Задача 1
Имеются данные 24 заводов одной из отраслей промышленности (табл.1.1).
Таблица 1.1.

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн.	№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн.
1	2	3	4	5	6
1	1,7	1,5	13	1,2	1,1
2	3,9	4,4	14	7	7,7
3	3,5	4,5	15	4,6	5,6
4	4,9	4,5	16	8,1	7,8
5	3,2	2	17	6,4	6
6	5,1	4,4	18	5,5	8,5
7	3,3	4	19	6,7	6,5
8	0,5	0,2	20	1	0,8
9	3,2	3,6	21	4,8	4,5
10	5,6	7,8	22	2,7	2,5
11	3,6	3	23	2,8	3,2
12	0,9	0,7	24	6,8	6,8

С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском валовой продукции произведите группировку по среднегодовой стоимости основных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совместимости заводов подсчитайте: 1) число заводов; 2) среднегодовую стоимость основных фондов – всего и в среднем на один завод; 3) стоимость валовой продукции – всего и в среднем на один завод; 4) уровень фондоотдачи по группам. Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте выводы.
Решение:
1. Определим величину интервала группировочного признака.
Среднегодовая стоимость основных фондов является группировочным признаком.
 
где x_max – максимальное значение;
x_min – минимальное значение группировочного признака;
s - число образуемых групп.
2. Определим границы интервалов.
x_min ® 0,5 … 2,4
2,4 … 4,2
4,2 … 6,3
6,3 … 8,1 ¬ x_max
Составим вспомогательную таблицу.
Таблица 1.2. Вспомогательная таблица.

№ п/п	Группы по с/г стоимости ОФ	Номер завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн.	Валовая продукция в сопост. ценах, грн.
1	0,5 - 2,4	1	1,7	1,5
		8	0,5	0,2
		12	0,9	0,7
		13	1,2	1,1
		20	1	0,8
	Итого	5	5,3	4,3
2	2,4 - 4,3	2	3,9	4,4
		3	3,5	4,5
		5	3,2	2
		7	3,3	4
		9	3,2	3,6
		11	3,6	3
		22	2,7	2,5
		23	2,8	3,2
	Итого	8	26,2	27,2
3	4,3 - 6,2	4	4,9	4,5
		6	5,1	4,4
		10	5,6	7,8
		15	4,6	5,6
		18	5,5	8,5
		21	4,8	4,5
	Итого	6	30,5	35,3
4	6,2 - 8,1	14	7	7,7
		16	8,1	7,8
		17	6,4	6
		19	6,7	6,5
		24	6,8	6,8
	Итого	5	35	34,8
	Всего	24	97	101,6

Групповые показатели рабочей таблицы и вычисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу.
Таблица 1.3. Группировка заводов по среднегодовой стоимости ОФ.

Группы, № п\п	Группы по ср/г стоимости ОФ	Количество заводов, шт.	Средняя ср/год ст-ть ОФ, млн.грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн
				всего	на один завод
А	Б	1	2	3	4
1	0,5 - 2,4	5	1,06	4,3	0,86
2	2,4 - 4,3	8	3,275	27,2	3,4
3	4,3 - 6,2	6	5,08	35,3	5,88
4	6,2 - 8,1	5	7	34,8	6,96
	Итого	24	4,1	101,6	4,2

Среднегодовая стоимость ОФ: Стоимость валовой продукции:

5,3 / 5 = 1,06                                                      4,3 / 5 = 0,86
26,2 / 8 = 3,275                                         27,2 / 8 = 3,4
30,5 / 6 = 5,08                                           35,3 / 6 = 5,88
35 / 5 = 7                                                   34,8 / 5 = 6,96
Итого: 97 / 24 = 4,1                                           Итого: 101,6 / 24 = 4,2
Вывод: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет стоимость валовой продукции, следовательно, между изучаемыми показателями существует прямая зависимость.

Задача 2

Имеются данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию (табл.2)
Таблица 2

Номер завода	1998 год		1999 год
	Затраты времени на единицу продукции, ч	Изготовление продукции, шт.	Затраты времени на единицу продукции, ч	Затраты времени на всю продукцию,ч
1	2,5	150	1,9	380
2	3,2	250	3,4	850

Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам с 1998 по 1999 годы. Укажите, какой вид средней необходимо применить при вычислении этих показателей.
Решение:
Если в статистической совокупности дан признак x_i и f_i его частота, то расчет ведем по формуле средней арифметической взвешенной.

2,9 (ч)
Если дан признак x_i, нет его частоты f_i, а дан объем M = x_if_i распространения явления, тогда расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной:

2,7 (ч)
В среднем затраты времени на изготовление единицы продукции в 1998 году выше, чем в 1999 г.

Задача 3

Для определения средней суммы вклада в сберегательных кассах района, имеющего 9000 вкладчиков, проведена 10%-я механическая выборка, результаты которой представлены в табл.3.
Таблица 3.

