Задача 1. (статистические величины)

Условие: Среднегодовая численность населения области в отчетном году составляла 2540,7 тыс. чел. Из них занятно в экономике 926,2 тыс. чел. (в предыдущем году было занятно 957,1 тыс. чел. При общей численности населения 2518,1 тыс. чел.), безработные составили 25,4 тыс. чел. Среди безработных лица с высшим образование 3,0 тыс. чел., молодежь в возрасте от 16 до 29 лет – 78 тыс. чел., женщины 18,4 тыс. чел.

1. 
   Представьте исходные данные в форме статистической таблицы.
   
2. 
   Определите относительные величины динамики:
   

А) для всего населения области;

Б) для населения, занятого в экономике;

В) сделайте выводы, сравнивая показатели динамики.

3. 
   Определите относительные величины интенсивности для занятого населения области для каждого года. Сделайте выводы.
   
4. 
   Определите относительные величины координации для занятого населения области для каждого года. Сделайте выводы.
   

Решение:

1. 
   Представим данные задачи в форме статистической таблицы.
   

Таблица 1

Исходные данные по области, тыс. чел.

Показатель	Базисный год	Отчетный год
Среднегодовая численность населения, в т. ч. занятые в экономике	2 518,1 957,1	2 540,7 926,2

2. 
   Относительные величины динамики характеризуют изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Относительные величины динамики вычислим по формулам:
   

, (1)

где Y – значение исследуемого показателя.

; (2)

; (3)

. (4)

Рассчитаем относительные величины динамики для всего населения области.

.

.

.



Рассчитаем относительные величины динамики для населения, занятого в экономике.

.

.

.



Таким образом, население области за год увеличилось на 0,9%, а количество занятых в экономике снизилось за этот период на 3,2%.

3. 
   Определим относительные величины интенсивности для занятого населения области по формуле:
   

(5)

Для базисного года:



Для отчетного года:



Значит, в базисном году количество занятых в экономике приходилось 380 человек на каждую тысячу жителей; а в отчетном периоде – 365 человек на каждую тысячу жителей.

4. 
   Определим относительные величины координации для занятого населения области по формуле:
   

(6)
Для базисного года:



Для отчетного года:



Таким образом, в базисном году на 100 человек, занятых в экономике, приходилось 163 неработающих человека, в отчетном году – уже 174 человека.
Задача 2. (выборка)

Условие: Для оценки уровня жизни населения региона проведен 5% опрос. В результате установлено:

Таблица 2

Исходные данные

Группы населения по уровню среднедушевого дохода (в минимальных размерах оплаты труда)	Численность, чел.
До 2	150
2 – 4	650
4 – 6	850
6 – 8	340
8 – 10	80
10 -12	70
12 и более	60

Определите:

1. 
   Общий среднедушевой доход населения (в размерах минимальной оплаты труда);
   
2. 
   Долю населения со среднедушевым доходом в 12 и более минимальных оплат труда;
   
3. 
   С вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать величину общего среднедушевого дохода, а также долю наиболее обеспеченного населения (12 и более минимальных оплат труда).
   

Сделайте выводы.
Решение:

1. 
   Определим среднедушевой доход населения. Промежуточные расчеты представим в таблице 3.
   

Таблица 3

Промежуточные расчеты

Группы населения по уровню среднедушевого дохода	Численность, чел.	Середина интервала
До 2	150	1	150
2 – 4	650	3	1 950
4 – 6	850	5	4 250
6 – 8	340	7	2 380
8 – 10	80	9	720
10 - 12	70	11	770
12 и более	60	13	780
Итого	2 200		11 000

Среднедушевой доход определим по формуле:

. (7)

.

Таким образом, среднедушевой доход населения составляет 5 минимальных размеров оплаты труда.

2. 
   Рассчитаем долю населения со среднедушевым доходом в 12 и более минимальных оплат труда по формуле:
   

; (8)

где m – количество единиц, обладающих изучаемым признаком;

n – общая численность единиц выборочной совокупности.

.

Доля населения со среднедушевым доходом в 12 и более минимальных оплат труда составляет 2,73%.

3. 
   Рассчитаем пределы, в которых можно ожидать величину общего среднедушевого дохода.
   

Сначала рассчитаем дисперсию исследуемого признака – в нашем примере МРОТ.

Таблица 4

Промежуточные вычисления

Группы населения по уровню среднедушевого дохода	Численность, чел.	Середина интервала
До 2	150	1	-4	16	2 400
2 – 4	650	3	-2	4	2 600
4 – 6	850	5	0	0	0
6 – 8	340	7	2	4	1 360
8 – 10	80	9	4	16	1 280
10 - 12	70	11	6	36	2 520
12 и более	60	13	8	64	3 840
Итого	2 200				14 000

Дисперсия выборочного признака рассчитывается по формуле:

. (9)

.

Определим численность жителей региона (генеральную совокупность):

44 000 чел.

Установим среднюю ошибку выборки, пользуясь формулой для бесповторного отбора:

(10)

.

