Содержание

Введение

Теоретическая часть

§1 Основные определения

§2 Простейшие свойства m – степеней

§3 Минимальные элементы верхней полурешетки m-степеней

2. Практическая часть

§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций

Литература

Введение

Сейчас много внимания уделяется вопросам сводимости функций. Данная работа посвящена одной из разновидностей сводимости частично рекурсивной функции, а именно m-сводимости.
Для дальнейшего рассмотрения этого вопроса будем пользоваться общепринятыми понятиями и теоретико-множественными обозначениями.
Символы логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, и эквивалентности будем обозначать: , соответственно.
Кванторы общности и существования обозначают  соответственно.
Совокупность всех целых неотрицательных чисел обозначим через N.
Под множеством будем понимать подмножество N.
Латинскими буквами A,B,C,… будем обозначать множества.
Объединение множества A и B обозначим через пересечения этих множеств -  а разность , дополнение - .
Пусть ₁* ₂*…* _{n 1}, ₂,…, _{n 1 1}, _{2 2},…, _{n n} -декартово произведение множеств ₁, ₂,…, _n.
Определение: Функции  называется арифметической, если ее аргументы пробегают натуральный ряд N, и сама функция принимает лишь натуральные значения.
Под n-местной  частичной арифметической функцией будем понимать функцию, отображающую некоторое множество  в N ,где  -n-ая декартовая степень множества N.
Греческими строчными буквами будем обозначать частично рекурсивные функции (ЧРФ) :  .
Всякий раз, когда число аргументов явно не указывается, речь идет об одноместных функциях. Обозначим через  множество всех одноместных ЧРФ.
Запись  означает, что функция для этой n-ки  не определена, а запись  означает, что функция для этой n-ки определена.
Множество  называют областью значений функции , а множество  область определения функции .
Определение: Частичную n-местную функцию  назовем всюду определенной, если .
Всюду определенная функция будет обозначаться латинскими буквами: f,g,h,… . [5,6]

Теоретическая часть

§1 Основные определения

Определение 1: (интуитивное).
Арифметическая функция называется частично рекурсивной, если существует алгоритм для нахождения ее значений.
Определение 2:
Под начальными функциями будем понимать следующие функции:
1. функция следования S ;
2. функции выбора
,
3.  
4. нулевая функция   .
Определение 3: (оператор суперпозиции (подстановка)).
Говорят, что функция  получена суперпозицией из функций  и , если для всех значений выполняется равенство:

Определение 4: (оператор примитивной рекурсии ).
Говорят, что функция  получена из двух функций  и  с помощью оператора примитивной рекурсии, если имеют место следующие равенства:

.
Это определение применимо и при n=0. Говорят, что функция  получена из одноместной функции константы равной  и функции , если при всех :

Определение 5: ( -оператор или оператор минимизации).
Определим -оператор сначала для одноместных функций.
Будем говорить, что функция  получена из частичной функции  с помощью оператора, если,
_.
В этом случае -оператор называется оператором обращения и -наименьшее .
Теперь определим -оператор в общем виде:

Определение 6:
Функция  называется частично рекурсивной функцией (ЧРФ) ,если она может быть получена из начальных функций с помощью конечного числа применений трех операторов: суперпозиции, примитивной рекурсии, -оператора.
Определение 7:
Если  - ЧРФ и всюду определена, то она называется рекурсивной функцией.
Определение 8:
Множество  - рекурсивно перечислимо (РП), в интуитивном смысле, если существует эффективная процедура, которая выписывает элементы этого множества. Каждый элемент  на некотором шаге будет выписан.
Определение 9:
Характеристической функцией множества называется функция

Определение 10:
Множество  называется рекурсивным, если характеристическая функция  является рекурсивной.
Определение 11:
Функция  m-сводима к функции ( ), в точности тогда, когда существует рекурсивная функция , такая, что

Функция  называется сводящей функцией.
Введем отношение m-эквивалентности на множестве .
Определение 12:

Введем понятие m-степени функции .
Определение 13:

