Таблица 1

Исходные данные

Номер организации	Выпуск продукции, млн руб.	Затраты на производство продукции, млн руб.	Номер организации	Выпуск продукции, млн руб.	Затраты на производство продукции, млн руб.
1	36,45	30,255	16	36,936	31,026
2	23,4	20,124	17	53,392	42,714
3	46,54	38,163	18	41	33,62
4	59,752	47,204	19	55,68	43,987
5	41,415	33,546	20	18,2	15,652
6	26,86	22,831	21	31,8	26,394
7	79,2	60,984	22	39,204	32,539
8	54,72	43,776	23	57,128	45,702
9	40,424	33,148	24	28,44	23,89
10	30,21	25,376	25	43,344	35,542
11	42,418	34,359	26	70,82	54,454
12	64,575	51,014	27	41,832	34,302
13	51,612	41,806	28	69,345	54,089
14	35,42	29,753	29	35,903	30,159
15	14,4	12,528	30	50,22	40,678

Номер организации	Затраты на производство продукции, млн руб..	Сумма ожидаемой прибыли, млн руб.	Номер организации	Затраты на производство продукции, млн руб.	Сумма ожидаемой прибыли, млн руб.
1	30,255	6,195	16	31,026	5,91
2	20,124	3,276	17	42,714	10,678
3	38,163	8,377	18	33,62	7,38
4	47,204	12,548	19	43,987	11,693
5	33,546	7,869	20	15,652	2,548
6	22,831	4,029	21	26,394	5,406
7	60,984	18,216	22	32,539	6,665
8	43,776	10,944	23	45,702	11,426
9	33,148	7,276	24	23,89	4,55
10	25,376	4,834	25	35,542	7,802
11	34,359	8,059	26	54,454	16,366
12	51,014	13,561	27	34,302	7,53
13	41,806	9,806	28	54,089	15,256
14	29,753	5,667	29	30,159	5,744
15	12,528	1,872	30	40,678	9,542

Задание 1

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

1.     Построить статистический ряд распределения организаций по признаку сумма ожидаемой прибыли, образовав пять групп с равными интервалами.

2.     Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определить значение моды и медианы.

3.     Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.


4.     Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1.1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

1.Построение интервального ряда распределения банков по объему кредитных вложений

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение организаций по признаку сумма ожидаемой прибыли, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле


,                                                   (1)

где
 – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности,  k
- число групп интервального ряда.

(((((Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k
=1+3,322
lg

n
,                                                              (2)

где  n

- число единиц совокупности.)))))

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k
= 5,           x_max = 18,216 млн руб., x_min
= 1,872 млн руб.:




При h = 3,269 млн руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (для демонстрационного примера – это 90, 140, 190 млн руб.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Сумма ожидаемой прибыли представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Группы банков по объему кредитных вложений, млн руб.	Номер банка	Сумма ожидаемой прибыли млн руб.	Затраты на производство, млн руб.
1	2	3	4
1,872-5,141	15	1,872	12,528
	20	2,548	15,652
	2	3,276	20,124
	6	4,029	22,831
	24	4,55	23,89
	10	4,834	25,376
Всего	6	21,109	120,401
5,141-8,410	21	5,406	26,394
	14	5,667	29,753
	29	5,744	30,159
	16	5,91	30,255
	1	6,195	31,026
	22	6,665	32,539
	9	7,276	33,148
	18	7,38	33,546
	27	7,53	33,62
	25	7,802	34,302
	5	7,869	34,359
	11	8,059	35,542
	3	8,377	38,163
Всего	13	89,88	422,806
8,410-11,678	30	9,542	40,678
	13	9,806	41,806
	17	10,678	42,714
	8	10,944	43,776
	23	11,426	45,702
Всего	5	52,396	214,676
11,678-14,947	19	11,693	43,987
	4	12,548	47,204
	12	13,561	51,014
Всего	3	37,802	142,205
14,947-18,216	28	15,256	54,089
	26	16,366	54,454
	7	18,216	60,984
Всего	3	49,838	169,527
ИТОГО	30	215,025	1069,615

Номер группы	Группы банков по объему кредитных вложений, млн руб., х	Число банков, f
1	1,872-5,141	6
2	5,141-8,410	13
3	8,410-11,678	5
4	11,678-14,947	3
5	14,947-18,216	3
	Итого	30

Номер группы	Сумма ожидаемой прибыли, млн руб.	Число банков	Затраты на производство, млн руб.
			всего	в среднем на один банк
1	5,1408	6	120,401	20,06683
2	8,4096	13	422,806	32,52354
3	11,6784	5	214,676	42,9352
4	14,9472	3	142,205	47,40167
5	18,216	3	169,527	56,509
Итого		30	1069,615	35,65383

Номер группы	Группы организаций по сумме ожидаемой прибыли, млн руб., х	Число банков, fj	Затраты на производство, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1	2	3	4	5=4:3
1	1,872-5,141	6	120,401	20,06683
2	5,141-8,410	13	422,806	32,52354
3	8,410-11,678	5	214,676	42,9352
4	11,678-14,947	3	142,205	47,40167
5	14,947-18,216	3	169,527	56,509
	Итого	30	1069,615	35,65383

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением суммы ожидаемой прибыли от группы к группе систематически возрастает и средняя затрата на производство по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации  оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                                               (9)

где   – общая дисперсия признака Y,

         – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя  изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство  =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                                        (10)

где  y
_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                               (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                                            (12)

Для вычисления  удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):



Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер организации п/п	затраты, млн руб.
1	2	3	4	5
1	30,255	-5,39883	29,1474	915,365
2	20,124	-15,5298	241,1757	404,9754
3	38,163	2,509167	6,295917	1456,415
4	47,204	11,55017	133,4064	2228,218
5	33,546	-2,10783	4,442961	1125,334
6	22,831	-12,8228	164,4251	521,2546
7	60,984	25,33017	641,6173	3719,048
8	43,776	8,122167	65,96959	1916,338
9	33,148	-2,50583	6,279201	1098,79
10	25,376	-10,2778	105,6339	643,9414
11	34,359	-1,29483	1,676593	1180,541
12	51,014	15,36017	235,9347	2602,428
13	41,806	6,152167	37,84915	1747,742
14	29,753	-5,90083	34,81983	885,241
15	12,528	-23,1258	534,8042	156,9508
16	31,026	-4,62783	21,41684	962,6127
17	42,714	7,060167	49,84595	1824,486
18	33,62	-2,03383	4,136478	1130,304
19	43,987	8,333167	69,44167	1934,856
20	15,652	-20,0018	400,0733	244,9851
21	26,394	-9,25983	85,74451	696,6432
22	32,539	-3,11483	9,702187	1058,787
23	45,702	10,04817	100,9657	2088,673
24	23,89	-11,7638	138,3878	570,7321
25	35,542	-0,11183	0,012507	1263,234
26	54,454	18,80017	353,4463	2965,238
27	34,302	-1,35183	1,827453	1176,627
28	54,089	18,43517	339,8554	2925,62
29	30,159	-5,49483	30,19319	909,5653
30	40,678	5,024167	25,24225	1654,7
Итого	1069,6	0,000	3873,769	42009,64

Расчет общей дисперсии по формуле (10):



Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где  – средняя из квадратов значений результативного признака,

       – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера





Тогда



Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних  от общей средней . Показатель  вычисляется по формуле

,                                                (13)

где      –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения  из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы организаций по сумме ожидаемой прибыли, млн руб.	Число организаций,	Среднее значение  в группе
1	2	3	4	5
1,872-5,141	6	20,06683	-15,587	1457,727
5,141-8,410	13	32,52354	-3,13029	127,3837
8,410-11,678	5	42,9352	7,281367	265,0915
11,678-14,947	3	47,40167	11,74783	414,0348
14,947-18,216	3	56,509	20,85517	1304,814
Итого	30			3569,051

Расчет межгрупповой дисперсии  по формуле (11):



Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле (9):

    ^{или 92,1%}

Вывод. 92,1% вариации затрат на производство продуеции обусловлено вариацией суммы ожидаемой прибыли, а 7,9% –  влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                     (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (табл. 14):
Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между затратами на производство и суммой ожидаемой прибыли организаций является весьма тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации

.

Показатели  и  рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли  иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи  ,  несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации   служит дисперсионный F
-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

                                    ,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

        – межгрупповая дисперсия,

       – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

        – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

                                     ,

где  – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя  рассчитанное значение F-критерия F
_расч сравнивается с табличным F
_табл
для принятого уровня значимости  и параметров k
1,
k
2, зависящих от величин n
и
m : k
₁
=
m
-1,
k
₂
=
n
-
m
. Величина F
_табл для значений , k
_1,

k
₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для  различных  комбинаций  значений  , k
_1,

k
₂
. Уровень значимости  в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F
_расч
>
F
_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка  обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F
_расч
<
F
_табл, то показатель  считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для  значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =92,1%, полученной при =129,13, =118,97:

            
F
_расч

Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (,4, 26)
30	5	4	25	2,60

 

Вывод: поскольку F
_расч
>
F
_табл, то величина коэффициента детерминации =75,1% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Суммой ожидаемой прибыли и Затратами на производство продукции правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности банков.
Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 необходимо определить:

1)     ошибку выборки средней суммы прибыли границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.

2)     ошибку   выборки   доли   организаций с ожидаемой суммой прибыли 14,948 млн руб. и более и  границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности организаций региона границ, в которых будут находиться величина средней суммы ожидаемой прибыли  и доля организаций с ожидаемой суммой прибыли 14,948 млн руб.
1. Определение ошибки выборки для средней суммы ожидаемой прибыли и границ, в которых будет находиться генеральная доля

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю  и предельную .

Средняя ошибка выборки  - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  выборочной средней  определяется по формуле

,                                                    (15)

где  – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

                                       ,                                         (16)

где     – выборочная средняя,

           – генеральная средняя.

Границы  задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже  Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t
(называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней  это теоретическое положение выражается формулой

                                                       (17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 банков. Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,683	1	30	150	8,30	15,4815

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):



Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

8,30-1,228,30+1,22,

7,08 млн руб. 9,52 млн руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования организаций региона с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средняя сумма ожидаемой прибыли находится в пределах от 7,08 млн руб. до 9,52 млн руб.

2. Определение ошибки выборки для доли организаций с ожидаемой суммой прибыли 14,948 млн руб. и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

              ,                                                                  (18)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

                 ,                                           (19)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w
) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                                          (20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение ожидаемой суммы прибыли 14,948 млн руб..

Число банков с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=27

Расчет выборочной доли по формуле (18):



Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:



Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:



0,802  0,998

или

80,2%  99,8%

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций с ожидаемой суммой прибыли 14,948 млн руб. и выше будет находиться в пределах от 80,2% до 99,8%.
Задание 4

Имеются следующие данные о реализации фруктов торговой организацией:

Товар	Цена за 1 кг, руб.		Товарооборот, тыс. руб.
	июнь	август	июнь	август
Яблоки	20	10	160	200
Сливы	35	15	140	270

Определите:

1.Индексы цен по каждому виду товара;

2. По двум товаром вместе:

а) индексы цен, физического объема товарооборота, индекс товарооборота;

б) абсолютную сумму экономии от снижения цен.

Постройте расчетную таблицу, сделайте выводы.