Контрольная работа Элементы аналитической геометрии
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
Контрольная работа
по дисциплине: «Линейная алгебра»
Выполнил:
Воропаева Екатерина Андреевна
(Ф.И.О.)
2010-З-ФК-1
(номер группы)
Вариант № 3
Проверил
преподаватель:
Кирютенко Юрий Александрович
Ростов – на - Дону
2010
Оглавление
1. Комплексные числа. 3
2. Элементы аналитической геометрии. 3
3. Вычисление определителей. 3
4. Метод Гаусса. 3
5. Метод Крамера. 3
6. Матричные уравнения. 3
Решение контрольной работы
Вариант № 3
1. Комплексные числа.
1.3. а) Вычислите: .
Решение:
Используя следующие правила:
выполним вычисления
1.3. б) Решите уравнение:
,
где
Решение:
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Ответ: .
2. Элементы аналитической геометрии.
Треугольник задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН.
A
(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).
Решение:
Выполним чертеж:
|
|
|
|
|
Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки А1(x1, y1) и
А2(x2, y2):
подставив поочередно в формулу (1) попарно координаты точек А и В, В и С, А и С.
Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1):
Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1)
b
C
(
4,-2)
:
Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и
C
(
4,-2):
Для определения уравнения медианы ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами нахождения координат середины отрезка А1А2 (А1(x1, y1) и А2(x2, y2)):
где х1, у1 – координаты точки А (1, 7);
х2, у2 – координаты точки С (4, -2).
Координаты точки М:
Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).
Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5).
Уравнение медианы ВМ:
Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку М1 (x
1
,
y
1
) перпендикулярно к данной прямой y
=
ax
+
b:
подставив в нее координаты точки С(4,-2
) и данные из уравнения прямой АВ Получим:
Уравнение высоты СН:
3. Вычисление определителей.
Решение:
Используя алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:
Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:
Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.
Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.
В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:
Определитель матрицы равен 4.
4. Метод Гаусса.
Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение:
Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Сформируем исходную матрицу:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
7 | 5 | -4 | -6 | 3 |
-4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
-9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
-4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
-9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
0 | 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 |
-9 | 10 | 3 | 7 | 7 |
Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
0 | 9 6/7 | -1 2/7 | - 3/7 | 6 5/7 |
0 | 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
0 | 1 | - 3/23 | - 1/23 | 47/69 |
0 | 16 3/7 | -2 1/7 | - 5/7 | 10 6/7 |
Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:
х1 | х2 | х3 | х4 | Столбец свободных членов |
1 | 5/7 | - 4/7 | - 6/7 | 3/7 |
0 | 1 | - 3/23 | - 1/23 | 47/69 |
0 | 0 | 0 | 0 | - 1/3 |
Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.
5. Метод Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение:
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
- 331
Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
6. Матричные уравнения
Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.
Решение:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим матрицу системы
и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
.
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A∙X=B.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:
.
Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A-1.
Вычислим обратную матрицу А-1.
Определитель матрицы
Система совместна и имеет единственное решение.
Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Союзная матрица .
Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.
Присоединенная матрица .
Вычислим обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:
.
Найдем X
=
B
∙
A
-1, выполнив умножение матриц B∙ A-1.
Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.
Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.
Вычислим элементы матрицы |Х|:
x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3
x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3
x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3
x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3
x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3
x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3
x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3
x3,2 = b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3
x3,3 = b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3
x1,1 = | 1 | ∙ | 3 | + | 2 | ∙ | (-3) | + | 3 | ∙ | 1 | = | 3 | + | (-6) | + | 3 | = | 0 | |||||||||||||||||
x1,2 = | 1 | ∙ | (-2.5) | + | 2 | ∙ | 4 | + | 3 | ∙ | (-1.5) | = | -2.5 | + | 8 | + | (-4.5) | = | 1 | |||||||||||||||||
x1,3 = | 1 | ∙ | 0.5 | + | 2 | ∙ ( | -1) | + | 3 | ∙ | 0.5 | = | 0.5 | + | (-2) | + | 1.5 | = | 0 |
x2,1 = | 2 | ∙ | 3 | + | 4 | ∙ | (-3) | + | 6 | ∙ | 1 | = | 6 | + | (-12) | + | 6 | = | 0 |
x2,2 = | 2 | ∙ | (-2.5) | + | 4 | ∙ | 4 | + | 6 | ∙ | (-1.5) | = | -5 | + | 16 | + | (-9) | = | 2 |
x2,3 = | 2 | ∙ | 0.5 | + | 4 | ∙ | (-1) | + | 6 | ∙ | 0.5 | = | 1 | + | (-4) | + | 3 | = | 0 |
x3,1 = | 3 | ∙ | 3 | + | 6 | ∙ | (-3) | + | 9 | ∙ | 1 | = | 9 | + | (-18) | + | 9 | = | 0 |
x3,2 = | 3 | ∙ | (-2.5) | + | 6 | ∙ | 4 | + | 9 | ∙ | (-1.5) | = | -7.5 | + | 24 | + | (-13.5) | = | 3 |
x3,3 = | 3 | ∙ | 0.5 | + | 6 | ∙ | (-1) | + | 9 | ∙ | 0.5 | = | 1.5 | + | (-6) | + | 4.5 | = | 0 |
Результирующая матрица: .
Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.
Вычислим элементы матрицы |B|:
b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1
b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2
b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3
+ x1,3 ∙ a3,3
b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1
b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2
b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3
b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1
b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2
b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3
Результирующая матрица: . Как показывают расчет, задача решена верно.
b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1
b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2
b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3
b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1
b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2
b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3
b1,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 1 | + | 0 | = | 1 |
b1,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 2 | + | 0 | = | 2 |
b1,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 3 | + | 0 | = | 3 |
b2,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 2 | + | 0 | = | 2 |
b2,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 4 | + | 0 | = | 4 |
b2,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 6 | + | 0 | = | 6 |
b3,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 3 | + | 0 | = | 3 |
b3,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 6 | + | 0 | = | 6 |
b3,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 9 | + | 0 | = | 9 |
Результирующая матрица: . Как показывают расчет, задача решена верно.