Контрольная работа

«Элементы алгебры и геометрии»

Вариант 9






Задание № 19
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.
 
Найдем определитель матрицы А:
Δ(А) =  =

= 2 ∙ 1 ∙6 + (-3) (-2) ∙3 + 1 ∙ 1 ∙ (-2) – 1 ∙ 1 ∙ 3 – (-3) ∙ 1 ∙ 6 – 2 (-2) ∙ (-2) =

= 12 + 18 – 2 – 3 + 18 – 8 = 48 – 13 = 35

Δ(А) = 35
Найдём Δ₁, Δ₂, Δ₃
Δ₁ = =

= 3 ∙ 1 ∙ 6 + (-3) (-2) ∙ 0 + 1 ∙ 4 ∙(-2) – 0 ∙1 ∙ 1 – 4 ∙ (-3) ∙ 6 – 3 (-2) (-2) =

= 18 + 0 – 8 – 0 + 72 – 12 = 90 – 20 = 70

Δ₂ (А) =  =

= 2 ∙ 4 ∙ 6 + 3 ∙ (-2) ∙ 3 + 1 ∙ 1 ∙ 0 – 3 ∙ 4 ∙ 1 – 1 ∙ 3 ∙ 6 – 2 ∙ 0 ∙ (-2) =

= 48 – 18 + 0 – 12 -18 – 0 = 0

Δ₃ = =

= 2 ∙ 1 ∙ 0 + (-3) 4 ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙(-2) – 3 ∙1 ∙ 3 – 1 ∙ (-3) ∙ 0 – 2 ∙ (-2) 4 =

= 0 – 36 – 6 – 9 + 0 + 16 = – 20 – 15 = – 35
Найдем корни:
 

 

 

 

Ответ: 2; 0; –1
Задание № 40
Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить её, если она совместна.
 
Запишем матрицу А и найдем ранг матрицы А:
 
Поменяем местами первую и вторую строки:
 




Первую строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую, первую умножим на 5 и вычтем из неё третью:
 
Вычтем из второй строки – третью:
 
Ранг матрицы

Запишем расширенную матрицу

Найдем определитель расширенной матрицы. Поменяем местами первую и вторую строки:
 
Умножим первую строку на 3 и вычтем из неё вторую, умножим первую строку на 5 и вычтем из неё третью:
 
Вычтем из второй строки третью:




 
Ранг расширенной матрицы

Ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, значит система несовместна (не имеет решений).
Задание № 54
Даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат.

Требуется:

1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;

2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;

3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;

4) построить эллипс и окружность.

Решение:

1.       Общий вид канонического уравнения эллипса:

Подставим координаты точек А и В в общее уравнение:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Подставляем найденные переменные в общее уравнение эллипса:



2.                 Полуоси:


 

 
 
 
 

 
 
3.                 Точки пересечения данного эллипса с окружностью R=8, найдем решив систему уравнений:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Получили четыре точки пересечения эллипса с окружностью:
 

4.






Задание № 69
Дано: вершины пирамиды АВСD

1.                 Записать векторы    в системе орт и найти их модули:
А (3; 3; –3); В (7; 7; –5); С (5; 14; –13); D (3; 5; –2).

 = (7 – 3; 7 – 3; –5 + 3) = (4; 4; –2)$

;

 =  = 6;

 = (5 – 3; 14 – 3; –13 + 3) = (2; 11; –10);

 = 2i + 11j – 10k;

 = 15;

 = (3 – 3; 5 – 3; –2 + 3) = (0; 2; 1);

 =  =  
2.                 Найти угол между векторами  и  :
 

 
3.                 Найти проекцию вектора  на вектор :
 
Найти площадь грани АВС:
 

 =

;


Найти объем пирамиды ABCD:
 

=  =

 

 

 
Задание № 93
Даны координаты точек А, В, С, М:
А (5; 4; 1); В (–1; –2; –2); С (3; –2; 2); М (–5; 5; 4).
1.Найти уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С:
 = 0;

 = 0;

(x – 5)( – 6 – 18) – (y – 4)( – 6 – 6) + (z – 1)(36 – 12) = 0;

– 24(x – 5) + 12(y – 4) + 24(z – 1) = 0;

– 2(x – 5) + (y – 4) + 2(z – 1) = 0;

–2x + 10 + y – 4 + 2z – 2 = 0;

–2x + y + 2z + 4 = 0 – уравнение плоскости Q.
2.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q:

Подставим координаты точки М (–5; 5; 4) и коэффициенты общего уравнения плоскости Q (–2; 1; 2) в каноническое уравнение прямой:
 
3.Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, уОz, xOz: пусть
 
Где t – некоторый параметр, тогда уравнения прямой можно записать так:
 

 
Подставим данные выражения в уравнение плоскости Q и найдем параметр t:
 

 

 

 

 
Подставим значение параметра t в уравнения и найдем координаты точки пересечения:
 

 

 
Итак, координаты точки P, точки пересечения полученной во втором пункте прямой и плоскости Q: Р.

Р₁ – точка пересечения прямой с с хОу: z = 0;
 

 

 

 

 

 

 

P₁ (2,6; 1,2; 0).
P₂ – точка пересечения прямой с уОz: x = 0;
 

 

 

 

 

 

 

P₂ (0; 1,6; 2,8).
Р₃ - точка пересечения прямой с xOz: y = 0;
;

 

 

 

 

 

 

P₃ (0,5; 0; 1,5).
Найти расстояние от точки М до плоскости Q:

т.к. прямая МР перпендикулярна плоскости Q, точка Р принадлежит плоскости Q, то расстояние между точками М и Р и будет расстоянием от точки М до плоскости Q.







Производная и дифференциал
Задание № 114
Найти пределы:
 
Разложим на множители и числитель и знаменатель:
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 
 

 

 

 

 
Задание № 135
Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х.
 
1.                 Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах ( При  и  меняется аналитическое выражение функции и только в этих точках функция может иметь разрывы.

Определим односторонние пределы в
 




Т.к. односторонние пределы в  не совпадают, значит разрыв I рода.

Определим односторонние пределы в точке:
 
Т.к. односторонние пределы в точке  совпадают, значит функция в точке  непрерывна.

2. Найти скачок функции в точке разрыва:

точка разрыва
 

Задание № 198
Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.

 

 

 
или
 

 

 
Задание № 156
Найти производные  пользуясь формулами дифференцирования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 




 

 

 

 

 
 
 
Задание №240
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления.

Начертить график.

План исследования:

1.найти область существования функции;

2.исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и её односторонние пределы в этих точках;

3. исследовать на четность, нечетность;

4. найти точки экстремума, интервалы возрастания, убывания функции;

5. найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;

6.асимптоты, если они есть;

7. построить график.
Задание № 272
Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды с заданной боковой поверхностью . Каковы должны быть размеры палатки (сторона а и высота h) чтобы вместимость палатки была наибольшей.

Решение:

Вместимость палатки – это объем палатки. Объем правильной пирамиды находится по формуле  где а – сторона квадрата (основание пирамиды), h – высота пирамиды.

Выразим высоту пирамиды через сторону квадрата: