Требуется:

1)                 Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2)                 Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3)                 Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4)                 На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг;

- оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.
Решение
1) Пусть необходимо изготовить х₁ единиц продукции A, х₂ единиц продукции Б и х₃ единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:


Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:





Теперь будем искать  оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:


В результате будет получена следующая таблица:

2	A	B	C	D	E	F
3		X1	X2	X3
4	Значения переменных	0	8	20	ЦФ
5	Коэф. целевой ф-ии	9	10	16	400
6
7	Ограничения				Левая часть	Правая часть
8	I	18	15	12	360	360
9	II	6	4	8	192	192
10	III	5	3	3	84	180

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В.
2) Строим двойственную задачу в виде:



Запишем двойственную задачу:


Найдем  решение двойственной  задачи  с  помощью  теорем  двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:



Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у₃ = 0

Так как х₂ ≠ 0 и х₃ ≠ 0, то получаем систему уравнений:



Решение системы: y₁=2/9, y₂=5/3, y₃=0.



3)   В   прямой   задаче   Х₁=0,   так   как  при   достаточно  высоких  затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

4)  а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у₂ = 5/3) является наибольшей.

б) При увеличении запасов сырья I вида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит:

2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед.

И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед.
Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:



То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид:

X₁=0      X₂=11     X₃=20         max f(x) = 395 (ден.ед)

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:



Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (∆ = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль.
Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно.
Задача 4.
     Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице





Требуется:

1)      Проверить наличие аномальных наблюдений.

2)      Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3)      Построить адаптивную модель Брауна Ŷ(t)=a₀ +a₁ k с параметром сглаживания α=0,4 и α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

4)      Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5)      Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6)      По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).

7)      Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

     Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение
1) Методом Ирвина проверим анамальность ряда, где λ должна быть ≥1,6 для нормального ряда.

где  среднеквадратическое отклонение рассчитывается с использованием формул:

Построим следующий ряд:
 



Анамальных наблюдений во временном ряду нет.
2)   Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t

Параметры а₀ и а₁ можно найти методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:



А также с использованием настройки MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:



Затем используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных»


Средствами MS Excel получена следующая линейная модель: Y_p(
t) = 1,85 t + 10,30
 Построим график эмпирического и смоделированного рядов:


 
3) Это значение сравнивается с фактическим уровнем и  полученная ошибка прогноза:



используется    для     корректировки    модели.     Корректировка    параметров осуществляется по формулам:


а)   Примем   а = 0,4,   тогда   В   качестве   начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6;  а₁ = 1,4.

Расчет проведем с помощью MS Excel в результате получим следующую таблицу:

t	y(t)	ao(t)	a1(t)	yp(t)	e(t)
0		11,6	1,4
1	12	12,09	0,76	13	-1
2	15	14,226	2,7165	12,85	2,15
3	16	16,08483	1,858825	16,9425	-0,9425
4	19	18,90493	2,820104	17,94365	1,05635
5	17	17,42525	-1,47968	21,72503	-4,72503
6	20	19,6351	2,209849	15,94558	4,054423
7	24	23,80605	4,170944	21,84495	2,155049
8	25	25,26793	1,461883	27,97699	-2,97699
9	28	27,88568	2,617754	26,72981	1,270188

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:



б)   Примем    а = 0,7,   тогда    .   В    качестве   начальных параметров модели возьмем, исчисленные в линейной модели: а₀ = 11,6;  а₁ = 1,4. Получим следующую таблицу:

t	y(t)	ao(t)	a1(t)	yp(t)	e(t)
0		11,6	1,4
1	12	12,09	0,49	13	-1
2	15	14,7822	2,6922	12,58	2,42
3	16	16,1327	1,350496	17,4744	-1,4744
4	19	18,86349	2,73079128	17,48319	1,516808
5	17	17,41349	-1,45000221	21,59428	-4,59428
6	20	19,63671	2,223228387	15,96348	4,036517
7	24	23,80739	4,170681309	21,85994	2,140058
8	25	25,26803	1,460632081	27,97808	-2,97808
9	28	27,88558	2,617552457	26,72866	1,271341

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по модели:


            

Таким образом, лучшей является модель Брауна с параметром а =0,4.
4)      Оценим адекватность построенной модели также используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:





Так как сумма Ет =0.004 = 0 то гипотеза Но:М(е)=0 подтверждается.
·        Условие случайности отклонений от тренда. Рассчитаем критическое число поворотных точек по формуле:



Так как для данной модели р = 6 > 2, то условие выполнено.
·        Условие наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях. Рассчитаем статистику Дарбина-Уотсона (
d- статистику) по формулам:

                                                  



Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и  d_2kp=1,36;

d и d'>1,36 поэтому уровни остатков не зависимы
·        Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения. Рассчитаем RS - критерий:



S_e=((9*(I11-H11^2)/72)^0,5)=1,2685

=(1,294-(-2,556))/1,2685=3,04

(2,7;3,7), т.е. 3,04(2,7;3,7), значит модель адекватна.
5)  Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:



6) Строим прогноз по построенным моделям:

точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k:
t =
n+
k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста -экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:



Точечный прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1=10,30+1,85(9+1)=28,806

Y_n+2=10,30+1,85(9+2)= 30,656
Учитывая, что модель плохой точности будем прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

Доверительный интервал:
Критерий Стьюдента (при доверительной  вероятности  р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119




7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу: