ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА ЭОУП
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Математические методы и модели в экономике"
Выполнил: студент гр. 4381-С

Кустовский Р.Г.

Проверил: доцент

Коврижных О.Е.
г. Набережные Челны

2010


ЗАДАНИЕ 1
Построить одноиндексную математическую модель задачи линейного программирования. В модели надо указать единицы измерения всех переменных, целевой функции и каждого ограничения

Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом, запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 92, 33 и 17 куб.м. соответственно. Плановый фонд рабочего времени 19100 человеко-часов.

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям, постройте модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

Показатели	Изделия
	трельяж	трюмо	тумбочка
Норма расхода материала, куб.м.:
древесно-стружечные плиты	0,042	0,037	0,028
доски еловые	0,024	0,018	0,081
доски березовые	0,007	0,008	0,005
Трудоемкость, чел.-ч.	7,5	10,2	6,7
Плановая себестоимость, ден.ед.	98,81	65,78	39,42
Оптовая цена предприятия, ден.ед.	97,10	68,20	31,70
Плановый ассортимент, шт.	450	1200	290

Решение:

В условии задачи сформулирована цель получение максимальной прибыли при необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения. Поэтому, искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются количество произведенной продукции:

Х₁ - количество изготовленных трельяжей.

Х₂ - количество изготовленных трюмо.

Х₃ - количество изготовленных тумбочек.

Поэтому целевой функцией будет математическое выражение, в которой суммируется прибыль от изготовления каждой продукции. Прибыль является разность между себестоимостью и оптовой ценой продукции.
L = (97,10 – 98,81) *Х₁ + (68,2 – 65,78)* Х₂ +(31,7 – 39,42)* Х₃ =

= –1,71 * Х₁+ 2,42 * Х₂ – 7,72 * Х₃ àmax
Условием является то, что сумма расхода материалов не должно быть больше имеющихся материалов, а так же обязательное условие - выполнение плана. Таким образом, математическая модель задачи будет иметь вид:

ЗАДАНИЕ 2
Решить одноиндексную задачу линейного программирования графическим методом.



Построим следующие прямые:
х₁ + х₂ = 2 (1)

-х₁ + х₂ = 4 (2)

х₁ + 2х₂ = 8 (3)

х₁ = 6 (4)
Для этого вычислим координаты прямых:

Заштрихуем полуплоскости, определяемые и разрешаемые каждым из ограничений неравенств. Определим область допустимых решений , многоугольник АВCDEF.

Построим целевую функцию по уравнению

Нижняя точка пересечения целевой функции и многоугольника – это точка минимума целевой функции.

Найдем координаты точки D ( 2; 0 ).

Минимальное значение целевой функции
L(Х) = L(D) = 1*2 + 3*0 = 2
ЗАДАНИЕ 3
Задача сетевого планирования

По данным варианта необходимо:

1)                построить сетевую модель, рассчитать временные параметры событий (на рисунке) и работ (в таблице);

2)                определить критические пути модели;

3)                оптимизировать сетевую модель по критерию "минимум исполнителей" (указать какие работы надо сдвигать и на сколько дней, внесенные изменения показать на графиках привязки и загрузки пунктирной линией).

Название работы	Нормальная длительность	Количество исполнителей	Вариант 2 (N=11 человек) 1.        D - исходная работа проекта; 2.        Работа E следует за D; 3.        Работы A, G и C следуют за E; 4.        Работа B следует за A; 5.        Работа H следует за G; 6.        Работа F следует за C; Работа I начинается после завершения B, H, и F
A	3	5
B	4	7
C	1	1
D	4	3
E	5	2
F	7	3
G	6	6
H	5	1
I	8	5

1.                 Построим сетевую модель, рассчитаем временные параметры событий ( на рисунке) и работ ( в таблице).




Сетевой график

Код	Название работы	t	Трн	Тро	Тпн	Тпо	Rп	Rс
1-2	D	4	0	4	0	4	0	0
2-3	E	5	4	9	4	9	0	0
3-5	A	3	9	12	13	16	4	0
3-6	G	6	9	15	9	15	0	0
3-4	C	1	9	10	12	13	3	0
5-7	B	4	12	16	16	20	4	4
6-7	H	5	15	20	15	20	0	0
4-7	F	7	10	17	13	20	3	3
7-8	I	8	20	28	20	28	0	0

В таблице использованы следующие сокращения:

t - длительность работы

Трн - ранний срок начала работы

Тро - ранний срок окончания работы

Тпн - поздний срок начала работы

Тпо - ранний срок окончания работы

Rп - полный резерв времени

Rс - свободный резерв времени

2. Определим критические пути модели

Критический путь – 1,2,3,6,7,8 = 28 суток - максимальный по продолжительности полный путь.

