Вариант 37

Задача 1

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10^-4 м². Модуль упругости материала стержней Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10^–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.

Требуется:

1.      Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.

2.      Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

3.      Сравнить полученные результаты.

4.      Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d₂ = 2∙10^-3 м

5.      Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt₁ = -40°С.

6.      Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.





1.    Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].

Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N₁ и N₂. Составим уравнение моментов относительно точки О:
 


При неизвестных реактивных усилиях N₁, N₂, R_ox, R_oy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:
ССН = m – n,
где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и СС₁О имеем:


.
Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.
АА₁=Dl₂, , KА₁=Dl₁. То есть:
По закону Гука имеем:
 ; .
Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:
 м
Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:
 .
 Тогда, . Окончательно имеем: N₂ = 1,3×N₂

Из этого выражения видно, что N₁<N₂. Соответственно, напряжения в первом стержне s_I меньше, чем напряжения во втором s_II. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: s_II = [s] и  кН. Значение N₁ = 24,62 кН.

Оба стержня сжаты.

Найдем напряжения в обоих стержнях: s_II = [s] = -160 МПа;       s_I = -123,1 МПа. растянуты.

Подставим значения сил N₁ и N₂ в первое уравнение и определим значение [Q]:
кН.
2.    Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]_пр.

Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести s_т: s_I = s_II = s_т      

Составляем уравнение предельного равновесия:
;.
Предельные усилия в каждом из стержней:
.
Решаем относительно предельной нагрузки для системы:
.
Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]_пр определяется как:

,
где n – коэффициент запаса прочности.

С учетом, что  получим [Q]_пр = 23,51 кН.

3.      Сравнить полученные результаты.

Определяем погрешность между расчетами:
 %.
По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).

4.      Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d₂=1,5 мм.

Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:
;
Из этого уравнения следует, что:


Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:
;

; ;

KВ₁=Dl₁.
По закону Гука:
; .
Решая совместно уравнения получим:
N₁= 29,76 кН; N₂= 41,34 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:
s_I =148,8 МПа;  s_II = -206,7 МПа.


5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt₁=40°.

Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В₁. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N₁ и N₂. Составим уравнение статики:
;
Из этого уравнения следует, что:

Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА₁О и ВВ₁О имеем:
; ; ; ; ; АА₁=Dl₂.
По закону Гука:
 ; .
Решая совместно получим:
N₁=5,15 кН;  N₂=7,15 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.

Определим напряжения:




s_I =25,75 МПа; s_II = -35,76 МПа.
5.      Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.

Сведем данные расчетов в Таблицу
Таблица 1.

Фактор, вызывающий напряжения	Напряжения, МПа
	1 стержень	2 стержень
Нагрузка [Q] = 20,96 МПа	-160	-123,1
Неточность изготовления 2-го стержня	148,8	-206,7
Изменение температуры 1-го стержня	25,75	-35,76
ИТОГО	14,55	-365,56

Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.

Задача 2

Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.

Требуется:

1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];

2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том, какая форма наиболее рациональна.

Решение

1.     Определяем опорные реакции балки.



Проверяем правильность определения опорных реакций:

Реакции определены верно.

2.      Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Участок
I
. О ≤
Z
₁
≤0,8


;  кН;

; ;  кНм.
Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок


П. 0 <
Z
₂
< 0,7

;  кН;

; кН×м; кН×м.
Строим эпюры по вычисленным значениям.

Участок
I
П.


 0 <
Z
₃
< 0,5

Q(z₃) = -R_В + q×z₃; Q(0) = 87 кH; Q(0.5) = 93 кН

M(z₃)= R_В z₃ – q×z₃×z₃×0.5; M(0) = 0; M(0.5)= -45 кH×м
3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине.

В данной задаче M_max = 45 кН×м.

Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки
 см³.


3.1. Двутавровое поперечное сечение.

Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны W_x=289 cм³; А= 34,8 см².

3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).
см
h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см².

3.3. Круглое поперечное сечение:

, см

 см².
3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).
см

 см²



3.     Сравниваем площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:
Таблица 2.

Тип сечения	Площадь сечения, см2
Двутавровое	38,4
Прямоугольное	112,5
Круглое	156,4
Кольцевое	95,7

Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.

Задача 3

Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат силой F = 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1 = 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,3×10⁵ МПа, допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7

Требуется определить:

- размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ];

- величину критической силы F_k;

- коэффициент запаса устойчивости n_у.

Решение.

Задача решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения j₁ = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь сечения:

Из площади сечения находим сторону сечения b:
 Þ = 4,3 см.
Определяем минимальный радиус инерции по формуле:
 , где .

=0,88 см
Определяем гибкость стержня:

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производим проверку на устойчивость:
 МПа > [s]
Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.




=6,1 см. = 1,24 см.


По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производим проверку на устойчивость:
 МПа
Допускаемая погрешность не более 5%. Определяем погрешность

Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.




=5,54 см. = 1,13 см.






По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:
 МПа
Определяем погрешность

Погрешность не находится в допускаемых пределах.

Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.




=5,71 см. = 1,16 см.


По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производим проверку на устойчивость:
 МПа


Определяем погрешность

Погрешность не находится в допускаемых пределах.

Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.




=5,5 см. = 1,12 см.



 

По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость:
 МПа
Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см².

Определяем критическую силу:
 кН.




Определяем коэффициент запаса устойчивости:

Ответ: F_K=695 кН; n_у = 7,7.