МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В Г. ТОБОЛЬСКЕ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № _____
ПРЕДМЕТ: «ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ»

(Вариант 9)


Выполнила: Рахматуллина Регина М.

Проверила: Ауль Лариса Александровна

№ зачетной книжки: 09253550

№ группы: 2513

Домашний адрес: 10-39-19
Тобольск, 2009

Задача 1

При 1% выборочном обследовании фермерских хозяйств (отбор случайный, бесповторный) были получены следующие данные:

№ фермерского хозяйства	Суточный удой от 1 коровы, литров	Удельный вес концентрированных кормов, %
1	11,4	28
2	11,5	23
3	12,4	22
4	12,5	25
5	12,6	27
6	12,7	18
7	12,8	20
8	13	18
9	13,1	13
10	13,2	18
11	13,3	17
12	13,4	15
13	13,5	20
14	13,5	25
15	13,5	26
16	13,8	23
17	13,9	22
18	13,9	20
19	14,1	12
20	14,1	23
21	14,4	27
22	14,5	26
23	14,5	28
24	14,6	27
25	15,0	26

Проведите статистический анализ полученных данных. Для этой цели:

I. 1. Постройте статистический ряд распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы за год, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.

2.Рассчитайте характеристики ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы: среднюю арифметичес­кую, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое откло­нение, дисперсию, коэффициент вариации. При расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения примени­те способ моментов. Сделайте выводы.

II. 1. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки средне­суточного удоя от 1 коровы и границ, в которых будет находиться средний удой от 1 коровы в генеральной совокупности.

2. С вероятностью 0,954 определите ошибку доли фермерских хозяйств, в которых суточный удой превышает 14 литров молока, и границы, в которых будет находиться эта доля в генеральной сово­купности. Сделайте выводы.

III. 1. Методом аналитической группировки установите характер связи между удельным весом концентрированных кормов и суточным удоем от 1 коровы. Результаты оформите в таблице. Сделайте выводы.

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между удельным, весом концентрированных кормов и суточным удоем от 1 коровы эмпирическим корреляционным отношением. Поясните его смысл.

3. Вычислите параметры линейного уравнения связи между удельным весом концентрированных кормов и суточным удоем от 1 коровы. Поясните смысл коэффициента регрессии.

4. Рассчитайте теоретическое корреляционное отношение, пояс­ните его смысл.

5. Сравните результаты анализа связи методом аналитической груп­пировки и регрессионно-корреляционным методом. Сделайте выводы.

Решение.

1. 
   1) Определим размер интервала: = ;
   

где – величина интервала,, - максимальное и минимальное значение интервала в совокупности, n- число групп.

n = 4 =15 = 11, 4

Группируем хозяйства:

№	Группы фермерского хозяйства по суточному удою от одной коровы х	Число фермерских хозяйств (частота) f	Сумма удоя, ц	Средний удой на 1 корову, ц	Сумма расходов на корма, ц	Средний расход кормов, ц
1	[11,4,12,3]	2	22,9	11,45	51	25,50
2	(12,3; 13,2]	8	102,3	12,79	161	20,13
3	(13,2; 14,1]	10	137	13,70	203	20,30
4	(14,1; 15]	5	73	14,60	134	26,80
	Итого	25

По полученным данным строим график ряда распределения:



2) Характеристики ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы:

1. 
   Среднее арифметическое отклонение с применением способа моментов. Данный метод называется так же методом расчета от условного нуля. Этот способ расчета находит отражение в следующей формуле: , где - арифметическое отклонение;
   

- сумма вариантов;

- сумма частот;

– какое либо произвольное число;

– произвольное постоянное число в качестве «условного нуля».

Так как в нашем случае данные представлены в виде интервального ряда распределения, то принцип расчета средней остается прежним, но предварительно вычисляется среднее значение признака для каждого интервала, представляющее полусумму нижнего и верхнего значений интервала: , где – нижняя граница интервала; – верхняя граница интервала.

Вычислим среднее значение признака для каждого интервала:

№	х
1	11,4-12,3	11,85	2
2	12,3-13,2	12,75	8
3	13,2-14,1	13,65	10
4	14,1-15	14,55	5

В качестве условного нуля выбирается произвольное постоянное число . Обычно это вариант ряда с наибольшей частотой =10, поэтому .

Покажем расчет средней арифметической способом моментов (по данным выработки):

№				(c=0,9)	(k=2)
1	11,85	2	-1,8	-2	1	-2
2	12,75	8	-0,9	-1	4	-4
3	13,65	10	0	0	5	0
4	14,55	5	0,9	1	2,5	2,5
		25			12,5	-3,5

Воспользуемся формулой: :

=-3,5/12,5*0,9+13,65=13,398 - среднее арифметическое отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы.

2. 
   Среднее линейное отклонение, находится по формуле: - для сгруппированных данных (взвешенное отклонение).
   

Исчислим среднее линейное отклонение взвешенного (по данным выборки):

№
1	11,85	2	1,548	3,096
2	12,75	8	0,648	5,184
3	13,65	10	0,252	2,52
4	14,55	5	1,152	5,76
		25	3,6	16,56

- взвешенное среднее линейное отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы.

3. 
   Среднее квадратическое отклонение с применением способа моментов, находится по формуле: - взвешенное среднее квадратическое отклонение.
   

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии, так как среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии: - дисперсия взвешенная.
Покажем расчет дисперсии по способу моментов (по данным выборки):

№				( =0,9)	(k=2)
	1	2	3	4	5	6	7	8

1	11,85	2	-1,8	-2	1	-2	4	4
2	12,75	8	-0,9	-1	4	-4	1	4
3	13,65	10	0	0	5	0	0	0
4	14,55	5	0,9	1	2,5	2,5	1	2,5
		25			12,5	-3,5		10,5

Поясним расчеты. Воспользуемся тем, что уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину не изменяет дисперсии. Применяя это свойство, можно исчислить дисперсию не по заданным вариантам, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа. В рядах распределения с равными интервалами за постоянное число принято брать варианту ряда с наибольшей частотой (расчеты см. п. а) среднеарифметическое отклонение). Отнимая это число от каждой варианты, получим значения признака, представленные в гр. 3 табл. Отклонение от постоянной условной варианты в третьей группе равно нулю.

Используя третье свойство дисперсии, уменьшим все варианты и частоты в несколько раз. Для всех вариант кратным числом является величина интервала ( =0,9), а для всех частот кратным является число (k=2). Разделив на 0,9, получим упрощенные значения признака, приведенные в гр. 4. Разделив на 2, получим упрощенные значения частот, приведенные в гр. 5. Используя оба свойства дисперсии и воспользовавшись формулой , получим следующую формулу для расчета дисперсии: , или в развернутом виде:

Исчислим дисперсию:



- дисперсия ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы.

Среднее квадратическое отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы: .

4. 
   Найдем коэффициент вариации, который находится по следующей формуле: ν
   

Подставим значения в формулу:

ν - коэффициент вариации ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы.

Выводы:

13,398 - среднее арифметическое отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы;

- взвешенное среднее линейное отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы;

- дисперсия ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы;

- среднее квадратическое отклонение ряда распределения фермерских хозяйств по суточному удою от 1 коровы;

ν <33%÷44% - разброс значений признака вокруг средней однороден.

2. 
   1) Средний удой 1 коровы по выборке составляют 13,4л, коэффициент вариации менее 30%, следовательно, выборка однородная.
   

Ошибка:

Границы, в которых будет находиться средний удой от 1 коровы за год в генеральной совокупности:



2) Доли фермерских хозяйств, в которых суточный удой превышает 14 литров молока составляет:

7/25*100=28%

Границы доли:



Вывод: доли фермерских хозяйств, в которых суточный удой превышает 14 литров молока составляет 28%, с вероятностью 0,954 эта доля в генеральной совокупности будет находится в пределах от 27,69% до 28,31%.

3. 
   1) При выполнении группировки хозяйств по среднему удою мы также провели расчет среднего расхода кормов, как мы видим из таблицы, при росте затрат на корма, увеличивается и удой, то есть связь пропорциональная.
   

2) Эмпирическое корреляционное отношение:



3) Межгрупповая дисперсия результативного признака (удоя)



Дисперсия первой группы 0,005

Дисперсия второй группы 0,084

Дисперсия третьей группы 0,088

Дисперсия четвертой группы 0,055

Средняя внутригрупповая дисперсия



Общая дисперсия

0,23+0,07= 0,3

Эмпирическое корреляционное отношение



Показатель близок к 1, то есть значительная часть вариации результативного признака зависит от вариации факторного признака.

