Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:


где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
 или
следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):



Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X –

Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

при ,  случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:





Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:





Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):

Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y	X
	3	6	8	9
-0,2	0,035	0,029	0,048	0,049
0,1	0,083	0,107	0,093	0,106
0,3	0,095	0,118	0,129	0,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.


Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X	3	6	8	9
	0,213	0,254	0,270	0,263

Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Y	-0,2	0,1	0,3
	0,161	0,389	0,450

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:
2.




Математическое ожидание случайной величины Y:

3. Дисперсия случайной величины X:

4. Дисперсия случайной величины Y:

5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X)	3-M(X)	6-M(X)	8-M(X)	9-M(X)
	0,213	0,254	0,270	0,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y)	-0,2-M(Y)	0,1-M(Y)	0,3-M(Y)
	0,161	0,389	0,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)]	1,260873	0,153873
P	0,035	0,083

-0,584127	0,235773	0,028773	-0,109227	-0,447627
0,095	0,029	0,107	0,118	0,048

-0,054627	0,207373	-0,789327	-0,096327	0,365673
0,093	0,129	0,049	0,106	0,108

1.                

2.                

3.                

4.                

5.                

6.                

7.                

8.                

9.                

10.           

11.           

12.           
Найдем ковариацию:



Найдем коэффициент корреляции:

Ответ: -0,028.
Задача №3





Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

§                   написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

§                   вычертить их графики и определить угол между ними;

§                   по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста
X
получим:

1. Выборочная средняя –

2. Дисперсия выборочная исправленная –




Для веса
Y
получим:

1.     Выборочная средняя -



2.     Дисперсия выборочная исправленная –






Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Найдем значения коэффициентов регрессии:



Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:





 - угол между прямыми регрессии.






 
Следовательно, связь между X и Y не тесная.