Контрольная работа

Контрольная работа Прогнозирование урожайности различными методами

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.11.2024



Содержание
1. Задание

2. Аналитическое выравнивание

3. Метод экспоненциального сглаживания

4. Метод скользящих средних

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье

Выводы
1. Задание
По имеющимся исходным данным урожайности озимой пшеницы в Волгоградский области провести расчеты прогнозных значений на последующие шесть лет для выявления закономерных или случайных изменений.
Исходные данные урожайности:

1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958

3,5
5,2
2,2
3,6
7,1
6,9
4,1
5,3
10,1
4,8
7,7
16,8

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12



1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969

9,8
14,5
13,7
19,0
5,0
12,0
11,3
17,5
13,1
17,9
9,6

13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23



2. Аналитическое выравнивание
Выберем в качестве функций регрессии – линейную, параболическую, гиперболическую и показательную:
 .
Гиперболическую и показательную можно линеаризовать и применить МНК к этим функциям как к линейным. Для гиперболической функции введем новую переменную:
.
Тогда получим:

,
где
.
Для показательной функции проведем следующие преобразования. Прологарифмируем обе части уравнения: . Сделаем замены:
, , .
Получим:
,
откуда найдем: , , .

Применим ПО MS Excel 2003 и Stata 7.0. Посчитаем коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции значим.

Построим линейную регрессию

Регрессионная статистика










Множественный R
0,717687










R-квадрат
0,515074










Нормированный R-квадрат
0,491982










Стандартная ошибка
3,693991










Наблюдения
23
























Дисперсионный анализ










 
df
SS
MS
F
Значимость F


Регрессия
1
304,3725
304,3725
22,30559
0,000116


Остаток
21
286,557
13,64557






Итого
22
590,9296
 
 
 
















 
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние 95%
Верхние 95%

Y-пересечение
3,014625
1,592152
1,893427
0,072162
-0,29644
6,325686

Переменная X 1
0,548419
0,11612
4,722879
0,000116
0,306935
0,789903



Регрессия для гиперболической функции:

Регрессия для параболической функции:

Регрессия для показательной функции:

Как видно из этих данных, коэффициент детерминации у регрессии для гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей. А константа и коэффициент при переменной  в модели параболической регрессии не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Коэффициенты детерминации для моделей линейной и показательной регрессий примерно одиноковы, причем R-квадрат больше у показательной регрессии. Сравним эти 2 модели по другим показателям. Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда и информационные критерии Акейка и Шварца:
, ,

Чем меньше значение информационных критериев, тем лучше модель.

Итак, для модели линейной регрессии получим:

AIC=5,131843277
BIC=2,658769213 σ=3,694
Для модели регрессии показательной функции имеем:
AIC= 5,477785725 BIC= 2,831740437 σ=4,028
Все 3 показателя лучше в первом случае.

Применим модель линейной регрессии для аналитического выравнивания исходного ряда. Модель такова:
у=3,01+0,55t;
Значения уровней ряда, полученных по модели, и остатков представлены в следующей таблице:



Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки

1
3,563043478
-0,063043478

2
4,111462451
1,088537549

3
4,659881423
-2,459881423

4
5,208300395
-1,608300395

5
5,756719368
1,343280632

6
6,30513834
0,59486166

7
6,853557312
-2,753557312

8
7,401976285
-2,101976285

9
7,950395257
2,149604743

10
8,498814229
-3,698814229

11
9,047233202
-1,347233202

12
9,595652174
7,204347826

13
10,14407115
-0,344071146

14
10,69249012
3,807509881

15
11,24090909
2,459090909

16
11,78932806
7,210671937

17
12,33774704
-7,337747036

18
12,88616601
-0,886166008

19
13,43458498
-2,13458498

20
13,98300395
3,516996047

21
14,53142292
-1,431422925

22
15,0798419
2,820158103

23
15,62826087
-6,02826087



Спрогнозируем урожайность озимой пшеницы на последующие 6 лет



Прогнозные значения

 t
 y

24
16,17667984

25
16,72509881

26
17,27351779

27
17,82193676

28
18,37035573

29
18,9187747



Из графика видно, что урожайность с каждым последующим годом будет возрастать и достигнет через шесть лет значения практически в 2 раза большего, чем в 1969 году. Этот результат достигнут в результате существенного роста урожайности зерновых культур.

