка, принимая В = 2,451.
Одиночный прямолинейный провод:
1.           Провод кругового сечения.
На низких частотах
, при ,
где l – длина провода; погрешность расчета по формуле не более 5%.
При высоких частотах

, при ,
погрешность формулы не более 6%.
2.           Провод прямоугольного сечения.
На низких частотах
,
где a, b – стороны поперечного сечения провода.
Приближенно на высоких частотах
 при ;
 при .
3. Полый провод круглого сечения:
,
где D – наружный диаметр провода; d – внутренний диаметр провода; k – коэффициент, значения которого в табл. 3.
Табл. 3. Зависимость k от географических размеров катушки.

d / D	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
k	0,779	0,782	0,793	0,809	0,829	0,852
d / D	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
k	0,878	0,906	0,936	0,967	1,000

На высоких частотах формула остается справедливой, если принять k = 1.
4. Полый провод квадратного сечения.
На низких частотах
.
На высоких частотах
,
где l – длина провода; а – внешняя сторона контура поперечного сечения; t - толщина стенки ( ).
Система прямолинейных проводов:
1.           Два параллельных провода (прямой и обратный):
а) для проводов круглого сечения одинакового диаметра на низких частотах
.
На высоких частотах
,
где t – расстояние между осями проводов; d – диаметр провода; l – длина провода.
б) для одинаковых проводов прямоугольного сечения на низких частотах
L = 4*10^-3 ,
где t – расстояние между центрами сечений; a и b – стороны сечения.
в) для проводов различных сечений
L = L₁ + L₂ – 2M,
где L₁ и L₂ – индуктивности каждого провода; М – взаимная индуктивность.
2.           Проводник – земля. Индуктивность определяют по формулам параллельных проводов; значение ее вдвое меньше, чем вычисленное для системы прямого и обратного проводов при t = 2h (h – расстояние до поверхности земли).
Формулы справедливы при h » λ₃ (λ₃ – длина электромагнитных колебаний в земле).
Для приближенных расчетов
L = 2*10^-3 l .
3. Коаксиальный кабель:
L = 2*10^-3 l ,
где l – длина кабеля; D – внутренний диаметр наружного цилиндра; d – внешний диаметр внутреннего цилиндра; k – коэффициент, зависящий от частоты.
4. Пучок равноудаленных параллельных проводов (ориентировочно):

L= ,
где n – число проводов; d – диаметр отдельного провода; R – радиус размещения проводов (расстояние от центра пучка до центра любого провода);
K = .
Значение К в зависимости от числа проводов n приведены в табл. 4
Табл. 4. Зависимость К от числа проводов n.

n	2	3	4	5	7	10	12	15
K	0,56	0,49	0,44	0,41	0,36	0,31	0,30	0,28

Конденсаторные секции.
1.           Плоская конденсаторная секция:
,
где l – длина электрода; d – толщина диэлектрода; b – ширина диэлектрода.
Предполагается, что b»d»a (а – толщина электрода).
Если имеет место только неравенство d«b»a, то
.
2.           Плоская конденсаторная секция, состоящая из нескольких параллельно соединенных элементов:

,
где l – длина секции (в направлении между торцами обкладок); , где a и b – ширина и толщина секции.
3.           Цилиндрическая намотанная секция с выступающими обкладками (так называемая безындукционная намотка). Расчет индуктивности можно проводить по формуле для провода круглого сечения, принимая, что l – длина секции (в направлении между торцами обкладок), d – наружный диаметр секции.
Провод кругового сечения, изогнутый по дуге окружности:
,
где R – радиус окружности, по дуге которой изогнут провод; Ө - центральный угол, соответствующий длине провода; 0≤Ө≤2π; d – диаметр провода; k₁ – коэффициент, которого на рис. 4; k₂ = 1,02 для низких и средних частот; k₂ = 0,77 для высоких частот.
В частном случае, когда
«1,

Катушки индуктивности на замкнутых сердечниках
Сердечники тороидальной формы
1. Обмотка на каркасе. При массивных измерениях магнитных параметров сердечников иногда используют разъемные обмотки, вмонтированные в каркас прямоугольного сечения, внутрь которого помещают тороидальные сердечники (табл. 5.).
Табл. 5. Расчет индуктивности катушек на сердечниках тороидальной формы.

