Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Алгебра и геометрия

                                   
Выполнил: Шевыряев А.Н.

Группа: СДТ-03

Вариант:6

    
Проверил: ___________________
Новосибирск, 2010 г
Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.



a)     Решение системы методом Крамера.
Формулы Крамера:









Найдем значения неизвестных:


Выполним проверку:


b)    Решение системы методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:



Выполним преобразования:

1)    умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;

2)    умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;

3)    умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.


В результате получили матрицу системы треугольного вида.

Запишем итоговую систему:
 

Найдем значения неизвестных:

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти:

1)    длину ребра ;

2)    угол между ребрами  и ;

3)    площадь грани ;

4)    уравнение плоскости .

5)    объём пирамиды .

Решение.



 Рисунок 1.


1)     Длина ребра  равна расстоянию между точками  и  или модулю вектора . Расстояние между точками  и  вычисляется по формуле . Подставляя в эту формулу исходные данные, получим
2)     Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:



В нашем случае:

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,





3)     Площадь грани можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае





4)     Уравнение плоскости   будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки :

;

;



Полученное уравнение является уравнением плоскости .

5)     Объем пирамиды  найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

Найдем смешанное произведение векторов :