Установим предельные значения для характеристик генеральной совокупности, учитывая, что вероятности 0,954 соответствует значение коэффициента доверия t=2.

Пределы, в которых можно ожидать величину общего среднедушевого дохода составят:

. (11)

Таким образом,

;



величина среднедушевого дохода в области составляет от 4,9 до 5,1 минимального размера оплаты труда.

Установим среднюю ошибку выборки для выборочной доли наиболее обеспеченного населения – более 12 МРОТ, по формуле:

, (12)

,

т.е. средняя ошибка выборки для доли наиболее обеспеченных жителей области составляет 0,11%.

Определим пределы, в которых можно ожидать долю наиболее обеспеченного населения области по формуле:

. (13)

Значит, , или

доля наиболее обеспеченных жителей области (со среднедушевым доходом 12 и более минимальных размеров оплат труда) находится в пределах от 2,51% до 2,95%.
Задача 3. (ряды динамики)

Условие: Имеются данные об интенсивности заболеваемости с временной утратой трудоспособности на заводе (дней на 100 работающих).

Таблица 5

Исходные данные

Месяц	Заболеваемость
Январь	104,90
Февраль	99,24
Март	106,45
Апрель	86,73
Май	81,79
Июнь	78,51
Июль	78,33
Август	74,54
Сентябрь	91,33
Октябрь	109,13
Ноябрь	100,56
Декабрь	115,40

Для оценки уровня сезонности

1. 
   Определите индексы сезонности заболеваемости на 100 чел. работающих;
   
2. 
   Выделите важнейшие колебательные процессы методом гармонического анализа;
   
3. 
   Используя полученные результаты, составьте прогноз интенсивности заболеваемости по месяцам следующего года.
   

Решение:

1. 
   Индекс сезонности определим по формуле:
   

; где (14)

– фактические данные месяца о заболеваемости;

– среднегодовое количество дней утраты трудоспособности на 100 чел. работающих.

(15)


Индексы сезонности представим в таблице.

Таблица 6

Индексы сезонности

Месяц	Заболеваемость, дней на 100 чел.	Индекс сезонности
Январь	104,9	1,12
Февраль	99,24	1,06
Март	106,45	1,13
Апрель	86,73	0,92
Май	81,79	0,87
Июнь	78,51	0,84
Июль	78,33	0,83
Август	74,54	0,79
Сентябрь	91,33	0,97
Октябрь	109,13	1,16
Ноябрь	100,56	1,07
Декабрь	115,4	1,23

2. 
   Моделью периодически изменяющихся уровней служит ряд Фурье, аналитическое выражение которого применительно к динамике имеет следующий вид:
   

. (16)

Построим модель сезонных колебаний заболеваемости по первой гармонике (k=1) ряда Фурье.

Параметры уравнения вычисляются методом наименьших квадратов:

; (17)

; (18)

. (19)

Для изучения специфического периодического явления – сезонности берется n=12 по числу месяцев в году.

Представим расчет сезонной модели в таблице.
Таблица 7

Расчет модели сезонности

месяц	t	y	cos t	sin t	y cos t	y sin t
1	0	104,9	1,000	0,000	104,9	0,0
2		99,24	0,866	0,500	85,9	49,6
3		106,45	0,500	0,866	53,2	92,2
4		86,73	0,000	1,000	0,0	86,7
5		81,79	-0,500	0,866	-40,9	70,8
6		78,51	-0,866	0,500	-68,0	39,3
7		78,33	-1,000	0,000	-78,3	0,0
8		74,54	-0,866	-0,500	-64,6	-37,3
9		91,33	-0,500	-0,866	-45,7	-79,1
10		109,13	0,000	-1,000	0,0	-109,1
11		100,56	0,500	-0,866	50,3	-87,1
12		115,4	0,866	-0,500	99,9	-57,7
ИТОГО					96,9	-31,7

Тогда параметры модели сезонных колебаний будут равны:

; ; .

А модель запишем в виде:

.

3. 
   Составим прогноз интенсивности заболеваемости по месяцам следующего года, используя модель сезонности , и представим прогнозные значения в таблице.
   

Таблица 8

Прогноз заболеваемости на заводе на следующий год

№ месяца	Месяц	Заболеваемость, дней на 100 чел., прогноз
13	январь	110,1
14	февраль	105,2
15	март	97,4
16	апрель	88,6
17	май	81,3
18	июнь	77,3
19	июль	77,8
20	август	82,6
21	сентябрь	90,4
22	октябрь	99,2
23	ноябрь	106,6
24	декабрь	110,5

Задача 4. (структура)

Условие: Имеются данные о производстве продукции сельского хозяйства в области (млн. руб., в сопоставимых ценах).