Проверим наличие автокорреляции в данном динамическом ряду. Для этого составим следующие таблицы:
Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

Год
Фактические уровни y(t)
Уровни, сдвинутые на год y(t-1)
y(t)y(t-1)
y(t)^2

1
3,5
9,6
33,6
12,25

2
5,2
3,5
18,2
27,04

3
2,2
5,2
11,44
4,84

4
3,6
2,2
7,92
12,96

5
7,1
3,6
25,56
50,41

6
6,9
7,1
48,99
47,61

7
4,1
6,9
28,29
16,81

8
5,3
4,1
21,73
28,09

9
10,1
5,3
53,53
102,01

10
4,8
10,1
48,48
23,04

11
7,7
4,8
36,96
59,29

12
16,8
7,7
129,36
282,24

13
9,8
16,8
164,64
96,04

14
14,5
9,8
142,1
210,25

15
13,7
14,5
198,65
187,69

16
19
13,7
260,3
361

17
5
19
95
25

18
12
5
60
144

19
11,3
12
135,6
127,69

20
17,5
11,3
197,75
306,25

21
13,1
17,5
229,25
171,61

22
17,9
13,1
234,49
320,41

23
9,6
17,9
171,84
92,16

Сумма
220,7
220,7
2353,68
2708,69

Средняя
9,595652174


102,333913
117,76913



Дисперсия
25,69258979
Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,95)

Коэффициент автокорреляции
0,399234662



Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка

Год
Фактические уровни y(t)
Уровни, сдвинутые на 2 года y(t-2)
y(t)y(t-2)
y(t)^2

1
3,5
17,9
62,65
12,25

2
5,2
9,6
49,92
27,04

3
2,2
3,5
7,7
4,84

4
3,6
5,2
18,72
12,96

5
7,1
2,2
15,62
50,41

6
6,9
3,6
24,84
47,61

7
4,1
7,1
29,11
16,81

8
5,3
6,9
36,57
28,09

9
10,1
4,1
41,41
102,01

10
4,8
5,3
25,44
23,04

11
7,7
10,1
77,77
59,29

12
16,8
4,8
80,64
282,24

13
9,8
7,7
75,46
96,04

14
14,5
16,8
243,6
210,25

15
13,7
9,8
134,26
187,69

16
19
14,5
275,5
361

17
5
13,7
68,5
25

18
12
19
228
144

19
11,3
5
56,5
127,69

20
17,5
12
210
306,25

21
13,1
11,3
148,03
171,61

22
17,9
17,5
313,25
320,41

23
9,6
13,1
125,76
92,16

Сумма
220,7
220,7
2349,25
2708,69

Средняя
9,595652174


102,141304
117,76913



Дисперсия
25,69258979
Автокорреляция присутствует ( с вероятностью 0,99)

Коэффициент автокорреляции
0,391737999



Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка

Год
Фактические уровни y(t)
Уровни, сдвинутые на 3 года y(t-3)
y(t)y(t-3)
y(t)^2

1
3,5
13,1
45,85
12,25

2
5,2
17,9
93,08
27,04

3
2,2
9,6
21,12
4,84

4
3,6
3,5
12,6
12,96

5
7,1
5,2
36,92
50,41

6
6,9
2,2
15,18
47,61

7
4,1
3,6
14,76
16,81

8
5,3
7,1
37,63
28,09

9
10,1
6,9
69,69
102,01

10
4,8
4,1
19,68
23,04

11
7,7
5,3
40,81
59,29

12
16,8
10,1
169,68
282,24

13
9,8
4,8
47,04
96,04

14
14,5
7,7
111,65
210,25

15
13,7
16,8
230,16
187,69

16
19
9,8
186,2
361

17
5
14,5
72,5
25

18
12
13,7
164,4
144

19
11,3
19
214,7
127,69

20
17,5
5
87,5
306,25

21
13,1
12
157,2
171,61

22
17,9
11,3
202,27
320,41

23
9,6
17,5
168
92,16

Сумма
220,7
220,7
2218,62
2708,69

Средняя
9,595652174
 
96,4617391
117,76913



Дисперсия
25,69258979
Автокорреляция отсутствует

Коэффициент автокорреляции
0,170679504



Как видно из таблиц, обнаружилась автокорреляция только первого и второго порядков. Это говорит о том, что значительное влияние на урожайность озимой пшеницы в данном году оказывает урожайность двух предыдущих лет.
3. Метод экспоненциального сглаживания
Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания.

Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции:
,
где  – параметр сглаживания;.