Вариант геометрии сечения
Приближенные формулы
Уточненные формулы
Отношение величин h, вычисленных по приближенным формулам, к величинам, вычисленным по уточненным формулам.

Связь между магнитной проницаемостью материала сердечника μ_r и индуктивностью катушки L в этом случае устанавливает формула
,
где S и S_К – площади поперечных сечений сердечников и каркаса;
,
где D_K и d_K – наружный и внутренний диаметры каркаса.
3.                Неполная обмотка (рис. 4.).

;
;
где S – сечение магнитопровода; l_ср – длина средней линии магнитопровода; p_ср – периметр среднего витка.
Катушки индуктивности на разомкнутых сердечниках
Катушки на сердечниках с малыми зазорами.
Приведенные формулы справедливы при условии δ « а, где δ – ширина зазора; а – любой линейный размер поперечного сечения магнитопровода:
; μ_r > 1;
 ; μ_r » 1;
; μ_r→ ∞,
где N – коэффициент размагничивания.
Сердечники с большими воздушными зазорами.
Формулы для случая малых зазоров были выведены в предположении, что поле в зазоре близко к однородному и величина потоков рассеяния пренебрежимо мала по сравнению с рабочим потоком. Если же магнитопровод содержит воздушный зазор, для которого не выполняется условие δ « а, то с целью сохранения формы записи соотношений для расчета магнитной цепи, справедливых при малых зазорах, целесообразно ввести понятие об эквивалентном зазоре.
Наиболее удобным, оказалось, определить эквивалентный зазор как такой, который имеет ту же проводимость, что и реальный; а геометрия его определяется сечением полюсов магнитопровода и некоторой эквивалентной длиной δ_Э. при этом все формулы для сердечников с зазором остаются справедливыми при подстановке в них δ_Э вместо δ.
На практике часто встречаются полюса магнитопровода в виде двух прямоугольных призм, расположенных друг против друга. Выражение для δ_Э в этом случае имеет вид

(обмотка не перекрывает зазора) или

(обмотка перекрывает зазор), где δ – геометрическая длина зазора; p – периметр сечения магнитопровода у зазора; S – сечение магнитопровода у зазора (т. е. сечение полюса); 2с – высота обмотки; а – расстояние от сердечника до средней линии продольного сечения обмотки (т. е. приближенно полуширина обмотки).
Катушки индуктивности с немагнитными сердечниками
Немагнитные сердечники в катушках индуктивности используются в качестве элементов подстройки при работе в области высоких частот. Влияние таких сердечников на параметры катушек аналогично влиянию экрана, т.е. приводит к уменьшению индуктивности и добротности и к увеличению вносимого сопротивления и емкости.
Экран и немагнитный сердечник могут в известном приближении рассматриваться как короткозамкнутый виток, индуктивно связанный с катушкой.
Потери в катушках индуктивности. Добротность
Определение потерь в катушках индуктивности является существенны, главным образом, с точки зрения их влияния их (потерь) на характеристики схемы, в которую катушки входят. Значительно реже вычисление потерь представляет интерес с точки зрения мощности, дополнительно затрачиваемой источником питания (или источником сигнала); эта мощность может, кроме того, привести к нежелательному изменению теплового режима элементов.
Общая формула для добротности имеет вид
,
где R_э – эквивалентное сопротивление, учитывающее потери в катушке (в обмотке и сердечнике).
В связи с тем, что катушки обладают собственной емкостью, существует некоторая частота ѓ₀ (собственная, или резонансная), вблизи которой емкость оказывает существенное влияние на добротность (из-за изменений действующих индуктивности и сопротивления).
Влияние собственной емкости на добротность катушки описывается формулой
∆Q = -Q (ѓ / ѓ₀)²,

где ∆Q – уменьшение добротности Q при работе на частоте ѓ < ѓ₀.
Из-за приближенного характера формул для определения ѓ₀ и для учета его влияния на добротность практически величиной ∆Q можно пренебречь уже при ѓ ≤ ѓ₀ / 3.
Потери в катушках складываются из следующих составляющих: потери в проводе; диэлектрические потери в каркасе и изоляции провода; потери в сердечнике.