Двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів
2010


Вступ

Актуальність роботи полягає потужності математичного апарату обґрунтування структури виробництва в передплановому періоді. Вона дає змогу насамперед визначити статус ресурсів та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно зміни запасів дефіцитних ресурсів.

Об’єктом дослідження є двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів.

Предметом дослідження є аналіз ринку ресурсів у передплановому періоді.

Мета роботи дослідити плани, здобуті за економіко-математичними моделями, на стійкість, а також оцінювання ситуацій, які мають виконуватися в передплановому періоді.

В роботі розглянуто математичні задачі, методи їх розв’язування, економічні та технологічні процеси, економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування, правила побудови двоїстих задач, основні теореми двоїстості та їх економічний зміст, приклади застосування теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач, післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування.



1. Теорія двоїстості та двоїсті оцінки у лінійному програмуванні

Математичне програмування передусім є строгою математичною дисципліною, тому критеріями класифікації мають бути в основному математичні структури (властивості) задач і методів їх розв’язування. Зауважимо, що одна й та сама задача з погляду різних математичних критеріїв може належати до кількох класів. Адже кожний критерій підкреслює лише одну властивість задачі на противагу деякій іншій, тобто поділяє всі задачі на два класи (чи підкласи всередині певного класу).

Задачі математичного програмування поділяються на два великі класи лінійні та нелінійні. Якщо цільова функція та обмеження є лінійними функціями, тобто вони містять змінні Хj у першому або нульовому степені. В усіх інших випадках задача буде нелінійною. Важливою перевагою лінійних задач є те, що для їх розв’язування розроблено універсальний метод, який називається симплексним методом. Теоретично кожну задачу лінійного програмування можна розв’язати. Для деяких класів лінійних задач, що мають особливу структуру, розробляють спеціальні методи розв’язування, які є ефективнішими. Наприклад, транспортну задачу можна розв’язати симплексним методом, але ефективнішими є спеціальні методи, наприклад метод потенціалів.

Економічні та технологічні процеси, як правило, є нелінійними, стохастичними, розвиваються в умовах невизначеності. Лінійні економіко-математичні моделі часто є неадекватними, а тому доводиться будувати нелінійні та стохастичні моделі. Розв’язувати нелінійні задачі набагато складніше, ніж лінійні, оскільки немає універсального методу розв’язування таких задач. Для окремих типів нелінійних задач розроблено численні спеціальні ефективні методи розв’язування. Проте слід зазначити, що на практиці застосовують, здебільшого, лінійні економіко-математичні моделі. Часто нелінійні залежності апроксимують (наближають) лінійними. Такий підхід на практиці є доволі ефективним.

У нелінійному програмуванні виокремлюють такі класи: опукле програмування. Для задач опуклого програмування існує низка добре обґрунтованих та ефективних методів їх розв’язування. Зазначимо, що задачі лінійного програмування є частковим випадком задач опуклого програмування.

Наголосимо, що коли область допустимих планів є опуклою множиною, а цільова функція є опуклою функцією, то задача математичного програмування має глобальний, єдиний екстремум (якщо такий існує).

Множина S в n-мірному евклідовому просторі називається опуклою множиною, якщо для будь-яких точок (елементів) цієї множини  точки  належать множині S за всіх значень  які належать відрізку

Геометрично це означає, якщо  та  належать до множини S, то відрізок прямої, що з’єднує ці дві точки, також цілком належить до множини S.

Функція  визначена на опуклій множині лінійного простору (на опуклій множині S), називається опуклою, якщо виконується нерівність  для всіх  які належать відрізку Квадратичне програмування – цільова функція квадратична, а обмеження лінійні.

Далі задачі математичного програмування поділяють на дискретні і неперервні. Дискретними називають задачі, в яких одна, кілька або всі змінні набувають лише дискретних значень. Окремий клас становлять задачі, в яких одна або кілька змінних набувають цілочислових значень, тобто задачі цілочислового програмування. Якщо всі змінні можуть набувати будь-якого значення в деяких інтервалах числової осі, то задача є неперервною.

Задачі математичного програмування поділяються також на детерміновані і стохастичні. Детерміновані задачі не містять випадкових змінних і параметрів, котрі набувають значень відповідно до функції розподілу. Наприклад, якщо в економіко-математичній моделі врожайності сільськогосподарських культур задані своїми математичними сподіваннями, то така задача є детермінованою. Якщо врожайності задані функціями розподілу, наприклад нормального з математичним сподіванням і дисперсією, то така задача є стохастичною.

Якщо у відповідних економічних процесах випадкові явища не відіграють істотної ролі, то задачу можна розв’язувати як детерміновану. У противному разі адекватна економіко-математична модель має бути стохастичною, тобто містити випадкові функції та величини. Структура та розв’язування таких задач вивчаються в окремому розділі, який називається стохастичним програмуванням.

Економічні процеси розвиваються в часі, а тому відповідні моделі мають відображати динаміку. Це означає, що для знаходження оптимального плану потрібно застосовувати класи задач математичного програмування статичні (однокрокові) і динамічні (багатокрокові). Поняття динамічності зрозуміле, воно пов’язане з часом. Наприклад, якщо йдеться про план розвитку України до 2005 року, мають бути обґрунтовані значення відповідних макроекономічних показників не лише на 2005 рік, а й на всі проміжні роки, тобто враховано динаміку розвитку народногосподарських процесів. Такий план називають стратегічним.

У ньому має бути обґрунтована оптимальна (раціональна) траєкторія розвитку народного господарства. Проте під впливом некерованих чинників реальні показники щороку можуть відхилятися від планових. Тому постає потреба коригувати кожний річний план. Такі плани називають тактичними. Вони визначаються в результаті реалізації статичної економіко-математичної моделі.

Важливо чітко усвідомити відмінність між одно – та багатокроковими задачами. Багатокроковість як метод розв’язування задач математичного програмування зумовлюється, насамперед, їх багатовимірністю. Сутність цього методу полягає в тому, що оптимальні значення розглядуваної множини змінних знаходять крок за кроком, послідовно застосовуючи індукцію, причому рішення, яке приймається на кожному кроці, має задовольняти умови оптимальності щодо рішення, прийнятого на попередньому кроці. Така процедура може бути і не бути пов’язаною з часом. Однокрокові задачі, навпаки, характеризуються тим, що всі компоненти оптимального плану задачі визначаються одночасно на останній ітерації (кроці) алгоритму. Потрібно розрізняти ітераційність алгоритму і його багатокроковість. Наприклад, симплекс-метод розв’язування задач лінійного програмування є ітераційним, тобто якимось чином задаємо допустимий план і в результаті деякої кількості ітерацій дістаємо оптимальний план. Тут виконуються ітерації (кроки) алгоритму симплексного методу, але це не інтерпретується як багатокроковість економічного процесу (явища).

Деякі задачі математичного програмування можна розглядати як одно – або багатокрокові залежно від способу їх розв’язування. Якщо задачу можна розв’язувати як однокрокову, то розв’язувати її як багатокрокову недоцільно, аби не застосовувати для знаходження оптимального плану складніших методів. Проте більшість економічних процесів є динамічними, їх параметри змінюються в часі й залежать від рішень керівництва, що їх доводиться приймати з метою досягнення розвитку економічної системи за траєкторією, яка визначається стратегічним планом.

Щойно було розглянуто лише найбільші класи задач математичного програмування, які визначені згідно з математичними критеріями. Можна також за різними ознаками виокремити й підкласи. Це особливо стосується задач лінійного, нелінійного і стохастичного програмування. Наприклад, як окремий клас розглядають дробово-лінійне програмування, коли обмеження є лінійними, а цільова функція – дробово-лінійна. Особливий клас становлять задачі теорії ігор, які широко застосовуються в ринковій економіці. Адже тут діють дві чи більше конфліктних сторін, які мають цілі, що не збігаються, або протилежні цілі. У сукупності задач теорії ігор, у свою чергу, також виокремлюють певні підкласи. Наприклад, ігри двох осіб із нульовою сумою. Наведену класифікацію використано для структурування курсу «Математичне програмування».

4. Приклади застосування теорії двоїстості для знаходження оптимальних планів прямої та двоїстої задач

Кожну з двох спряжених задач можна розв’язати окремо, проте встановлені теоремами двоїстості залежності між оптимальними планами прямої та двоїстої задач уможливлюють знаходження розв’язку двоїстої задачі за наявності оптимального плану прямої, і навпаки.