Выберем =0,3



На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Формулы расчета оценок коэффициентов:

Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда:

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:
S1
S2
a0
a1
 
 

3,5
3,692
4,2548
3,1292
-0,3752
2,754
0,556516

5,2
4,2952
4,27096
4,31944
0,01616
4,3356
0,74718736

2,2
3,45712
3,945424
2,968816
-0,325536
2,64328
0,196497158

3,6
3,514272
3,772963
3,255581
-0,1724608
3,08312
0,267164934

7,1
4,9485632
4,243203
5,653923
0,47024
6,1241632
0,95225746

6,9
5,7291379
4,837577
6,620699
0,594373888
7,21507264
0,099270768

4,1
5,0774828
4,933539
5,221426
0,095962266
5,31738842
1,482034555

5,3
5,1664897
5,026719
5,30626
0,093180119
5,39943995
0,009888303

10,1
7,1398938
5,871989
8,407798
0,845269727
9,25306811
0,717293628

4,8
6,2039363
6,004768
6,403105
0,13277883
6,53588335
3,013291001

7,7
6,8023618
6,323806
7,280918
0,319037494
7,5999555
0,010008902

16,8
10,801417
8,11485
13,48798
1,791044614
15,2790286
2,313354018

9,8
10,40085
9,02925
11,77245
0,914400039
12,6868503
8,333904844

14,5
12,04051
10,23375
13,84727
1,204503986
15,0517701
0,304450249

13,7
12,704306
11,22197
14,18664
0,988220769
15,174858
2,17520614

19
15,222584
12,82222
17,62295
1,600243488
19,2231924
0,049814834

5
11,13355
12,14675
10,12035
-0,67546729
9,44488196
19,75697565

12
11,48013
11,8801
11,08016
-0,26664841
10,8135091
1,407760654

11,3
11,408078
11,69129
11,12486
-0,18880986
10,9360534
0,132457117

17,5
13,844847
12,55271
15,13698
0,861421592
15,9984008
2,254800093

13,1
13,546908
12,95039
14,14342
0,397677461
14,5411018
2,076774272

17,9
15,288145
13,88549
16,6908
0,93510118
17,6258978
0,075132009

9,6
13,012887
13,53645
12,48932
-0,34904247
12,1402807
6,453026248













53,38506621



Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:


Выберем

Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi
Характеристики
Оценки коэффициентов




S1
S2
S3
a0
a1
a2

3,5
-2,1132811
-7,09343
-12,2029
2,737493
1,176307311
-0,00808583
3,91383304
0,171257789

5,2
-0,6506249
-5,80487
-10,9233
4,539396
1,307567679
0,002236112
5,84696599
0,41856499

2,2
-0,0804999
-4,65999
-9,67067
4,067818
0,915810984
-0,02694854
4,98399185
7,7506106

3,6
0,6556001
-3,59688
-8,45591
4,301519
0,740885761
-0,03790978
5,04312342
2,082605212

7,1
1,9444801
-2,4886
-7,26245
6,036806
0,927243389
-0,02129738
6,96427656
0,018420853

6,9
2,935584
-1,40377
-6,09071
6,927341
0,900178696
-0,02172458
7,82775603
0,860731248

4,1
3,1684672
-0,48932
-4,97043
6,002929
0,477055074
-0,05145785
6,4813078
5,670626841

5,3
3,5947738
0,327499
-3,91085
5,890979
0,300937696
-0,06069189
6,19375797
0,798803306

10,1
4,895819
1,241163
-2,88044
8,083524
0,66559622
-0,02918445
8,74954607
1,823725828

4,8
4,8766552
1,968261
-1,9107
6,814478
0,21148275
-0,06066067
7,02780093
4,963096995

7,7
5,4413242
2,662874
-0,99599
7,339363
0,226893959
-0,05502572
7,56777081
0,017484558

16,8
7,7130593
3,672911
-0,06221
12,05824
1,172083885
0,01906433
13,2305026
12,741312

9,8
8,1304475
4,564418
0,863117
11,5612
0,819644091
-0,00845449
12,3808846
6,660965133

14,5
9,404358
5,532406
1,796975
13,41283
1,040514466
0,008532533
14,4533811
0,00217332

13,7
10,263486
6,478622
2,733304
14,0879
0,967225013
0,002471645
15,0551249
1,836363466

19
12,010789
7,585056
3,703655
16,98086
1,395610031
0,034020784
18,3770439
0,388074354

5
10,608631
8,189771
4,600878
11,85746
-0,01686454
-0,07312702
11,8432687
46,83032672

12
10,886905
8,729198
5,426542
11,89966
-0,06882696
-0,07155927
11,8333975
0,027756394

11,3
10,969524
9,177263
6,176686
11,55347
-0,19385244
-0,07551973
11,3624686
0,003902328