Группы вкладов по размеру, грн. - xi	До 200	200-400	400-600	600-800	Св.800	Итого
Число вкладчиков - fi	85	110	220	350	135	900
	100	300	500	700	900
x - A	-600	-400	-200	0	200
	-3	-2	-1	0	1
	-255	-220	-220	0	135	-560
	-475	-275	-75	125	325
	225625	75625	5625	15625	105625
	19178125	8318750	1237500	5468750	14259375	48462500

По данным выборочного обследования вычислить:
1)     применяя способ моментов:
а) среднюю сумму вкладов;
б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение вклада;
2)     коэффициент вариации;
3)     с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится средняя сумма вкладов в сберкассе района;
4)     с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес вкладчиков, вклад которых не превышает 400 грн.
Решение:
Среднюю сумму вкладов способом моментов определим по формуле:

где А – постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака.
В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается варианта ряда с наибольшей частотой.
i = величина интервала.
1.     Находим середины интервалов:
200 + 400 / 2 = 300 – для закрытых интервалов;

Для открытых интервалов вторая граница достраивается: 0 + 200 / 2 = 100
Величина интервала i = 200.
Наибольшая частота равна 350, следовательно А = 700.

Вывод: в среднем сумма вкладов составляет 575 грн.

2.     Дисперсия: ;

3.     Коэффициент вариации:

4.     Среднеквадратичное отклонение: ;

Задача 4

Имеются данные о младенческой смертности на Украине (табл.4.1).
Таблица 4.1

Год	1990	1995	1996	1997	1998	1999
Умерло детей в возрасте до 1 года (всего), тыс.чел.	12,5	11,7	11,9	10,6	9,4	9,2

Для анализа ряда динамики исчислите: 1) абсолютный прирост, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 г.), абсолютное содержание 1% прироста (полученные показатели представьте в виде таблицы); 2) среднегодовой темп роста и прироста младенческой смертности: а) с 1990 по 1996 годы; б) с 1995 по 1999 годы; в) с 1990 по 1999 годы. Изобразите исходные данные графически. Сделайте выводы.

Решение:

1. Абсолютный прирост (Δ_i) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения Δ_i=y_i-y_баз, где y_i – уровень сравниваемого периода; y_баз – базисный уровень.
При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен Δ_i=y_i-y_i-1, где y_i – уровень сравниваемого периода; y_i-1 – предыдущий уровень.
Темпы роста определяются как процентное отношение двух сравниваемых уровней:
При сравнении с базисом: . По годам: .
Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня. По отношению к базисному: ; по годам:  или можно вычислять так: Тп=Тр-100%.
Абсолютное содержание 1% прироста - сравнение темпа прироста с показателем абсолютного роста: .
2. Среднегодовая младенческая смертность вычисляется по формуле: .

3. Среднегодовой абсолютный прирост вычисляется по формуле: .

4. Базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста вычисляется по формуле:
.
5. Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле: .
Среднегодовой темп прироста вычисляется по формуле: .
Рассчитанные данные представим в таблице 4.2
Таблица 4.2

Год	Умерло, тыс.чел.	Абсол.прирост		Ср.год.темп роста		Ср.год.темп прироста		Аі
		цепн.	базисн.	цепн.	базисн.	цепн.	базисн.
1990	12,5	-	0,8	-	106,8	-	6,8	-
1995	11,7	-0,8	0	94	100	-6	-	0,125
1996	11,9	0,2	0,2	102	102	2	2	0,12
1997	10,6	-1,3	-1,1	89	90,6	-11	-0,4	0,12
1998	9,4	-1,2	-2,3	89	80,3	-11	-19,7	0,11
1999	9,2	-0,2	-2,5	99	78,6	-1	-21,4	0,09

В качестве базисного берем 1995 г.

Среднегодовой темп роста
с 1990 по 1996	99,2
с 1995 по 1999	94,6
с 1990 по 1999	96,6
Среднегодовой темп прироста
с 1990 по 1996	-0,8
с 1995 по 1999	-5,4
с 1990 по 1999	-3,4

\s

Задача 5

Реализация товаров на колхозном рынке характеризуется данными представленными в табл.5.
Таблица 5.

Наименование товара	Базисный период		Отчетный период
	Количество, тыс.кг.	Цена 1 кг., грн	Количество, тыс.грн.	Цена 1 кг.,грн
Картофель	15,5	0,4	21	0,6
Мясо	3,5	5,5	4	8

Определите: 1) общий индекс физического объема продукции; 2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) от изменения цен; 3) на основании исчисленных индексов определить индекс товарооборота.
Решение.
Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.
Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменения только одного элемента совокупности.
Общий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.
Стоимость – это качественный показатель.
Физический объем продукции – количественный показатель.
Общий индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:
,
где p₀ и р₁ – цена единицы товара соответственно в базисном и отчетном периодах;
q₀ и q₁ - количество (физический объем) товара соответственно в базисном и отчетном периодах.
Количество проданных товаров увеличилось на 19,4%.
Или в деньгах: 30,4 – 25,45 = 4,95 тыс.грн.
Общий индекс стоимости вычисляется по формуле:

Следовательно, цены на данные товары в среднем увеличились на 46,7%.
Сумма сэкономленных или перерасходованных денег:
сумма возросла на 46,7%, следовательно, население в отчетном периоде на покупку данных товаров дополнительно израсходует: 44,6 – 30,4 = 14,2 тыс.грн.
Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле:

 
Товарооборот в среднем возрос на 75,2%.
Взаимосвязь индексов:

1,467 * 1,194 = 1,752

Задача 6

Имеются данные о выпуске одноименной продукции и её себестоимости по двум заводам (табл.6).
Таблица 6.