Строим уравнение регрессии с использованием метода наименьших квадратов.

х	у	х*х	х*у	у*у
28	11,4	784	319,2	129,96
23	11,5	529	264,5	132,25
22	12,4	484	272,8	153,76
25	12,5	625	312,5	156,25
27	12,6	729	340,2	158,76
18	12,7	324	228,6	161,29
20	12,8	400	256	163,84
18	13	324	234	169
13	13,1	169	170,3	171,61
18	13,2	324	237,6	174,24
17	13,3	289	226,1	176,89
15	13,4	225	201	179,56
20	13,5	400	270	182,25
25	13,5	625	337,5	182,25
26	13,5	676	351	182,25
23	13,8	529	317,4	190,44
22	13,9	484	305,8	193,21
20	13,9	400	278	193,21
12	14,1	144	169,2	198,81
23	14,1	529	324,3	198,81
27	14,4	729	388,8	207,36
26	14,5	676	377	210,25
28	14,5	784	406	210,25
27	14,6	729	394,2	213,16
26	15	676	390	225
549	335,2	12587	7372	4514,66

b=0,0207

а=12,253

y = 0,0207х+12,253

так как коэффициент регрессии (параметр b уравнения) положителен, то имеет место прямая корреляционная связь, коэффициент регрессии показывает, что при росте затрат на корма на 1 кг, удой возрастет на 0,0207 л.

теоретическое корреляционное отношение



Показатель менее 0,3, следовательно, корреляционная связь между показателями слабая.

Проведенный нами анализ связи методом аналитической группировки и корреляционно-регрессионным методом показал, что связь между показателями прямо пропорциональная. Однако, второй метод позволил более точно определить качество и степень связи показателей.

Задача 2

Имеются следующие данные о численности библиотек в одном из регионов:

Годы	Число библиотек
1983	1100
1984	1102
1985	1112
1986	1124
1987	1128
1988	1130
1989	1135
1990	1140
1991	1147
1992	1130
1993	1123
1994	1087
1995	1053
1996	1047
1997	1035

1.Определите вид динамического ряда.

2.Определите аналитические показатели динамики: абсолют­ный прирост, темпы роста и прироста (цепные и базисные), абсо­лютное содержание 1% прироста. Результаты расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь цепных и базисных показателей.

3. Определите динамические средние за период: средний уро­вень ряда, среднегодовой темп роста и прироста.

4. Для определения общей тенденции изменения численности биб­лиотек в регионе произведите аналитическое выравнивание и вырази­те общую тенденцию соответствующим математическим уравнением.

5. Определите выравненные (теоретические) уровни ряда дина­мики и нанесите их на график с фактическими данными.

6. Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в буду­щем, определите ожидаемую численность библиотек в регионе на ближайшие 5-7 лет. Сделайте выводы.

Решение.

ряд является моментным.

Абсолютный прирост



Темп роста цепной



Темп роста базисный



Темп прироста цепной



Темп прироста базисный



Абсолютное содержание 1% прироста



Расчеты сведем в таблицу

Дата	Уровень ряда						А
1983	1100
1984	1102	2	100,18	100,18	0,18	0,18	11,0000
1985	1112	10	100,91	101,09	0,91	1,09	11,0200
1986	1124	12	101,08	102,18	1,08	2,18	11,1200
1987	1128	4	100,36	102,55	0,36	2,55	11,2400
1988	1130	2	100,18	102,73	0,18	2,73	11,2800
1989	1135	5	100,44	103,18	0,44	3,18	11,3000
1990	1140	5	100,44	103,64	0,44	3,64	11,3500
1991	1147	7	100,61	104,27	0,61	4,27	11,4000
1992	1130	-17	98,52	102,73	-1,48	2,73	11,4700
1993	1123	-7	99,38	102,09	-0,62	2,09	11,3000
1994	1087	-36	96,79	98,82	-3,21	-1,18	11,2300
1995	1053	-34	96,87	95,73	-3,13	-4,27	10,8700
1996	1047	-6	99,43	95,18	-0,57	-4,82	10,5300
1997	1035	-12	98,85	94,09	-1,15	-5,91	10,4700