17,5
12,275619
9,796934
6,900736
14,33679
0,397867259
-0,02609459
14,7349986
7,645232881

13,1
12,440495
10,32565
7,585718
13,93026
0,196638702
-0,03906748
14,1276666
1,056098587

17,9
13,532396
10,967
8,261974
15,95817
0,567175299
-0,00872643
16,5253867
1,88956183

9,6
12,745917
11,32278
8,874135
13,14354
-0,18901755
-0,06409432
12,956581
11,26663598

















114,9243312


Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:



Выберем

Соответственно:

= 1,91758335

=-1,2595453

=-4,60049885

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi
Характеристики
Оценки коэффициентов




S1
S2
S3
a0
a1
a2

3,5
4,0123083
0,322011
-3,12375
7,947147
1,813620275
0,04491565
9,76177562
0,742657215

5,2
5,7486158
1,949992
-1,60162
9,794246
1,862385849
0,045368582
11,6576611
3,450904714

2,2
5,9440311
3,148204
-0,17668
8,210805
0,696151358
-0,09717296
8,91167811
6,308526949

3,6
5,9308218
3,982989
1,071224
6,914721
-0,07996759
-0,17704896
6,8504266
0,903310726

7,1
7,9915752
5,185565
2,305526
10,72356
1,132323907
-0,01359714
11,8559729
0,891187203

6,9
8,6841027
6,235126
3,484406
10,83134
0,76321248
-0,05542235
11,5960834
1,679832129

4,1
8,6888719
6,97125
4,530459
9,683325
0,049851182
-0,13282693
9,74199756
1,085758914

5,3
9,0822103
7,604538
5,452683
9,8857
-0,00649776
-0,12382952
9,88686868
0,012798695

10,1
10,857547
8,580441
6,39101
13,22233
1,059105338
0,01610373
14,2815645
0,516149625

4,8
9,910283
8,979393
7,167525
9,960194
-0,43707812
-0,16181241
9,53620743
3,371657732

7,7
12,007198
9,887735
7,983588
14,34198
1,112672366
0,039547931
15,4554323
2,086775904

16,8
13,055039
10,83793
8,83989
15,49123
1,158089937
0,040238477
16,650127
1,322792148

9,8
14,238527
11,85811
9,745355
16,88662
1,274192695
0,049163686
18,162018
1,35028586

14,5
15,666969
13,00077
10,72198
18,72059
1,510309073
0,07115812
20,23343
1,521349651

13,7
17,026878
14,2086
11,76796
20,2228
1,56621064
0,069363232
21,791418
2,532611258

19
17,978815
15,33966
12,83947
20,75693
1,262936101
0,025523494
22,0201889
3,313087501

5
15,34517
15,34132
13,59003
13,60159
-1,65662782
-0,32095738
11,9964693
7,820240766

12
16,531619
15,69841
14,22254
16,72218
-0,25277423
-0,11803844
16,4763703
7,972884921

11,3
16,612133
15,97252
14,74754
16,66636
-0,28139592
-0,10751882
16,3907461
0,167488742

17,5
18,018493
16,58632
15,29917
19,5957
0,751423356
0,0266386
20,347482
0,907290518

13,1
16,092945
16,4383
15,64091
14,60483
-1,23246052
-0,20989346
13,3944003
3,219872312

17,9
16,845062
16,56033
15,91674
16,77093
-0,21852822
-0,06591395
16,5545712
4,183779005

9,6
16,321543
16,4887
16,08832
15,58687
-0,61020409
-0,10423889
14,9820974
0,013901034

















55,37514352


Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:



Выберем

Соответственно:

= 3,0313761

=1,06416203

=-0,970755225

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi
Характеристики
Оценки коэффициентов




S1
S2
S3
a0
a1
a2

3,5
5,3788257
2,790027
0,533558
8,299952
2,24282099
0,147701582
10,5536813
2,734661735

5,2
7,1472954
4,532935
2,133309
9,976391
2,076938886
0,095437634
12,0578839
5,098039615

2,2
6,8483772
5,459112
3,46363
7,631426
-0,01682611
-0,26942947
7,65089649
1,564742023

3,6
6,4690263
5,863078
4,423409
6,241255
-0,89293167
-0,37054215
5,41697437
0,233313758

7,1
9,0014158
7,118413
5,50141
11,15042
1,669114
0,118222485
12,8265216
0,000703397

6,9
9,5208495
8,079388
6,532601
10,85699
0,797136961
-0,04681077
11,6552198
1,836620752

4,1
9,1925097
8,524636
7,329415
9,333035
-0,37506983
-0,23437677
8,98543167
0,081471237

5,3
9,5155058
8,920984
7,966043
9,749608
-0,16430499
-0,1601865
9,59813271
0,161497319

10,1
11,709303
10,03631
8,79415
13,81313
1,78550802
0,191480082
15,6169656
0,380646557

4,8
10,105582
10,06402
9,302098
9,426785
-1,09285126
-0,32015981
8,38518453
0,469477846

7,7
12,823349
11,16775
10,04836
15,01515
1,937829195
0,238313566
16,9813782
0,006622415

16,8
13,89401
12,25825
10,93232
15,83958
1,572441642
0,137696713
17,4215037
3,692176522

9,8
15,136406
13,40952
11,9232
17,10387
1,525483554
0,106920913
18,6350679
2,673447105

14,5
16,681843
14,71845
13,0413
18,93149
1,75420453
0,127220923
20,6937846
2,86890619

13,7
18,089106
16,06671
14,25146
20,31865
1,67049331
0,092065566
21,9933807
3,216214243

19
18,933464
17,21341
15,43624
20,5964
1,057851513
-0,02538566
21,6545716
2,115778599

5
15,040078
16,34408
15,79938
11,88738
-3,74509187
-0,82164528
8,47983483
0,518637869

12
16,744047
16,50407
16,08125
16,8012
-0,12441845
-0,08125883
16,6800788
6,863987211

11,3
16,766428
16,60901
16,29236
16,76461
-0,14275806
-0,07077229
16,6243542
0,030851434

17,5
18,579857
17,39735
16,73435
20,28188
1,596467573
0,230894027
21,9049998
0,366024715

13,1
15,787914
16,75358
16,74204
13,84506
-2,16385405
-0,43430858
11,7755167
0,030806121

17,9
16,912748
16,81724
16,77212
17,05863
0,142041992
0,022392189
17,2009276
1,957403589

9,6
16,187649
16,56541
16,68944
15,55616
-0,64652505
-0,11276768
14,9159978
0,033856812

















36,93588706


Постоим соответственно графики значений  по исходным данным линейной и параболической формы сглаживания.

Линейная форма:

Параболическая форма:

1) =0,2

2) =0,3

3) =0,4

Видно,что параболическая форма зафисимости экспоненциального сглаживания лучше подогнана к исходным данным.Следовательно, параболическая форма более подходит для прогноза. Сделаем прогноз на 6 лет и представим графической формой.



t
24
25
26
27
28
29



14,916
14,28855
13,67381
13,0718
12,4825
11,90591




4. Метод скользящих средних
Выберем в качестве параметров скольжения 3, 5, 9. Причем при параметре, равном 5, используем весовые коэффициенты для расчета скользящей средней. Для определения этих весовых коэффициентов применим треугольник Паскаля. Таким образом, весовыми коэффициенты будут следующие числа: 1, 2, 4, 2, 1.

Для начала проведем расчеты при параметре скольжения 3. Данные приведем в следующей таблице:



t
y
Скользящая сумма
Скользящая средняя
Прирост
Ускорения

1
3,5
 
 
 
 

2
5,2
25,1
8,367
 
 

3
2,2
22,1
7,367
-1
 

4
3,6
25,1
8,367
1
2

5
7,1
29
9,667
1,3
0,3

6
6,9
31,8
10,6
0,933
-0,367

7
4,1
29
9,667
-0,933
-1,867

8
5,3
33,7
11,233
1,567
2,500

9
10,1
32,7
10,9
-0,333
-1,900

10
4,8
39,6
13,2
2,300
2,633

11
7,7
40,1
13,367
0,167
-2,133

12
16,8
49,4
16,467
3,100
2,933

13
9,8
51,5
17,167
0,700
-2,400

14
14,5
56,2
18,733
1,567
0,867

15
13,7
59,4
19,8
1,067
-0,500

16
19
49,6
16,533
-3,267
-4,333

17
5
48,7
16,233
-0,300
2,967

18
12
45,3
15,1
-1,133
-0,833

19
11,3
57,4
19,133
4,033
5,167

20
17,5
49,7
16,567
-2,567
-6,600

21
13,1
51,5
17,167
0,600
3,167

22
17,9
45,3
15,1
-2,067
-2,667

23
9,6
 
 
 
 


Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших коэффициента детерминации и скорректированного коэффициента детерминации у этой модели. Получим следующую модель:
y=1.4+1.03t-0.02
Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t