Завод	Производство продукции,тыс.шт.		Себестоимость 1 шт., грн.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
I	120	180	100	96
II	60	80	90	100

Вычислите индексы: 1) себестоимости переменного состава; 2) себестоимости постоянного состава; 3) структурных сдвигов. Поясните полученные результаты.
Решение.
Индекс себестоимости переменного состава вычисляется по формуле:

где z₀ и z₁ - себестоимость единицы продукции соответственно базисного и отчетного периодов;
q₀ и q₁ - количество (физический объем) продукции соответственно в базисном и отчетном периодах.

Индекс показывает, что средняя себестоимость по двум заводам повысилась на 0,6%, это повышение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (увеличением объема выпуска).
Выявим влияние каждого из этих факторов.
Индекс себестоимости постоянного состава вычисляется по формуле:


То есть себестоимость продукции по двум заводам в среднем возросла на 0,3%.
Индекс себестоимости структурных сдвигов вычисляется по формуле:

Или



Взаимосвязь индексов:

1,003 * 1,003 = 1,006
Вывод:
Индекс себестоимости переменного состава зависит от изменения уровня себестоимости и от изменения объема производства, т.е. средний прирост себестоимости составил 0,6%.
Индекс себестоимости постоянного состава показывает изменение себестоимости при фиксированном объеме производства, т.е. в среднем по заводам себестоимость повысилась на 0,3%. Индекс себестоимости переменного состава выше, чем индекс себестоимости постоянного состава, это свидетельствует о том, что произошли благоприятные структурные сдвиги. Индекс структурных сдвигов равен 1,003%, т.е. за счет изменения объемов производства по заводам средняя себестоимость повысилась на 0,3%.

Задача 7

Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на один завод (результативный признак Y) и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак X) по данным задачи 1 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение.
Показателем тесноты связи между факторами, является линейный коэффициент корреляции.
Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:
.
Линейное уравнение регрессии имеет вид: y=bx-а.
Коэффициент детерминации показывает насколько вариация признака зависит от фактора, положенного в основу группировки и вычисляется по формуле:

где d² – внутригрупповая дисперсия;
s² – общая дисперсия.
Общая дисперсия характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности.
Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки и рассчитывается по формуле:

где среднее значение по отдельным группам;
f_i – частота каждой группы.

Средняя из внутригрупповых дисперсия:

где - дисперсия каждой группы.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

Все расчетные данные приведены в таблице 7.
Таблица 7

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн.грн. (X)	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. (Y)	X^2	Y^2	XY
1	2	3	4	5	6
1	1,7	1,5	2,89	2,25	2,55
2	3,9	4,4	15,21	19,36	17,16
3	3,5	4,5	12,25	20,25	15,75
4	4,9	4,5	24,01	20,25	22,05
5	3,2	2	10,24	4	6,4
6	5,1	4,4	26,01	19,36	22,44
7	3,3	4	10,89	16	13,2
8	0,5	0,2	0,25	0,04	0,1
9	3,2	3,6	10,24	12,96	11,52
10	5,6	7,8	31,36	60,84	43,68
11	3,6	3	12,96	9	10,8
12	0,9	0,7	0,81	0,49	0,63
13	1,2	1,1	1,44	1,21	1,32
14	7	7,7	49	59,29	53,9
15	4,6	5,6	21,16	31,36	25,76
16	8,1	7,8	65,61	60,84	63,18
17	6,4	6	40,96	36	38,4
18	5,5	8,5	30,25	72,25	46,75
19	6,7	6,5	44,89	42,25	43,55
20	1	0,8	1	0,64	0,8
21	4,8	4,5	23,04	20,25	21,6
22	2,7	2,5	7,29	6,25	6,75
23	2,8	3,2	7,84	10,24	8,96
24	6,8	6,8	46,24	46,24	46,24
Итого	97	101,6	495,84	571,62	523,49
Среднее	4	4,2	20,66	23,82	21,81

\s
Подставив вычисленные значения в формулу, получим:

Коэффициент детерминации h² = 0,87.
Эмпирическое корреляционное отношение имеет вид: у = 1,0873х – 0,161.
Линейный коэффициент корреляции r = 0,93.
a=0,161    b=1,0873
Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между выпуском валовой продукции и оснащенностью заводов основными производственными фондами есть тесная зависимость.
b – коэффициент регрессии, т.к. b > 0, то связь прямая.

Список использованной литературы:
1. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. – М.: Статистика, 1977.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1995.
3. Ефимова М.Р., Рябцев В.Ф. Общая теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1991.