Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	6560,929292	2186,98	425,31101	1,04571E-45
Остаток	72	370,2286032	5,14206
Итого	75	6931,157895
		Уравнение регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	75,43927547	0,998411562	75,5593	2,545E-70	73,44897843	77,4295725	73,44897843	77,42957252
X1	0,044670594	0,01380341	3,2362	0,0018316	0,017154	0,07218719	0,017154	0,072187188
X2	-0,045296701	0,421363275	-0,1075	0,914691	-0,885269026	0,79467562	-0,885269026	0,794675624
X4	-0,239566687	0,013204423	-18,1429	1,438E-28	-0,265889223	-0,2132442	-0,265889223	-0,213244151

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

·                   факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

·                   факторы, у коэффициентов которых t‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х₁ ко второй — фактор X₄. Фактор X₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X₁, X₄.

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3. Уравнение регрессии имеет вид:
ŷ = 75.38278 + 0.044918 · x₁ - 0.24031 · x₄
(см. «Коэффициенты» в табл.3).


р
ис. 3. Панель регрессионного анализа модели
Y
(
X
₁
,
X
₄
)


Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели
Y
(
X
₁
,
X
₄
)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,972922
R-квадрат	0,946576
Нормированный R-квадрат	0,945113
Стандартная ошибка	2,252208
Наблюдения	76
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	6560,87	3280,435	646,7175	3,65E-47
Остаток	73	370,288	5,072439
Итого	75	6931,158
Уравнение регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	75,38278	0,843142	89,40701	2,44E-76
X1	0,044918	0,013518	3,322694	0,001395
X4	-0,24031	0,011185	-21,4848	2,74E-33

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» в табл.3).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х₁ вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 3). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X₁ на изменение годовой прибыли Y.

Коэффициент при факторе Х₄ (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х₄ следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

·                   множественный коэффициент детерминации
n

 ^{∑ (ŷ}_i - y⁾²

R²= <sup>_i=1____________ =0.946576

 n

∑(ŷ</sup>_i - y<sup>)2

 i=1</sup>


R
²
=показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y, причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X₁, X₄;

·                   стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:




S_рег

E_отн≈0,8 · — · 100%=0.8 · 2.252208/66.9 · 100%≈2.7

 − y
где  тыс. руб. — среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; прил. 1).

Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при  — точность модели высокая, при  — хорошая, при  — удовлетворительная, при  — неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения — с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).
Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

Переменная	Y	X 1	X 4
Среднее	66,9	29,75	40,9
Стандартное отклонение	9,6	28,76	34,8

1) Фактор
X
₁
(
ВВП в паритетах покупательной способности)

Значение коэффициента b₁=0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₁ имеет значение
        x₁ 29.75

Е₁= b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.01997

 y 66.9
Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор
X
₄
(
коэффициент младенческой смертности)

Значение коэффициента b₄=(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₄ имеет значение
 x₄ 40.9

Е₄ = b₄ · ― = - 0.24031 · ____ ≈ 0.1469

 y 66.9
Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета–коэффициенты:


              S_x1                      28.76

B₁ = b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.1346;

               S_y                                     9.6

             S_x4 3                    4.8

B₄ = b₄ · ― - 0.24031 · ____ ≈ - 0.8711

               S_y                                     9.6
Сравнивая по абсолютной величине значения бета–коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х₁, далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х₄.

Определим дельта–коэффициенты факторов:
                r_y,x1                0.780235

Δ₁ = B₁ · ___ = 0.1346 · _______ ≈ 0.11094;

               R²                                 0.946585

               r_y,x4 -               0.96876

Δ₄ = B₄ · ___ = - 0.8711 · _______ ≈ 0.8915;

                R²                                0.946585
где r_y,x
1=0,780235; r_y,x4=(–0,96876); — коэффициенты корреляции между парами переменных Y–X₁ и Y–X₄ соответственно (см. табл. 1); R²=0,946585 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рождении Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X₁ составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х₄ — 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС» (см. прил. 1). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X₁ и X₄:

·                   фактор Х₁: х₀₁=0,75*х_1max=0.75*100=75;

·                   фактор Х₄: x₀₄=0.75*x_4max=0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x₀₆=0) составляет:


Для частной компании (x₀₆=1) этот показатель равен


Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибыли
y₀ рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х₆ может принимать два значения — 0 или 1, то S_y0 определяется для обоих случаев:

·                   для государственных компаний (x₀₆=0):



·                   для частных компаний (x₀₆=1):


Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y₀ с доверительной вероятностью g=0,8. Доверительный интервал имеет вид:
,
где t_таб=1,321 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости  и числе степеней свободы  (p=4 — число факторов в модели) (см. Справочные таблицы).

Для государственных компаний:
 тыс. руб.
Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:


 тыс. руб.
С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.