Контрольная работа Контрольная работа по Высшей математике
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
федеральное агентство по образованию
ростовский институт (филиал)
государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"российский государственный торгово-экономический университет"
Кафедра высшей и прикладной математики
Контрольная работа № 1
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант № 0
Выполнил: Афонин В.П.
студент 2-го курса, группы УТ,
заочной формы обучения.
Преподаватель:______________
Ростов-на-Дону
План работы
План работы.... 2
Задача 1. 2
Задача 2. 2
Задача 3. 2
Задача 4. 2
Задача 5. 2
Задача 6. 2
Задача 7. 2
Задача 8. 2
Задача 9. 2
Задача10. 2
Использованная литература.. 2
Задача 1.
Вычислить пределы функций а) - е):
а)
в)
д)
Решение
а)
Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего - сократим. Получим:
Устремим х к ∞, получим|
Ответ:
б)
Ответ:
в)
г)
Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения
Уравнение
Таким образом:
Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя
так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6
Ответ:
д)
Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения
1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:
2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя
Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:
Ответ:
е)
Решение.
замена переменной
используем второй замечательный предел
Ответ:
Задача 2.
Вычислить производные функции а)-г).
а)
в) у = (sinx) • e2x• ln(sinx); г) у =(sinx)lnx.
Решение
а)
и формулу производной степенной функции:
Ответ:
.б)
Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу
Ответ:
в) у = (sinx) • e2x• ln(sinx);
Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e2x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:
(u·v·w) '=u'·(vw)+u· (vw)'=u'vw+u· (v'·w+v·w')
Следовательно,
(uvw)'=u'· v·w+u·v'·w+u·v·w'
Далее используя формулу производной сложной функции
Получаем:
Ответ:
г) у =(sinx)lnx
Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=elny, представим y(x) в виде y(x)=(eln(sinx))lnx . Так как (ab)c=abc, то y(x)= e lnx ln(sinx). и поэтому
В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx)lnx= e lnx ln(sinx).
Ответ:
Задача 3.
а). Исследовать функцию у(х)=2
x
3
- 9
x
2
+ 12
x
- 5.
Решение
1). Так как 2x
3
- 9
x
2
+ 12
x
- 5— многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся — числовая прямая: D(y)=(–∞;+∞).
2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку
y(1)=0; y(–1)=–28; у(–1)≠у(1); y(1)≠y(-1).
3). Заметим, что при х→+∞ и при х→–∞ поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х3, который неограниченно возрастает при х→+∞ и неограниченно убывает при х→–∞. Поэтому
Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и
4). у(0) = -5 → A(0; -5) — точка пересечения графика с осью Оу.
Для определения точек пересечения графика с осью Оx решим уравнение
у(х)=0 ↔ 2x3 - 9x2 + 12x - 5=0 ↔ x•(2х2 + 15x + 24) = 0;
Методом подбора определяем корень уравнения х1=1.
Разделим многочлен на многочлен x
-1
-1
- 7x2 +12х
- 7x2 +7х
5x – 5
5x – 5
0
2x2 - 7x + 5= 0,
D=b2–4ac=-72–4•2•5=49- 40=9
Точки пересечения с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0),
5). Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции у(х):
у'(х)=(2x3 - 9x2 + 12x - 5)´,
у'(х)=6x2 - 18x + 12 ,
у'(х)=x2 - 3x + 2 ,
и решаем уравнение у'(х)=0:
x2 - 3x + 2 = 0, критические точки х1= 1, x2= 2.
Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:
| x | (–∞;1) | 1 | (1;2) | 2 | (2; +∞) |
| y' | + | 0 | – | 0 | + |
| y | | Максимум | | Минимум | |
Итак, функция возрастает при х
6). Используя пункт 3), получаем, что множество значений функции Е(y) — вся числовая прямая, Е(у) = (—∞; +∞).
7). Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем её к нулю:
у''(х)= (у'(х))'=(x2 - 3x + 2)'=2х-3
у"(х)=0 ↔ 2х - 3= 0 ↔ х=3/2=1,5.
Для определения знаков второй производной подставляем в неё числа из промежутков
| x | (–∞; | | ( |
| y'' | – | 0 | – |
| y | Выпуклость вверх | Перегиб | Выпуклость вниз |
Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке:
у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgα=1,5. Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.
8). На этом исследование функции закончено и остаётся лишь вычислить её значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.
б
). Исследовать функцию
Решение
1). Так как D 2(х - 6)2 = R и D(
всей числовой прямой.
2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку
g(1)=
g(-1) =
3)
Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и
4). Так как g(0)=2(0-6)2•
Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2•(x-6)2•
(x-6)2 = 0; D=144-144=0; x=6.
График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к.
5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.
Для определения критических точек функции решим уравнение
g(х)=0 ↔ –(х2 + 5х + 4) • е-1/2(x+3)=0 ↔ х2 + 5х + 4 = 0;
критичαеские точки — х1 = 6, x2 = 2.
| x | (–∞;2) | 2 | (2;6) | 6 | (6; +∞) |
| g' | + | 0 | – | 0 | + |
| g | | 32/e2 Максимум | | 0 Минимум | |
Локальный максимум— g(2)= 2•(2-6)2•
g(6)= 2•(6-6)2•
6). Используя пункты 3) - 5), получаем, что Е(у)=(0;+∞). ´ββ
7). Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.
| x | (–∞; | ( | ( | | ( |
| g' | + | 0 | – | 0 | + |
| g | Выпуклость вниз | Перегиб | Выпуклость вверх | Перегиб | Выпуклость вниз |
Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:
Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:
9). Строим график функции.
Задача 4.
