Содержание

1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного. 2

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение  5

3. Интегральное исчисление функции одного переменного  8

1.Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного

1.      Вычислить предел




2.      Найти асимптоты функции



Отметим, что данная функция не существует при .

Исследуем прямую на вертикальную асимптотичность:



Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой.

Проверим функцию на существование горизонтальных асимптот:



Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Проверим функцию на существование наклонной асимптоты:



Отсюда следует, что функция имеет наклонную асимптоту

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту  и наклонную асимптоту
3.      Определить глобальные экстремумы

   при хÎ[-2,0]

Для определения глобальных экстремумов, вычислим производную 1-го порядка для данной функции:



Найдем значения аргумента, при которых данная производная будет равна 0:



Отсюда имеем ;

Продолжая решение:

По теореме Виета, получим:



По условию задания глобальные экстремумы определяются на отрезке хÎ[-2,0]. Таким образом, имеем, что на отрезке [-2, -1] значение производной отрицательно, на отрезке
[-1, 0] – положительно. Таким образом, при , функция принимает минимальное значение на заданном отрезке:

Исследуем значения функции на концах заданного отрезка: ,

Таким образом, при  функция принимает максимальное значение на заданном отрезке.

Ответ:
4.      Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции



Для исследования функции на монотонность, найдем производную 1-го порядка:

, Определим значения аргумента, при которых производная равна 0



На промежутке - функция монотонно убывает

На промежутке  - функция монотонно убывает

На промежутке - функция монотонно возрастает

То есть при х=0, функция принимает минимальное значение у=0

Таким образом, эскиз графика функции, выполненный по условию задания, выглядит следующим образом:


5.      Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции





По теореме Виета:



Далее определим промежутки выпуклости функции

На промежутке  ; - выпуклость вверх

На промежутке  ; - выпуклость вниз

На промежутке  - выпуклость вверх

Значения функции в точках перегиба:

Тогда точки перегиба функции:  и N

2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение

1.      Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции



1)      Функция не является четной, не является нечетной. Функция не периодична.

2)      Функция  не существует при . Проверим гипотезу об асимптоте :


Таким образом является вертикальной асимптотой данной функции

3)      Проверим гипотезу о существовании горизонтальной асимптоты:

Отсюда следует, что горизонтальные асимптоты отсутствуют.

4)      Проверим гипотезу о существовании наклонной асимптоты:

аналогично при
Таким образом, наклонная асимптота имеет вид:

5)       единственно при , и не существует при  Исследуем знаки постоянства функции:
на промежутке   
 на промежутке  

6)      Исследуем функцию на монотонность:
;
 при
На интервале  - функция возрастает
На интервале - функция убывает
На интервале- функция убывает
На интервале- функция убывает
На интервале-функция возрастает
Точки экстремума: - локальный максимум
- локальный минимум

7)      Исследуем функцию на выпуклость:

 данное уравнение корней не имеет;

Производная второго порядка не существует при
На промежутке  - функция выпукла вверх
На промежутке  - функция выпукла вниз



Таким образом, учитывая все вышеуказанное, эскиз графика функции будет выглядеть следующим образом:


2.      Найти локальные экстремумы функции

Найдем первые производные:

Составим систему:



Найдем вторые производные:


Поскольку производные 2-го порядка для данной функции не существуют, то вопрос о локальных экстремумах остается открытым.
3.      Определить экстремумы функции

,   если у²+2х²=12, х>0, у>0

1. Составляем функцию Лагранжа:
   
   
2. Найдем первые частные производные функции Лагранжа:
   
3. Составим систему уравнений:
   
   По условию: х>0, у>0
   Таким образом: х =  у
   
4. Определи вторые производные функции Лагранжа:
   
   
   
5. Учитывая значения переменных, полученные в п.3, имеем:
   
6. Найдем производные условной функции:
   
7. Таким образом:
   
   Видим, что в точке (2,2) исходная функция  при условии у²+2х²=12, х>0, у>0,  будет иметь строгий условный максимум, при этом
   
   

3. Интегральное исчисление функции одного переменного

1-3 Найти неопределенный интеграл:
а.


б.

в.
4 Вычислить


Таким образом:

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми