Контрольная работа

Контрольная работа Элементы аналитической геометрии

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024





ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ  И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ
 
Контрольная работа

по дисциплине:  «Линейная алгебра»



Выполнил:

Воропаева Екатерина Андреевна

(Ф.И.О.)

2010-З-ФК-1

(номер группы)

Вариант № 3
Проверил

преподаватель:

Кирютенко Юрий Александрович

Ростов – на - Дону

2010


Оглавление

1. Комплексные числа. 3

2. Элементы аналитической геометрии. 3

3. Вычисление определителей. 3

4. Метод Гаусса. 3

5. Метод Крамера. 3

6. Матричные уравнения. 3




Решение контрольной работы

Вариант № 3

1. Комплексные числа.


1.3. а) Вычислите:   .

Решение:

Используя следующие правила:

 

выполним вычисления



1.3. б) Решите уравнение:

,

где

Решение:

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:





Ответ: .

2. Элементы аналитической геометрии.


Треугольник  задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН.

A
(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).


Решение:

Выполним чертеж:


H
 

M
 

C (4, -2)
 

B (-3, -1)
 

A
(1, 7)

 


Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки А1(x1, y1) и
А2(
x2, y2):



подставив поочередно в формулу (1) попарно координаты точек А и В, В и С, А и С.

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1):









Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1)
b

C
(
4,-2)
:










Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и
C
(
4,-2):













Для определения уравнения медианы ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами нахождения координат середины отрезка А1А21(x1, y1) и А2(x2, y2)):





где х1, у1 – координаты точки А (1, 7);

х2, у2 – координаты точки С (4, -2).

Координаты точки М:





Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).

Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5).









Уравнение медианы ВМ:   

Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку М1 (x
1
,
y
1
)
перпендикулярно к данной прямой y
=
ax
+
b
:



подставив в нее координаты точки С(4,-2
)
и данные из уравнения прямой АВ  Получим:





Уравнение высоты СН:

3. Вычисление определителей.




Решение:

Используя  алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем  элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:



Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:



Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.

Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.



В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:



Определитель матрицы равен 4.

4. Метод Гаусса.


Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса.



Решение:

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Сформируем исходную матрицу:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

7

5

-4

-6

3

-4

7

1

3

5

-9

10

3

7

7

Разделим все элементы первой строки матрицы на 7, получим:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1     

  5/7

-  4/7

-  6/7

  3/7

-4

7

1

3

5

-9

10

3

7

7

Умножим все элементы первой строки матрицы на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1     

  5/7

-  4/7

-  6/7

  3/7

0     

9  6/7

-1  2/7

-  3/7

6  5/7

-9

10

3

7

7



Умножим все элементы первой строки матрицы на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1     

  5/7

-  4/7

-  6/7

  3/7

0     

9  6/7

-1  2/7

-  3/7

6  5/7

0     

16  3/7

-2  1/7

-  5/7

10  6/7

Все элементы второй строки разделим на 9 6/7:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1     

  5/7

-  4/7

-  6/7

  3/7

0       

1       

-   3/23

-   1/23

  47/69

0     

16  3/7

-2  1/7

-  5/7

10  6/7

Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей строки:

х1

х2

х3

х4

Столбец свободных членов

1     

  5/7

-  4/7

-  6/7

  3/7

0       

1       

-   3/23

-   1/23

  47/69

0     

0     

0     

0     

-  1/3

Ранг матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A1)=3, т. е. r(A)≠r(A1); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.



5. Метод Крамера.


Решить систему линейных уравнений методом Крамера.



Решение:

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/l14image012.gif

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/l14image048.gif

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе  последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/l14image050.gif

Тогда можно доказать следующий результат.

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/l14image052.gif

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.



 - 331

Определитель системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение.











 

Найдем решение системы уравнений:









6. Матричные уравнения


Решить матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку.




Решение:

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture14/l14image012.gif

D:\lecture14_files\l14image012.gif

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

D:\lecture14_files\l14image014.gif

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

D:\lecture14_files\l14image016.gif.

Найдем произведение

D:\lecture14_files\l14image018.gif

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

D:\lecture14_files\l14image020.gif или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:

D:\lecture14_files\l14image022.gif.

Поскольку A-1A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а  решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A-1.

 

Вычислим обратную матрицу А-1.

Определитель матрицы





Система совместна и имеет единственное решение.

Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.























Союзная матрица .

Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.

Присоединенная матрица  .


Вычислим обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:

.

Найдем  X
=
B

A
-1
, выполнив умножение матриц B∙ A-1.

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.



Вычислим элементы матрицы |Х|:

x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3

x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3

x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3
x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3

x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3

x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3
x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3

x3,2 =  b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3

x3,3 =  b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3



x1,1 = 

1



3

+

2



(-3)

+

3



1

=

3

+

(-6)

+

3

=

0

x1,2 = 

1



(-2.5)

+

2



4

+

3



(-1.5)

=

-2.5

+

8

+

(-4.5)

=

1



x1,3 = 

1



0.5

+

2

  (

-1)

+

3



0.5

=

0.5

+

(-2)

+

1.5

=

0



x2,1 = 

2



3

+

4



(-3)

+

6



1

=

6

+

(-12)

+

6

=

0



x2,2 = 

2



(-2.5)

+

4



4

+

6



(-1.5)

=

-5

+

16

+

(-9)

=

2



x2,3 = 

2



0.5

+

4



(-1)

+

6



0.5

=

1

+

(-4)

+

3

=

0



x3,1 = 

3



3

+

6



(-3)

+

9



1

=

9

+

(-18)

+

9

=

0



x3,2 = 

3



(-2.5)

+

6



4

+

9



(-1.5)

=

-7.5

+

24

+

(-13.5)

=

3



x3,3 = 

3



0.5

+

6



(-1)

+

9



0.5

=

1.5

+

(-6)

+

4.5

=

0

Результирующая матрица: .

Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.




Вычислим элементы матрицы |B|:

b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1

b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2

b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3
+ x1,3 ∙ a3,3
b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1

b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2

b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3
b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1

b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2

b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3

b1,1 = 

0



1

+

1



1

+

0



1

=

0

+

1

+

0

=

1



b1,2 = 

0



1

+

1



2

+

0



4

=

0

+

2

+

0

=

2



b1,3 = 

0



1

+

1



3

+

0



9

=

0

+

3

+

0

=

3



b2,1 = 

0



1

+

2



1

+

0



1

=

0

+

2

+

0

=

2



b2,2 = 

0



1

+

2



2

+

0



4

=

0

+

4

+

0

=

4



b2,3 = 

0



1

+

2



3

+

0



9

=

0

+

6

+

0

=

6



b3,1 = 

0



1

+

3



1

+

0



1

=

0

+

3

+

0

=

3



b3,2 = 

0



1

+

3



2

+

0



4

=

0

+

6

+

0

=

6



b3,3 = 

0



1

+

3



3

+

0



9

=

0

+

9

+

0

=

9

Результирующая матрица: . Как показывают расчет, задача решена верно.

1. Реферат на тему Торможение в ЦНС
2. Контрольная работа на тему Расчет и построение электротяговых характеристик
3. Курсовая Здоровый образ жизни как научная проблема
4. Реферат Система покарань
5. Курсовая на тему Формирование доходов региональных бюджетов
6. Курсовая на тему Товароведение текстильных товаров
7. Бизнес-план Организация производства столярных изделий и мебели из натурального дерева
8. Реферат Правовое обеспечение туристической деятельности
9. Доклад Татарник колючий
10. Курсовая на тему Аналіз інвестиційної діяльності в Україні та шляхи її розвитку