Средний уровень моментного ряда определяется по средней хронологической



Среднегодовой темп роста



Среднегодовой темп прироста



Аналитическое выравнивание проведем при помощи МНК. Для этого каждый уровень ряда пронумеруем 1, 2 … 15. Это будет параметр t.

t	у	t*t	t*у
1	1100	1	1100
2	1102	4	2204
3	1112	9	3336
4	1124	16	4496
5	1128	25	5640
6	1130	36	6780
7	1135	49	7945
8	1140	64	9120
9	1147	81	10323
10	1130	100	11300
11	1123	121	12353
12	1087	144	13044
13	1053	169	13689
14	1047	196	14658
15	1035	225	15525
120	16593	1240	131513

Теоретические уровни ряда

t	у(теор)
1	1136,98
2	1132,58
3	1128,18
4	1123,79
5	1119,39
6	1114,99
7	1110,60
8	1106,20
9	1101,80
10	1097,41
11	1093,01
12	1088,61
13	1084,22
14	1079,82
15	1075,43

Прогнозное значение на 1998

-4,369*16+1141,37= 1071.

Прогнозное значение на 1999

-4,369*17+1141,37= 1067.

Прогнозное значение на 2000

-4,369*18+1141,37= 1063.

Прогнозное значение на 2001

-4,369*19+1141,37= 1058.

Прогнозное значение на 2002

-4,369*20+1141,37= 1054.

Прогнозное значение на 2003

-4,369*21+1141,37= 1050.

Задача 3

Имеются следующие данные о деятельности двух торговых фирм:

Фирма	Объем товарооборота, тыс. руб.		Среднесписочная численность работников, чел.
	Базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
А	3200	3500	80	90
Б	7800	8600	100	120

Проанализируйте динамику численности библиотек в регионе. С этой целью:

Определите:

1. Изменение объема товарооборота и среднесписочной числен­ности работников по каждой фирме в отдельности. Укажите вид использованных индексов.

2. Изменение объема товарооборота в отчетном периоде по срав­нению с базисным по фирмам в целом (в % и абсолютном выраже­нии), а также за счет: а) изменения среднесписочной численности работников; б) изменения их производительности труда. Приведите полученные результаты в систему. Укажите вид использованных индексов. Сделайте выводы.

3. Общие индексы среднесписочной численности работников и производительности труда по форме, отличной от агрегатной. Ука­жите вид использованных индексов.

Фирма	Объем товарооборота, тыс. руб.		Среднесписочная численность работников, чел.		Производительность труда		Индивидуальные индексы производительности труда
	базисный	отчетный	базисный	отчетный	базисный	отчетный
А	3200	3500	80	90	40,00	38,89	0,97
Б	7800	8600	100	120	78,00	71,67	0,92
ИТОГО	11000	12100	180	210	61,11	57,62	0,94

Изменение объема товарооборота за счет изменения среднесписочной численности работников фирмы А



Изменение объема товарооборота за счет изменения среднесписочной численности работников фирмы Б



Изменение объема товарооборота за счет изменения производительности труда работников фирмы А



Изменение объема товарооборота за счет изменения производительности труда работников фирмы А



Взаимосвязь показателей

1,036*1,137*0,992*0,941=1,1

Таким образом, снижение производительности труда по фирмам вызвало снижение товарооборота, а рост численности – увеличение показателя.

Простые индивидуальные индексы

Среднесписочная численность за прошлый период

(100+80)/2=90

Среднесписочная численность за отчетный период

(90+120)/2=105

Индекс

105/90= 1,17

Средняя производительность труда прошлый период 61,11, отчетный период 57,62

Индекс

57,62/61,11=0,94

Задача 4

Имеются следующие данные по трем филиалам Сбербанка.

Номер филиала Сбербанка	Общая сумма остатков по срочному вкладу на всех лицевых счетах, тыс. руб.		Число лицевых счетов
	1 квартал	2 квартал	1 квартал	2 квартал
84/020	1983	2084	1140	1200
85/024	5764	6574	1800	2000
65/030	6193	6805	2050	2800

Определить:

1. Изменение среднего остатка по срочному вкладу по каждому филиалу и в среднем по совокупности филиалов Сбербанка.

2. Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет: а) изменения остатков по сроч­ным вкладам на каждом филиале; б) изменения удельного веса лицевых счетов по филиалам с разным размером среднего вклада.

3. Прирост общей суммы аккумулируемых средств по срочным вкла­дам во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом по филиалам в целом, а также за счет: а) изменения числа лицевых счетов; б) изменения сред­него остатка по срочным вкладам в филиалах Сбербанка в целом; в) из­менения среднего остатка по срочным вкладам в каждом филиале; г) из­менения удельного веса лицевых счетов в филиалах Сбербанка с раз­ным уровнем среднего остатка по срочным вкладам.

Решение.

Применяем индивидуальные простые индексы

Номер филиала Сбербанка	Общая сумма остатков по срочному вкладу на всех лицевых счетах, тыс. руб.		Индекс изменения остатков	Число лицевых счетов		Индекс изменения числа счетов
				базисный год	отчетный год
	базисный год	отчетный год
84/020	1983	2084	1,05	1140	1200	1,05
85/024	5764	6574	1,14	1800	2000	1,11
65/030	6193	6805	1,10	2050	2800	1,37

Индексы больше 1, следовательно, показатели растут, максимально остатки возросли по филиалу 85/024, а количество счетов – по филиалу 65/030.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения остатков по сроч­ным вкладам на филиале 84/020 или рост на 1,7%.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения остатков по сроч­ным вкладам на филиале 85/024 или рост на 4,6%.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения остатков по сроч­ным вкладам на филиале 65/030 или рост на 3,1%.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения удельного веса лицевых счетов по филиалу 84/020 или рост на 1,8%.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения удельного веса лицевых счетов по филиалу 85/024 или снижение на 8,9%.

Изменение среднего остатка по срочному вкладу в среднем по совокупности филиалов за счет изменения удельного веса лицевых счетов по филиалу 65/030 . или рост на 0,3%.

Общее изменение

1,017*1,046*1,031*1,018*0,991*1,003=1,109 или рост на 10,9%

Номер филиала Сбербанка	Общая сумма аккумулируемых средств		Изменение, руб.	Изменение, %
	базисный год	отчетный год
84/020	2260620	2500800	240180	110,62
85/024	10375200	13148000	2772800	126,73
65/030	12695650	19054000	6358350	150,08
Всего	25331470	34702800	9371330	136,99

Таким образом, прирост суммы составил 9371330 руб. или 36,99%.

Прирост общей суммы аккумулируемых средств по срочным вкла­дам за счет изменения числа лицевых счетов



Прирост общей суммы аккумулируемых средств по срочным вкла­дам за счет изменения сред­него остатка по срочным вкладам в филиалах



Итого

1,112*1,232=1,37

Задача 5

Построить факторную индексную модель изменения чистой про­дукции одной из отраслей. Определить изменение чистой продукции в отчетный период в по сравнению с базисным (в % и абсолютном выражении) в целом, а также за счет отдельных факторов, если изве­стно, что в базисном году объем чистой продукции составлял 400 млн. руб., а в отчетном году вырос до 455; при увеличении фонда отрабо­танного времени на 8% и росте производительности труда в 1,2 раза. Привести полученные результаты в систему. Сделать выводы.
Модель



Изменение чистой продукции

455-400=55 млн.руб. или

455/400*100-100= 13,75%

Изменение чистой продукции за счет фонда отработанного времени

400*1,08-400= 32 млн. руб. или 8%.

Изменение чистой продукции за счет роста производительности труда

55-32=23 млн. руб.

Задача 6

Используя данные, определить средние по каждому признаку. Формулы записать, используя буквенные обозначения признаков. Указать, какие виды средних применялись.

	Фактический	% выполнения	%	Число ра-	Выработка про-
					дукции 1 рабо-
Квартал	выпуск продук-	плана	продукции
	ции, тыс. руб.		первого сорта		чим, тыс. руб.
N	f	Р	у	t	Ь
I	820	100,4	53	1000	0,82
II	830	98,3	54	1020	0,81
III	815	100.5	52	1010	0,81
IV	840	101,2	53	990	0,85

Средний выпуск продукции



Средний процент выполнения плана



Средний процент продукции 1 сорта



Среднее число рабочих



Средняя выработка продукции 1 рабочим