Вычислить неопределённые интегралы а) - г):
а)
б)
в)
г)
Решение
a)
Сделаем подстановку
Ответ:
б)
Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям по формуле:
В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда
Ответ:
в)
Найдем корни уравнения
Представим дробь в виде следующей суммы:
и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю:
Приравняв числители, получим
Подставляя в последнее равенство х = 5, находим, что
5 = А(5 – 5) +B(5+7) ↔ 5 = B • (12) ↔ B= 5/12.
Подставляя х=-7 в равенство (2), находим, что
-7 = A(-7–5) +B(-7+7) ↔ -7=A • (-12) ↔ А = 7/12.
Таким образом,
Итак,
Ответ:
г)
Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах2 + bх + с двучлена отрицателен, D=b2—4ас<0, справедливо равенство:
Для вычисления интеграла
Отсюда,
Вычислим получившиеся интегралы по отдельности.
1)
2)
Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:
Ответ:
Задача 5.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
g
(х)=3х+4 и
f
(х) = -3х2
+21
x
-11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости.
Решение
Графиком функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:
Графиком функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).
Найдём точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)
-3х2+21x-11= 3x+4 ↔ -3х2+ 18х -15 = 0 ↔ х2- 6х + 5 = 0
Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19.
Пусть S — площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)≥ g(х) при х
Ответ: 32 кв.ед
Задача 6.
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
1). Преобразуем уравнение к виду
2)
Графиком частных решений данного уравнения является множество парабол с общей вершиной в точке А(-1;0)
Положив С1=1, и С2=-1 построим графики двух частных решений
y1=(x+1)2,
y2= -(x+1)2,
Ответ:
Задача 7.
Найти частное уч.(х) решение дифференциального уравнения у'
cosx
+
у
sinx
=2, удовлетворяющее (начальному) условию: уч(
Решение.
1). Разделим обе части уравнения на cosx:
Подставляя вместо у произведение двух функций y=uv, y'=u'v+uv'
получаем уравнение:
2). Найдём теперь какую-нибудь функцию u для которой выполняется равенство
Для этого найдём частное решение дифференциального уравнения
Если функции равны, то и неопределённые интегралы от них равны:
Так как нам нужно найти частное решение, полагаем С=0, т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций:
ln u= ln cos x ↔ u= cos x.
3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим
Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределённому интегралу от собственной производной, то
у=u•v =cosx•(2•tgx + C) = cosx•
Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
у=2•sinx+C•cosx.
4). Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределённой постоянной С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что уч=2 при
2=2•sinπ+C•cosπ; памятуя, что sinπ=0 и cosπ=-1, получаем:
2=2•0-C;
Отсюда С=-2. Подставляя найденное значение неопределённой постоянной, получаем частное решение уч.=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче.
Ответ: у=2•sinx+C•cosx – общее решение,
уч.=2(sinx-cosx) – частное решение
Задача 8.
Найти частное решение дифференциального уравнения
y
''–
у'–6
y
=2
sin
2
x
–10
cos
2
x
, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2, у'(0) = 3.
Решение.
1). Уравнение вида у" + bу' + су =0, где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уоo.(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b2 — 4aс характеристического уравнения k2 + bk + с =0
В нашем случае характеристическое уравнение: k2 —k — 6=0.
D=1+24=25>0
Так как D>0 используем формулу уо.о.=С1еαх + С2еβх, , где k=α, k=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения. В нашем случае: α=3, β=-2. Общее решение однородного уравнения:
уoo (х)= С1е3х + С2е-2х
2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x–10cos2x и k2+22≠ k2 —k — 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
уч(х) = Аcos2x + Вsin2x + С,
у'ч.(x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x,
у"ч.(х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,.
Подставляя у = уч.(x) в данное в задаче уравнение, получаем:
-4Аcos2х - 4Вsin2x + 2Аsin2х - 2Вcos2x - 6Аcos2x - 6Вsin2x = 2sin2x–10cos2x
cos2х(-4А - 2В - 6А) +sin2x(- 4В + 2А- 6В) = 2sin2x–10cos2x,
cos2х(-10А - 2В) +sin2x(2А- 10В) = 2sin2x–10cos2x,
Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим:
Отсюда уч.(x)=cos2x, поэтому так, как уо.н.(х) = уoo (х) + уч.(x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид уо.н.(х) = С1е3х + С2е-2х + cos2x.
3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:
у(0) = 2 → C1e0 + С2е0 + cos 0 = 2 => С1 • 1 + С2 • 1 = 1, => С1 + С2 = 1,
у'(x) = 3С1е3х -2С2е-2х – 2sin2x.
у'(0) = 3C1 е0 -2C2 е0 -2sin 0= 3 → 3C1 - 2C2 - 0= 3 => 3C1 - 2C2=3.
Ответ: у (х) = ех cos 2x + ½ еx sin2x + х2.
Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 • е3х + 0 • е-2х + cos2x= е3х + cos2x.
Ответ: у(х) = е3х + cos2x.
Задача 9.
Исследовать сходимость ряда
Решение.
Используем признак Даламбера. Если существует предел
В нашем случае
так как q = ∞ > 1, то ряд расходится.
Ответ: Так как
q
>
1, то ряд расходится.
Задача10.
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
Решение.
Каждый степенной ряд
Определяем радиус сходимости:
Так как с = -2; с–R=–2–1,5=–3,5; с+R==–2+1,5=–0,5, находим интервал сходимости: (–3,5; –0,5).
Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:
При x=-0,5 ряд имеет вид:
Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5
Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5].
Использованная литература
1. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.
2. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть 1. М.: изд. МГУК, 1998.
3. Карасев А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1982.
4. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
5. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.
6. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1986.
7. Шипачев B.C. Задачник по высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.