Введем понятие m-сводимости множеств.
Определение 14:
Множество  m-сводимо к множеству  (обозначение ), если существует рекурсивная функция  такая, что  В этом случае говорят, что m-сводимо к  посредством .
Аналогично вводится понятие m-степени множества .
Определение 15:
Частичная характеристическая функция для множества  -функция
 
Определение 16:
ЧРФ – универсальная для множества , если ( -рекурсивная функция )  где  - ЧРФ с геделевым номером .
Определение 17:
Если на множестве  определено бинарное отношение , удовлетворяющее условиям:
1.  (рефлексивность);
2.  (антисимметричность);
3.  (транзитивность),
то множество  называется частично упорядоченным, а отношение  называется частичным порядком на . Отношение , удовлетворяющее только свойствам 1,3, называется предпорядком на . Если частичный порядок  на удовлетворяет условию
4.  то  называется линейным порядком (или просто порядком), а -линейно упорядоченным множеством или цепью.
Определение 18:
Верхней (нижней) гранью подмножества  называется такой элемент  что  ( ) для любого . Элемент  называется max (min) элементом , если  ( ) для всех
Если же  ( ) для любых ?  ,то элемент  называется наибольшим (наименьшим).
Определение 19.
Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества  называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Определение 20.
Полурешеткой (точнее, верхней полурешеткой) назовем пару  где - непустое множество, а -бинарная операция на , удовлетворяющая условиям: для любого
1.
2.   
3.
Если  - полурешетка, то зададим на  частичный порядок  следующим соотношением: для

Проверка того, что это частичный порядок, очевидна. Операция  является для этого порядка  операцией взятия точной верхней грани.
Определение 21:
Множество  называется продуктивным, если существует рекурсивная функция , называемая продуктивной функцией для , такая, что

Ясно, что продуктивное множество  не может быть р.п. Если бы  то Ш, что невозможно.
Определение 22:
Множество  называется креативным, если оно р.п. и  продуктивно.
Заметим, что креативные множества по теореме Поста не могут быть рекурсивными. Примером креативного множества будет

Действительно

откуда рекурсивная функция  является продуктивной функцией для .
Имеет место следующее утверждение: если В - р.п. множество, А -креативно, то - креативно. [1,5]

§2 Простейшие свойства m – степеней

Ведем отношение частного порядка на множестве m – степеней:


Обозначим через L частично упорядоченное множество m – степеней.
Утверждение 2.1: множество L является верхней полурешеткой.
Доказательство:
Рассмотрим , где
.
Докажем, что эта функция является точной верхней гранью для произвольных ЧРФ α и β.
Рассмотрим γ^’:  
   для рекурсивных функций g, f.
Определим функцию .
Проверим следующие равенства: .
Пусть x=2t, тогда  и .
Пусть x=2t+1, тогда  и .
Таким образом, равенство  справедливо.
Следовательно, функция  является точной верхней гранью для произвольных ЧРФ α и β, ч.т.д.
Утверждение 2.2: .
Доказательство:
: Пусть , тогда  посредством рекурсивной функции f, которая множество А m – сводит к В.
: Аналогично , ч.т.д.
Следствие: существует изоморфное вложение полурешетки m-степеней рекурсивно перечисляемых множеств в полурешетку m-степеней частичных характеристических функций: .
Утверждение 2.3: .
Доказательство:
Если Ш, то утверждение справедливо.
Пусть Ш. Возьмем , откуда  для некоторого ; а так как  для некоторой рекурсивной функции f, то  и .
Таким образом, , ч.т.д.
Следствие: функции, принадлежащие одной и той же m-степени, имеют одинаковую область значений.
Утверждение 2.4: Пусть f, g – рекурсивные функции, тогда .
Доказательство:
  : Следует из следствия к 2.3.
  : Пусть : покажем, что , то есть .
Строим  таким образом: допустим , начинаем последовательно вычислять g(0), g(1), …, пока не получим, что g(n)=i, а такое n обязательно появится, так как .
Полагаем, что , тогда очевидно, что .
Аналогично строим функцию , такую, что . Отсюда получим, что .
Таким образом, так как  и , ч.т.д. [1]

§3 Минимальные элементы верхней полурешетки m-степеней
Утверждение 3.1: Наименьшего элемента в L нет.
Доказательство:
Допустим противное, то есть пусть  - наименьший в L элемент. Тогда _Ш), где с_Ш – нигде неопределенная функция.
Следовательно, Ш и (с_Ш).
Возьмем всюду определенную функцию h. Ясно, что с_Ш≤_mh.
С одной стороны, (с_Ш) – наименьший элемент, то есть с_Ш≤_mh; с другой стороны с_Ш≤_mh.
Получили противоречие, то есть в L наименьшего элемента нет. Ч.т.д.
Утверждение 3.2: m-степень, содержащая универсальную функцию, является наибольшей в L.
Доказательство:
Пусть Ψ – универсальная функция, а α – произвольная ЧРФ. Так как α – ЧРФ, то найдется такое число х₀, что α=φ₀.
Покажем, что . В качестве сводящей возмем функцию f(x₀,y). Тогда из определения Ψ вытекает, что , где , то есть .
Таким образом,  - наибольшая в L. Ч.т.д.
Введем обозначение: .
Ясно, что .
Утверждение 3.3: с_Ш и множество всех функций вида c_n(x) и только они образуют множество минимальных в L элементов.
Доказательство.
Из утверждения 3.1. следует, что с_Ш – минимальный в L элемент.
Возьмем произвольную функцию c_n(x).
Пусть .
Ясно, что { }, кроме того α – всюду определенная функция, так как иначе , следовательно, .
Пусть теперь  минимальный в L элемент, отличный от с_Ш и от всех с_n, тогда  определена в некоторой точке х₀; пусть , имеем , где , то есть, . Получили противоречие. Ч.т.д. [1,2]

2. Практическая часть.

§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций

Определение:
Идеалом полурешетки L назовем всякое подмножество I отличное от Ш, удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
Идеал называется главным, если он содержит наибольший элемент.
Рассмотрим множество всех m-степеней частичных характеристических функций, то есть:
Н={ }.
Предположение 4.1:
Множество Н является главным идеалом полурешетки L.
Доказательство:
1.                                   Берем две степени  для некоторых р.п. множеств А и В. точной верхней гранью будет степень, содержащая функцию .
Определим множество А В:
{ }.

Докажем, что .
Будем пользоваться определением 15 для доказательства данного равенства.
Рассмотрим 4 случая.
1)         если x=2t,
И если x=2t,
2)         Если x=2t,
И если x=2t,
3)         Если x=2t+1,
И если x=2t+1,
4)         Если x=2t+1,
И если x=2t+1,
Следовательно, равенство  справедливо во всех четырех случаях, т.к. обе его части равносильны в рассмотренных случаях.
.
2.                                   Пусть . По определению m-сводимости из  следует, что существует рекурсивная функция f такая, что: , откуда . Из утверждения 2.2 и того, что всякое р.п. множество m-сводимо к креативному следует, что:  - наибольший элемент в Н, где k – креативно.
Тогда Н – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.
Рассмотрим множество всех m-степеней рекурсивных функций, то есть:
М={ }.
Предположение 4.2: Данное множество М является главным идеалом полурешетки L.
Доказательство:
1.                                   Берем две степени рекурсивных функций, их точной верхней гранью будет , где  также рекурсивная функция.
2.                                   Если , откуда существует рекурсивная функция h, такая, что , где  также рекурсивная функция. Далее,  посредством f(x) для любой рекурсивной функции f(x), отсюда  - наибольший элемент в М.
М – главный идеал полурешетки L. Ч.т.д.

Литература

1.            Дегтев А.Н. Сводимость частично-рекурсивных функций. – Сибирский математический журнал, 1975 т. 16, №5, с. 970-988.
2.            Ершов Ю.Л. Теория нумераций. – М.: Наука, 1977.
3.            Кагленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функций. – М.: Мир, 1983.
4.            Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1965.
5.            Поляков Е.А., Розинас М.Г. Теория алгоритмов. – Иваново: ИвГУ, 1976.
6.            Поляков Е.А., Маринина Н.В. Теория алгоритмов. – Шуя: ШГПУ, 2004.
7.            Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. – М.: Мир, 1972.