Таблица 9

Исходные данные

Категории хозяйств	Растениеводство		Животноводство
	Базисный год	Отчетный год	Базисный год	Отчетный год
Сельскохозяйственные предприятия	525,2	428,2	1 089,7	637,8
Личные подсобные хозяйства	230,1	233,1	428,2	451,4
Фермерские (крестьянские хозяйства)	1,5	11,1	12,6	6,4
ИТОГО (хозяйства всех категорий)	756,8	672,4	1 530,5	1 095,6

1. 
   Определите структуру производства по категориям хозяйств отдельно по каждой отрасли и каждому году.
   
2. 
   Рассчитайте отраслевые характеристики интенсивности структурных изменений (индекс структурных изменений Салаи и индекс Гатева) для каждой отрасли сельскохозяйственного производства.
   

Решение:

1. 
   Определим структуру производства отрасли – растениеводства по двум годам.
   

, где d – доля категории хозяйств. (20)

Структуру производства отрасли растениеводства представим в таблице.

Таблица 10

Структура отрасли - растениеводство

Категории хозяйств	Растениеводство
	Базисный год		Отчетный год
	млн. руб.	%	млн. руб.	%
1.   Сельскохозяйственные предприятия	525,2	69,4%	428,2	63,7%
2.   Личные подсобные хозяйства	230,1	30,4%	233,1	34,7%
3.   Фермерские (крестьянские хозяйства)	1,5	0,2%	11,1	1,6%
ИТОГО (хозяйства всех категорий)	756,8	100,0%	672,4	100,0%

Структуру производства отрасли животноводства представим в таблице.

Таблица 11

Структура отрасли - животноводство

Категории хозяйств	Животноводство
	Базисный год		Отчетный год
	млн. руб.	%	млн. руб.	%
1.   Сельскохозяйственные предприятия	1 089,7	71,2%	637,8	58,2%
2.   Личные подсобные хозяйства	428,2	28,0%	451,4	41,2%
3.   Фермерские (крестьянские хозяйства)	12,6	0,8%	6,4	0,6%
ИТОГО (хозяйства всех категорий)	1 530,5	100,0%	1 095,6	100,0%

2. 
   Интегральный коэффициент Гатева рассчитывается по формуле:
   

; (21)

Индекс структурных сдвигов Салаи рассчитывается по формуле:

. (22)

Представим промежуточные вычисления коэффициента Гатева и индекса структурных сдвигов Салаи для растениеводства в расчетной таблице.

Таблица 12

Расчетные данные по отрасли - растениеводство

Категории хозяйств
1.   Сельхоз. предприятия	0,694	0,637	-0,057	1,331	0,003	0,406	0,482	-0,043	0,002
2.   Личные хозяйства	0,304	0,347	0,043	0,651	0,002	0,120	0,092	0,066	0,004
3.   Фермерские хозяйства	0,002	0,016	0,015	0,018	0,000	0,000	0,000	0,786	0,617
Сумма					0,005	0,526	0,574		0,623

Тогда,

;

.

Можно сделать вывод, что в растениеводстве произошли средние структурные сдвиги.

Представим промежуточные вычисления коэффициента Гатева и индекса структурных сдвигов Салаи для животноводства в расчетной таблице.

Таблица 13

Расчетные данные по отрасли - животноводство

Категории хозяйств
1.   Сельхоз. предприятия	0,712	0,582	-0,130	1,294	0,017	0,339	0,507	-0,103	0,010
2.   Личные хозяйства	0,280	0,412	0,132	0,692	0,017	0,170	0,078	0,191	0,037
3.   Фермерские хозяйства	0,008	0,006	-0,002	0,014	0,000	0,000	0,000	-0,170	0,029
Сумма	1,000	1,000			0,034	0,509	0,585		0,075

Тогда,

;

.

В животноводстве за прошедший год произошли незначительные структурные изменения.
Задача 5 (индексы)

Условие: Имеются данные о ценах и количестве проданных товаров:

Таблица 14

Данные о продажах

Вид товара	Единица измерения	Цена за единицу, руб.		Реализовано, тыс. ед.
		Предыдущий период	Отчетный период	Предыдущий период	Отчетный период
Мясо	Кг	16 000	20 000	600	500
Молоко	Л	2 000	2 500	800	900

Определите:

1. 
   Общий (агрегатный) индекс цен.
   
2. 
   Общий (агрегатный) индекс физического объема товарооборота.
   
3. 
   Общий (агрегатный) индекс стоимостного объема товарооборота.
   

Сделайте выводы и покажите взаимосвязь индексов.

Решение:

1. 
   Агрегатный индекс цен рассчитывается по формуле:
   

; где (23)

0 – предыдущий период,

1 – отчетный период,

р – цена;

q – количество продукции.

2. 
   Агрегатный индекс физического объема товарооборота рассчитывается по формуле:
   

. (24)

3. 
   Агрегатный индекс стоимостного объема товарооборота рассчитывается по формуле:
   

. (25)



За рассматриваемый период цены на молоко и мясо в целом выросли на 25%, а количество продаваемых товаров снизилось на 12,5 %. Выручка в отчетном периоде выросла на 9%.

Покажем взаимосвязь индексов.

. (26)