23
16,4389

24
16,0816

25
15,6469

26
15,1348

27
14,5454

28
13,8786


Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели
t
Значения у



1
3,5

8,51976912
2
5,2

9,052236652
3
2,2

9,584704185
4
3,6

10,11717172
5
7,1

10,64963925
6
6,9

11,18210678
7
4,1

11,71457431
8
5,3

12,24704185
9
10,1

12,77950938
10
4,8

13,31197691
11
7,7

13,84444444
12
16,8

14,37691198
13
9,8

14,90937951
14
14,5

15,44184704
15
13,7

15,97431457
16
19

16,50678211
17
5

17,03924964
18
12

17,57171717
19
11,3

18,1041847
20
17,5

18,63665224
21
13,1

19,16911977
22
17,9

16,3222
23
9,6

Прогноз на будущее

16,9218
24
21,47

17,5214
25
19,70

18,1209
26
11,40

18,7205
27
23,27

19,3201
28
21,50



29
13,20


Значения урожайности по годам вместе с прогнозными значениями представим на графике:

Проведем расчеты для параметра 5 с применением треугольника Паскаля.



t
y
Скользящая сумма
Скользящая средняя
Прирост
Ускорения

1
3,5








2
5,2








3
2,2
37
3,700




4
3,6
45,1
4,510
0,81


5
7,1
55,7
5,570
1,06
0,25

6
6,9
58,9
5,890
0,320
-0,740

7
4,1
58
5,800
-0,090
-0,410

8
5,3
61,3
6,130
0,330
0,420

9
10,1
72,4
7,240
1,110
0,780

10
4,8
76,9
7,690
0,450
-0,660

11
7,7
93,9
9,390
1,700
1,250

12
16,8
121,5
12,150
2,760
1,060

13
9,8
123,2
12,320
0,170
-2,590

14
14,5
140,8
14,080
1,760
1,590

15
13,7
136,6
13,660
-0,420
-2,180

16
19
139,9
13,990
0,330
0,750

17
5
107
10,700
-3,290
-3,620

18
12
117,1
11,710
1,010
4,300

19
11,3
122,3
12,230
0,520
-0,490

20
17,5
148,7
14,870
2,640
2,120

21
13,1
144,1
14,410
-0,460
-3,100

22
17,9








23
9,6










Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:

Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:
y=1.88+1.11t-0.02
Отобразим ее на графике:

Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t


23
17,1962

24
17,8133

25
18,4303

26
19,0474

27
19,6644

28
20,2815


Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели
t
Значения у

 
1
3,5

 
2
5,2

8,8125
3
2,2

9,3924
4
3,6

9,9723
5
7,1

10,5522
6
6,9

11,1321
7
4,1

11,7120
8
5,3

12,2919
9
10,1

12,8718
10
4,8

13,4517
11
7,7

14,0316
12
16,8

14,6115
13
9,8

15,1914
14
14,5

15,7713
15
13,7

16,3512
16
19

16,9311
17
5

17,5109
18
12

18,0908
19
11,3

18,6707
20
17,5

19,2506
21
13,1

15,9621
22
17,9

16,5792
23
9,6

Прогноз на будущее

17,1962
24
25,12

17,8133
25
28,25

18,4303
26
-22,12

19,0474
27
49,53

 
28
92,10

 
29
-175,87


Из таблицы видно, что при t=29 значение урожайности отрицательное, чего не может быть в принципе. Этот факт объясняется тем, что исходный ряд плохо аппроксимируется нормальным распределением.

Проведем расчеты при параметре скольжения 9. Данные приведем в следующей таблице:



t
y
Скользящая сумма
Скользящая средняя
Прирост
Ускорения

1
3,5








2
5,2








3
2,2








4
3,6








5
7,1
48
5,333




6
6,9
49,3
5,478
0,144


7
4,1
51,8
5,756
0,278
0,133

8
5,3
66,4
7,378
1,622
1,344

9
10,1
72,6
8,067
0,689
-0,933

10
4,8
80
8,889
0,822
0,133

11
7,7
86,8
9,644
0,756
-0,067

12
16,8
101,7
11,300
1,656
0,900

13
9,8
101,4
11,267
-0,033
-1,689

14
14,5
103,3
11,478
0,211
0,244

15
13,7
109,8
12,200
0,722
0,511

16
19
119,6
13,289
1,089
0,367

17
5
115,9
12,878
-0,411
-1,500

18
12
124
13,778
0,900
1,311

19
11,3
119,1
13,233
-0,544
-1,444

20
17,5








21
13,1








22
17,9








23
9,6










Построим модель регрессии на ряд скользящих средних. Сравним модели линейной регрессии и параболической:


Выберем модель параболической регрессии на основании лучших R-квадрата и скорректированного R-квадрата у этой модели. Получим следующую модель:
y=3.49+1.1t-3.49
Спрогнозируем значения скользящих средних на последующие 6 лет:



t


23
17,8644

24
18,5200

25
19,1756

26
19,8311

27
20,4867

28
21,1422


Рассчитаем значения исходного ряда на будущий период, используя формулу:

и приведем в следующей таблице:



Значения скользящих средних, полученные по модели
t
Значения у

 
1
3,5

 
2
5,2

 
3
2,2

 
4
3,6

9,9721
5
7,1

10,5981
6
6,9

11,2241
7
4,1

11,8501
8
5,3

12,4761
9
10,1

13,1021
10
4,8

13,7281
11
7,7

14,3541
12
16,8

14,9801
13
9,8

15,6061
14
14,5

16,2321
15
13,7

16,8580
16
19

17,4840
17
5

18,1100
18
12

18,7360
19
11,3

15,2422
20
17,5

15,8978
21
13,1

16,5533
22
17,9

17,2089
23
9,6

Прогноз на будущее

16,6847
24
51,99

16,2773
25
18,31

 
26
3,56

 
27
9,82

 
28
8,38

 
29
13,83

5. Выравнивание при помощи рядов Фурье
Пусть ряд содержит циклическую составляющую, выраженную некоторой функцией от времени y(t) c известными периодами, нацело делящими n. То есть периоды y(t) задаются числами n/kj, j=1, …, m, где (k1, …,km) – подмножество последовательности целых чисел 1, …, (n-1)/2, если n нечетное. Представим y(t) в виде ряда Фурье – линейной комбинации синусов и косинусов для n нечетного:

Рассмотрим теперь задачу гармонического анализа ряда, состоящую в оценивании параметров a0, ak, bk:

Последовательные значения t определяются 0 с увеличением, равным .

Расчет показателей, необходимых для выравнивания с помощью ряда Фурье, представлен в следующей таблице:

Год
t
y
y cos t
y sin t




y cos 2t
y sin 2t




1
0
3,5
3,5
0
7,765
18,192
3,5
0
8,132
21,456

2
0,273
5,2
5,007
1,403
6,611
1,992
4,443
2,702
6,252
1,107

3
0,546
2,2
1,880
1,143
5,679
12,103
1,012
1,953
4,698
6,242

4
0,820
3,6
2,457
2,631
5,037
2,065
-0,246
3,592
3,721
0,015

5
1,093
7,1
3,266
6,304
4,733
5,602
-4,094
5,800
3,464
13,220

6
1,366
6,9
1,403846
6,756
4,790
4,452
-6,329
2,749
3,938
8,775

7
1,639
4,1
-0,280
4,090
5,203
1,217
-4,062
-0,558
5,016
0,839

8
1,912
5,3
-1,775
4,994
5,942
0,412
-4,111
-3,345
6,474
1,379

9
2,185
10,1
-5,824
8,251
6,952
9,910
-3,382
-9,517
8,049
4,207

10
2,459
4,8
-3,723
3,029
8,158
11,276
0,977
-4,700
9,500
22,090

11
2,732
7,7
-7,06253
3,068
9,471
3,135
5,256
-5,627
10,667
8,803

12
3,005
16,8
-16,644
2,288
10,792
36,090
16,177
-4,533
11,495
28,143

13
3,278
9,8
-9,709
-1,334
12,026
4,953
9,437
2,644
12,030
4,971

14
3,551
14,5
-13,300
-5,777
13,0785
2,021
9,897
10,597
12,383
4,482

15
3,825
13,7
-10,627
-8,646
13,873
0,030
2,787
13,413
12,680
1,040

16
4,098
19
-10,9569
-15,522
14,350
21,618
-6,363
17,903
13,008
35,905

17
4,371
5
-1,674
-4,711
14,475
89,779
-3,879
3,155
13,374
70,119

18
4,644
12
-0,819
-11,972
14,238
5,009
-11,888
1,634
13,698
2,884

19
4,917
11,3
2,299
-11,064
13,657
5,553
-10,364
-4,502
13,836
6,430

20
5,190
17,5
8,051
-15,538
12,774
22,336
-10,092
-14,297
13,620
15,056

21
5,464
13,1
8,941446
-9,574
11,656
2,087
-0,894
-13,069
12,922
0,032

22
5,737
17,9
15,294
-9,301
10,3844
56,485
8,235
-15,893
11,702
38,410

23
6,010
9,6
9,244
-2,590
9,055
0,297
8,202
-4,988
10,041
0,194

n=23
∑
220,7
-21,050
-52,072
220,7
316,615
4,219
-14,886
220,700
295,799




Год
t
y
y cos 3t
y sin 3t
 
(yi-yi2)

