МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ПОЛОЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра: Высшей математики
Контрольная работа
по дисциплине «Экономико-математические методы и модели»
Вариант - 12
Студентки Финансово-экономического факультета
Заочного отделения
Группы У06-ЭПз-1
Галай Натальи Михайловны
Преподаватель:
Сороговец И.Б.
Новополоцк, 2008 г.

Содержание
  Задача 1-1
Задача 2-1
Задача 3-1
Задача 4-2
Задача 5-2

Задача 1-1
По условиям контракта торгово-посредническая фирма должна поставить каждому из двух покупателей B_j (j = 1, 2) два вида товаров T_k (k = 1, 2) в количестве b_{j k} по цене р_{j k} за единицу товара. Эти товары можно закупить у трех производителей A_i (i = 1, 2, 3) по цене s_{i k} за единицу товара. Известны: количества a_{i k} товара T_k, имеющегося у производителя A_i, а также стоимости c_{i j k} перевозки единицы товара T_k от производителя A_i к покупателю B_j.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Построить математическую модель поставленной задачи, максимизирующую прибыль фирмы от реализации всех сделок в виде задачи линейного программирования.
2. Методом потенциалов найти оптимальный план закупок, перевозок и поставок по каждому товару от каждого производителя к каждому покупателю, а также сумму прибыли от реализации этого плана.
Исходные данные:

a11	a12	a21	a22	a31	a32
400	410	480	550	420	480

s11	s12	s21	s22	s31	s32
2	3	5	5	2	3

b11	b12	b21	b22
480	130	270	320

p11	p12	p21	p22
16	14	15	15

РЕШЕНИЕ:
1) Для составления математической модели введем неизвестные  – количество товара , покупаемое у производителя  для перевозки потребителю . Индексы: i = 1, 2, 3 – номер производителя продукции;
j = 1, 2 – номер потребителя продукции; k = 1, 2 – номер товара. Найдем тарифы , т.е. прибыли на одну единицу товара , покупаемое у производителя  для продажи потребителю . Эти прибыли состоят из цены продажи 1 единицы товара за вычетом цены покупки и стоимости перевозки, т.е. .
f₁₁₁ = p₁₁ – s₁₁ – c₁₁₁ = 16 – 2 – 2 = 12;
f₁₁₂ = p₁₂ – s₁₂ – c₁₁₂ = 14 – 3 – 2 = 9;
f₁₂₁ = p₂₁ – s₁₁ – c₁₂₁ = 15 – 2 – 2 = 11;
f₁₂₂ = p₂₂ – s₁₂ – c₁₂₂ = 15 – 3 – 2 = 10;
f₂₁₁ = p₁₁ – s₂₁ – c₂₁₁ = 16 – 5 – 3 = 8;
f₂₁₂ = p₁₂ – s₂₂ – c₂₁₂ = 14 – 5 – 2 = 7;
f₂₂₁ = p₂₁ – s₂₁ – c₂₂₁ = 15 – 5 – 1 = 9;
f₂₂₂ = p₂₂ – s₂₂ – c₂₂₂ = 15 – 5 – 2 = 8;
f₃₁₁ = p₁₁ – s₃₁ – c₃₁₁ = 16 – 2 – 3 = 11;
f₃₁₂ = p₁₂ – s₃₂ – c₃₁₂ = 14 – 3 – 2 = 9;
f₃₂₁ = p₂₁ – s₃₁ – c₃₂₁ = 15 – 2 – 2 = 11;
f₃₂₂ = p₂₂ – s₃₂ – c₃₂₂ = 15 – 3 – 1 = 11.
Значение полученных коэффициентов приведены в таблице 1.1:

fijk	f111	f112	f121	f122	f211	f212	f221	f222	f311	f312	f321	f322
тариф	12	9	11	10	8	7	9	8	11	9	11	11

Прибыль фирмы представляется выражением , где сумма берется по всем возможным значениям индексов i, j, k. По условию, выражение F следует максимизировать, т.е. F является целевой функцией поставленной задачи. Так как операции над товарами  и  можно производить по отдельности и выражение F представляется в виде суммы двух слагаемых , сгруппированных по товарам , , то поставленная задача сводится к решению двух оптимизационных задач. Ограничения для неизвестных диктуются наличием соответствующих товаров у производителей и потребностью в них покупателей. В результате приходим к двум задачам линейного программирования, которые относятся к задачам транспортного типа:
Задача 1 (по товару )
max F₁ = 12 * X₁₁₁ + 11 * X₁₂₁ + 8 * X₂₁₁ + 9 * X₂₂₁ + 11 * X₃₁₁ + 11 * X₃₂₁
X₁₁₁ + X₂₁₁ + X₃₁₁ ≤ b₁₁ ≤ 480          X₁₂₁ + X₂₂₁ + X₃₂₁ ≤ b₂₁ ≤ 270
X₁₁₁ + X₁₂₁ ≤ a₁₁ ≤ 400  X₂₁₁ + X₂₂₁ ≤ a₂₁ ≤ 480 X₃₁₁ + X₃₂₁ ≤ a₃₁ ≤ 420
X_ij1 ≥ 0
Задача 2 (по товару )
max F₂ = 9 * X₁₁₂ + 10 * X₁₂₂ + 7 * X₂₁₂ + 8 * X₂₂₂ + 9 * X₃₁₂ + 11 * X₃₂₂
X₁₁₂ + X₂₁₂ + X₃₁₂ ≤ b₁₂ ≤ 130          X₁₂₂ + X₂₂₂ + X₃₂₂ ≤ b₂₂ ≤ 320
X₁₁₂ + X₁₂₂ ≤ a₁₂ ≤ 410  X₂₁₂ + X₂₂₂ ≤ a₂₂ ≤ 550 X₃₁₂ + X₃₂₂ ≤ a₃₂ ≤ 480
X_ij2 ≥ 0
Как видно, решение поставленной задачи сводится к решению двух задач транспортного типа.
2) Для решения задач 1, 2 методом потенциалов, сопоставим суммарное наличие каждого товара у производителей и суммарные потребности покупателей.
 = 400 + 480 + 420 = 1300,  = 480 + 270 = 750;
1300 – 750 = 550
Наличие товара Т₁ превышает потребности покупателей. Вводим фиктивного покупателя В₃ с потребностью b₃₁ = 550.
 = 410 + 550 + 480 = 1440,  = 130 + 320 = 990;
1440 – 450 = 990
Наличие товара Т₂ превышает потребности покупателей. Вводим фиктивного покупателя В₃ с потребностью b₃₂ = 990.
Получаем закрытые модели двух транспортных задач. Для их решения составляем две таблицы. В верхних правых углах клеток  выписаны тарифы  и . Для фиктивных производителей и покупателей тарифы равны нулю. Последние строки и столбцы таблиц служат для записи потенциалов.
Таблица 1.2 (к задаче 1)