3. Оптимизируем сетевую модель по критерию "минимум исполнителей" (укажем какие работы надо сдвигать и на сколько дней, внесенные изменения показать на графиках привязки и загрузки пунктирной линией).
Построим график привязки для следующих исходных данных.

Название работы			Количество исполнителей
D	1-2	4	3
E	2-3	5	2
A	3-5	3	5
G	3-6	6	6
C	3-4	1	1
B	5-7	4	7
H	6-7	5	1
F	4-7	7	3
I	7-8	8	5

При оптимизации использования ресурса рабочей силы сетевые работы чаще всего стремятся организовать таким образом, чтобы:

·          количество одновременно занятых исполнителей было минимальным;

·          выровнять потребность в людских ресурсах на протяжении срока выполнения проекта.

Проведенная оптимизация была основана на использовании свободных и полных резервов работ.

Для этого необходимо чуть дальше сдвинуть указанные работы, а именно: работу (3,5) сдвинуть на 1 дней, работу (5,7) - на 3 дня, и работу (4,7) на 3 дня.

В результате оптимизации количество одновременно занятых исполнителей снизили с 16 человек до 11.




ЗАДАНИЕ 4
Решить задачу управления запасами.

Завод радиоэлектронной аппаратуры производит 860 радиоприемников в сутки. Микросхемы для радиоприемников (по 1 шт. на приемник) производятся на этом же заводе с интенсивностью 3420 тыс. шт. в сутки. Затраты на подготовку производства партии микросхем составляют 81 руб. (числа в задаче условные), себестоимость производства 1 тыс. шт. микросхем равна 25 руб. Хранение микросхем на складе обходится заводу в 1,5 руб. за каждую тысячу в сутки. У завода появилась возможность закупать микросхемы в другом месте по цене 25 руб. за 1 тыс. шт. Стоимость доставки равна 32 руб.

Выясните, стоит ли заводу закупать микросхемы вместо того, чтобы их производить. Для более выгодного режима работы завода (производство или закупка) определите периодичность подачи заказа, и затраты на управление запасами в месяц (22 рабочих дня).

1.                 Для моделирования процессов производства продукции применим модель планирования экономичного размера партии.

Размер партии микросхем, производимых на заводе:
Q* = Ö (2К₁*n*l)/(S(l-n)

Q* = Ö (2*81*0,86*3420) /(1,5*(3420 – 0,86) = 9,639 тыс. шт.
Частота запуска микросхем в производство:
t₁=(Q*/n)*q

t₁= (9,639/0,86)*22 = 246,6 часов ~ 4,1 ~ 4 рабочих дней
Общие затраты на управление запасами:


L₁ = К₁*(n/Q*) + S*( Q*(l - n))/(2l) + С_in

L₁ = 81*(0,860/9,639) + 1,5* (9,639*(3420 – 0,86))/(2*3420) + 25*0,86 = 36 руб/сут.

L₁ = 36 *22 = 792 руб/мес.
2.                 Моделирование процесса закупки произведем с помощью модели Уилсона.

Размер партии заказа:
Q_w = Ö2*К₂n/S

Q_w = Ö2*32*0,86/1,5= 6,057 тыс. шт
Подача каждого нового заказа должна производиться через:
t₂ = (Q_w/n)*q

t₂ = (6,057/0,86)*22 = 154,946 часов ~ 5,16 ~ 5 раб. дней
Затраты на управление запасами:
L₂ = К₂*(n/Q) + S*(Q/2) + С₂n

L₂ = 32*(0,86/6,057) + 1,5*(6,057/2) + 25*0,86 = 30,6 руб./сут

L₂ = 30,6 *22 = 672,9 руб./мес.
Ответ: таким образом, можно сделать вывод, что заводу выгодно покупать микросхемы у внешнего источника, чем производить их самим, расходы в этом случае меньше.