1
0
3,5
3,5
0
6,496
8,976

2
0,273
5,2
3,549
3,800
3,47017
2,992

3
0,546
2,2
-0,150
2,195
2,5366
0,113

4
0,820
3,6
-2,793
2,272
3,55156
0,002

5
1,093
7,1
-7,034
-0,967
5,39523
2,906

6
1,366
6,9
-3,979
-5,637
6,74298
0,025

7
1,639
4,1
0,834
-4,014
6,91425
7,920

8
1,912
5,3
4,528
-2,754
6,26056
0,923

9
2,185
10,1
9,725
2,725
5,85861
17,989

10
2,459
4,8
2,208
4,262
6,72393
3,702

11
2,732
7,7
-2,579
7,255
9,06763
1,870

12
3,005
16,8
-15,409
6,693
12,0877
22,206

13
3,278
9,8
-8,989
-3,904
14,4381
21,512

14
3,551
14,5
-4,856
-13,663
15,0781
0,334

15
3,825
13,7
6,303
-12,164
13,9511
0,063

16
4,098
19
18,295
-5,126
12,0474
48,339

17
4,371
5
4,272
2,598
10,7918
33,545

18
4,644
12
2,441
11,749
11,1343
0,749

19
4,917
11,3
-6,516
9,232
12,9175
2,616

20
5,190
17,5
-17,337
2,383
14,9303
6,603

21
5,464
13,1
-10,162
-8,267
15,6291
6,396

22
5,737
17,9
-1,222
-17,858
14,0876
14,534

23
6,010
9,6
6,553
-7,016
10,5895
0,979

n=23
∑
220,7
-18,815
-26,207
220,7
205,297



Рассчитаем параметры:

a0
a1
b1
a2
b2
a3
b3

9,596
-1,830
-4,528
0,367
-1,294
-1,636
-2,279



Таким образом, получили модели:

- для гармоники первого порядка
= 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t

- для гармоники второго порядка = 9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t

- для гармоники третьего порядка =9,569-1,83 cos t-4.528 sin t +

+ 0,367 соs 2t-1.294 sin 2t-1.636 cos3t-2.279 sin 3t

Исследуем модель с гармоникой первого порядка
Прогнозные значения

Год
t


24
6,283
7,765199

25
6,556
6,611

26
6,830
5,679

27
7,103
5,037

28
7,376
4,733

29
7,649
4,790



Изучим модель с гармоникой второго порядка
Прогнозные значения



Год
t


24
6,283
8,132054

25
6,556
6,252

26
6,830
4,698

27
7,103
3,721

28
7,376
3,464

29
7,649
3,938



Исследуем модель с гармоникой третьего порядка
Прогнозные значения



Год
t


24
6,283
6,496

25
6,556
3,470

26
6,830
2,537

27
7,103
3,552

28
7,376
5,395

29
7,649
6,743


Выводы
Были рассмотрены четыре метода прогнозирования – аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов, метод экспоненциального сглаживания, метод скользящих средних, и выравнивание при помощи рядов Фурье. Выберем наиболее подходящий метод, который дает наиболее правдоподобный прогноз.

Выравнивание с помощью рядов Фурье дает сумму квадратов ошибок от 200 до 300 (в зависимости от гармоники). Метод экспоненциального сглаживания дает результат получше: для параболического тренда сумма квадратов ошибок колеблется от 36 до 115 (при  сумма квадратов ошибок равна 115; при =0,4 сумма квадратов ошибок 36);Для линейной тенденции сумма квадратов ошибок равна 55. Аналитическое выравнивание МНК дает сумму квадратов ошибок, равную 272. Лучше всего описывает тренд метод скользящих средних с параметром n=3. Он дает сумму квадратов ошибок, равную 63.

1. Курсовая Полномочия Федерального Собрания
2. Реферат Картоплярство України
3. Сочинение на тему Творчество братьев Стругацких
4. Реферат Культура Ацтеков 3
5. Контрольная_работа на тему Составление ведомости по расчету заработной платы средствами MS Excel
6. Реферат на тему Saint Thomas Aquinas Writings Essay Research Paper
7. Контрольная работа Расчет тарифов на услуги водоснабжения и водоотведения
8. Реферат на тему Логика странно летающих объектов
9. Реферат на тему Европейское возрождение и развитие России в XVII веке
10. Реферат Право на защиту как субьективное гражданское право