До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язати одну з них симплекс-методом та визначити оптимальний план другої задачі, використовуючи співвідношення першої теореми двоїстості.
max Z = – 5x1 + 2x2;




Розв’язання. Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція F максимізується і всистемі обмежень є нерівності, то їх слід звести до виду «». Тому перше обмеження задачі помножимо на (–1). Отримаємо:
max Z = – 5x1 + 2x2;


Тепер за відповідними правилами складемо двоїсту задачу:
min F = – y1 + 5y2;




Оскільки записані задачі симетричні, то будь-яку з них можна розв’язати симплекс-методом. Наприклад, визначимо спочатку оптимальний план прямої задачі. Для цього застосуємо алгоритм симплекс-методу.
1. max Z = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4;


2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:
,

де , , , , .
У системі векторів для утворення початкового одиничного базису відсутній один вектор. Тому введемо штучну змінну в перше обмеження.

3. Розширена задача лінійного програмування буде такою:
maxZ = – 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 – Мx5;


У цій задачі х4 та х5 – базисні змінні, а х1, х2, х3 – вільні. Нехай х1 = х2 = х3 = 0, тоді х4 = 5; х5 = 1.

Перший опорний план задачі:

X0 = (0; 0; 0; 5; 1), Z0 = – M.

З останньої симплекс-таблиці запишемо оптимальний план прямої задачі:

Х* = (0; 5/3; 2/3; 0), Zmax = 10/3.

Згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою можна висновувати, що оптимальний план двоїстої задачі існує і min F = max Z = 10/3.

Компоненти вектора Y* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:
,
де та міститься в стовпчику «сбаз» останньої симплекс-таблиці;

.

Матриця D– 1 також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних «x5» та «x4», які утворювали початковий базис.

Отже,
,

min F = – 1 х 0 + 5 х 2/3 = 10/3.
Застосувавши для розв’язування прямої задачі симплекс-метод, ми знайшли її оптимальний план, а потім визначили оптимальний розв’язок двоїстої задачі за допомогою співвідношень першої теореми двоїстості.

До заданої задачі лінійного програмування записати двоїсту задачу. Розв’язавши двоїсту задачу графічно, визначити оптимальний план прямої задачі.
min Z = x1 + 2x2 + 2x3;




Розв’язання. За відповідними правилами побудуємо двоїсту задачу:

mах F = y1 + 4y2;



Зауважимо, що задачі несиметричні, і тому змінна у1, що відповідає першому рівнянню в системі обмежень прямої задачі, може мати будь-який знак, а змінна у2 – лише невід’ємна.

Двоїста задача має дві змінні, а отже, її можна розв’язати графічно (рис. 3.2).


Рис. 3.2
Найбільшого значення цільова функція двоїстої задачі F досягає в точці В багатокутника ABCD. Її координати визначимо розв’язанням системи рівнянь:


Отже, Y* = (– 2/3; 4/3); mах F = 1 х (– 2/3) + 4 х 4/3 = 14/3.

Оптимальний план прямої задачі визначимо за допомогою співвідношень другої теореми двоїстості.

Підставимо Y* у систему обмежень двоїстої задачі і з’ясуємо, як виконуються обмеження цієї задачі:



Оскільки перше обмеження для оптимального плану двоїстої задачі виконується як строга нерівність, то висновуємо, що перша змінна прямої задачі дорівнюватиме нулю х1 = 0 (перша частина другої теореми двоїстості).

Тепер проаналізуємо оптимальний план двоїстої задачі. Оскільки друга компонента плану у2 = 4/3 додатна, то друге обмеження прямої задачі для Х*виконуватиметься як строге рівняння (друга частина другої теореми двоїстості).

Об’єднуючи здобуту інформацію, можна записати систему обмежень прямої задачі як систему двох рівнянь, в якій х1 = 0, та визначити решту змінних:

тобто Х* = (0; 5/3; 2/3), min Z = 1 х 0 + 2 х 5/3 + 2 х 2/3 = 14/3.

Умова min Z = max F = 14/3 виконується, і тому Х* = (0; 5/3; 2/3); Y* = (– 2/3; 4/3) є оптимальними планами відповідно прямої та двоїстої задач.

Визначити, чи є оптимальними такі плани сформульованої задачі лінійного програмування:
min Z = 12x1 – 4x2 + 2x3;


а) Х = (8/7; 3/7; 0); б) Х = (0; 1/5; 8/5); в) Х = (1/3; 0; 1/3).

Розв’язання. Принцип розв’язування задач такого типу ґрунтується на використанні другої теореми двоїстості. Необхідно побудувати двоїсту задачу та, допускаючи, що відповідний план Х є оптимальним, визначити оптимальний розв’язок двоїстої задачі. Якщо при цьому екстремальні значення цільових функцій будуть однаковими за величиною, то припущення правильне. Протилежне можна висновувати в таких випадках:

1. Якщо запропонований план Х недопустимий, тобто не задовольняє систему обмежень прямої задачі.

2. Якщо визначений план двоїстої задачі недопустимий, тобто не задовольняє всі обмеження двоїстої задачі.

3. Якщо визначений план двоїстої задачі допустимий, але для нього екстремальне значення цільової функції F не дорівнює значенню функції Z, тобто не виконується умова першої теореми двоїстості.

Запишемо двоїсту задачу до прямої задачі лінійного програмування:

max F = y1 + 2y2;





Перевіримо запропоновані плани на оптимальність.

1. Х = (8/7; 3/7; 0). Підставимо його в систему обмежень прямої задачі:



Обидва обмеження виконуються, і тому Х = (8/7; 3/7; 0) є допустимим планом прямої задачі. Припустимо тепер, що зазначений план є оптимальним планом прямої задачі. Тоді розрахуємо для нього величину цільової функції: Z = 12 х 8/7 – 4 х 3/7 + 2 х 0 = 12.

Скористаємося другою теоремою двоїстості та визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки x1 = 8/7 > 0; x2 = 3/7 > 0, то згідно з другою частиною другої теореми двоїстості можна записати перше та друге обмеження як рівняння і визначити у1 та у2:



Підставимо ці значення в третє обмеження системи двоїстої задачі:

;

.

Для визначених значень у1 = 4; у2 = 4 це обмеження не виконується, і тому відповідний план у = (4; 4) є недопустимим планом двоїстої задачі. Внаслідок цього наше допущення, що Х = (8/7; 3/7; 0) є оптимальним планом прямої задачі, виявилося помилковим.

2. Х = (0; 1/5; 8/5). Підставимо цей план у систему обмежень прямої задачі:



План допустимий, і для нього Z = 12 х 0 – 4 х 1/5 + 2 х 8/5 = 12/5.

Визначимо відповідний план двоїстої задачі. Оскільки компоненти x2 та x3 додатні, то друге і третє обмеження двоїстої задачі можна записати як рівняння:



Перевіримо, чи виконується перше обмеження двоїстої задачі для визначених значень у1 та у2: 2 х 8/5 + 2/5 = 18/5 < 12. Отже, перше обмеження виконується, і тому у = (8/5; 2/5) є допустимим планом двоїстої задачі. Для нього

F = 8/5 + 2 х 2/5 = 12/5 = Z.

З огляду на викладене можна висновувати, що Y* = (8/5; 2/5) є оптимальним планом двоїстої задачі, а X* = (0; 1/5; 8/5) – оптимальним планом прямої задачі.

Наше припущення відносно запропонованого плану виявилося правильним.

3. Х = (1/3; 0; 1/3). Для цього плану обмеження прямої задачі виконуються так:




Оскільки Х = (1/3; 0; 1/3) є недопустимим планом, то він не може бути також оптимальним планом прямої задачі.

Отже, перевірка запропонованих планів на оптимальність дала такі результати: а) ні; б) так, Х* = (0; 1/5; 8/5), min Z = 12/5; в) ні.

Список використаних джерел

1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л., Изд-во Ленинград. ун-та, 1976. – 184 с.

2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 1985.

3. Ашманов С.А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

4. Белман Р. Динамическое программирование. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

5. Белман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука, 1965.

6. Вагнер Г. Основы исследования операций. – Т. 1–3. – М.: Мир, 1972.

7. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: «Сов. радио», 1972. – 552 с.

8. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. – М.: Наука, 1964.

9. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. – М.: Советское радио, 1966.

10. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. – М.: Наука, 1969.

11. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщение и приложения. – М.: Прогресс, 1966.

12. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій: Підручник. – 4-те вид., перероб. і допов. – К., 2000. – 688 с.

13. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: «Сов.радио», 1973. – 312 с.

14. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании. М.: Наука, 1979. – 249 с.

15. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. – М.: Наука, 1976.

16. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Высшая шк., 1975.
Размещено на Allbest.ru