Таблица 1.3 (к задаче 2)

Производители	Покупатели
	B1	B2	B3	ai1	ui
A1	9 130	10 11	0 280	410	0
A2	7 9	8 11	0 550	550	0
A3	9 9	11 320	0 160	480	0
bj1	130	320	990	1440	–
vj	9	11	0	–	–

Начальные планы распределения товаров определены по методу максимальной прибыли, т.е. в первую очередь заполнялись по максимуму клетки с наибольшими тарифами. Более конкретно, просматривая таблицу 1.2, замечаем, что максимальный тариф 12 стоит в клетке (1,1). В эту клетку ставим число 400. При этом запасы производителя А₁ исчерпан. Далее, в клетку (3,1) ставим 80, а в клетку (3,2) ставим 270. Из запасов производителя А₃ осталось 70, так как 420-80-270=70, ставим их в клетку (3,3). Потребность покупателей В₁ и В₂ в товарах исчерпаны, следовательно, оставшиеся 480 товаров производителя А₂ ставим в клетку (2,3). При этом товар  производителей  полностью распределён.
Полученный начальный план проверим на оптимальность. План невырожденный, так как число занятых клеток (3+3-1=5) равно m + n – 1 (m и n – число строк и столбцов распределительной матрицы). Обозначим через  и  потенциалы строк и столбцов. Для их нахождения отметим, что в занятых клетках сумма потенциалов строки и столбца должна равняться тарифу клетки. Получаем в данном случае 5 уравнений с 6-ю неизвестными:
v₁ + u₁ = 12;                  v₂ + u₃ = 11;                  v₃ + u₃ = 0.
v₁ + u₃ = 11;                  v₃ + u₂ = 0;
Полагая, что v₃ = 0, последовательно получаем: u₂ = 0, u₃ = 0, v₂ = 11, v₁ = 11, u₁ = 1.
Так как задача решается на максимум, то для оптимальности плана распределения, сумма потенциалов в незанятых клетках должна быть не меньше тарифов этих клеток. В нижних левых углах незанятых клеток выписаны суммы потенциалов. Все они превосходят соответствующие тарифы, т.е. начальный план закрепления покупателей за производителями по товару оптимален.
Аналогично, таблица 1.3 заполнена в следующей последовательности:
(3,2) – 320, (1,1) – 130, (1,3) – 280, (3,3) – 160, (2,3) – 550. Полученный план невырожденный, так как содержит 3 + 3 – 1 = 5 занятых клеток. Проверим его на оптимальность. Выпишем систему уравнений для нахождения потенциалов:
v₁ + u₁ = 9;           v₃ + u₁ = 0;           v₃ + u₃ = 0.
V₂ + u₃ = 11;                 v₃ + u₂ = 0;
Полагая, что u₃ = 0, последовательно получаем: v₃ = 0, u₂ = 0, u₁ = 0, v₂ = 11, v₁ = 9.
План распределения товара T₂, заданный таблицей 2, оптимален.
Сумма прибыли  = (12*400 + 11*80 + 11*270) + (9*130 + 11*320) = = 8650 + 4690 = 13340.
ОТВЕТ:
X₁₁₁ = 400, X₃₁₁ = 80, X₃₂₁ = 270, X₁₁₂ = 130, X₃₂₂ = 320. Остальные  = 0. Максимальная прибыль равна 13340.

Задача 2-1
С помощью алгоритма венгерского метода найти план закрепления работ за исполнителями, максимизирующий прибыль, связанную с выпуском всех пяти видов продукции. Матрица эффективности AN = , где  – прибыль, получаемая при выполнении j-й работы i-м исполнителем, N - номер варианта, имеет вид:

	40	28	44	38	46
	36	52	51	43	30
A12=	40	29	48	45	34	,
	56	54	53	46	49
	51	41	50	55	41

РЕШЕНИЕ:
I этап: приведение матрицы А12.
Алгоритм венгерского метода предназначен для решения задачи о назначениях по критерию минимизации суммарных затрат (задача на минимум). При решении задачи на максимум (так как  – прибыль), ее следует свести к задаче на минимум. Для этого в каждом столбце матрицы определяем максимальный элемент и из него вычитаем все элементы столбца.

	40	28	44	38	46			16	26	9	17	3
	36	52	51	43	30			20	2	2	12	19
A12=	40	29	48	45	34		→ A121=	16	25	5	10	15	→
	56	54	53	46	49			0	0	0	9	0
	51	41	50	55	41			5	13	3	0	8
	56	54	53	55	49

Так как в строках 1, 2, 3 нулей не оказалось, то вычитаем из элементов этих строк минимального из них, то есть вычитаем из строки 1 число 3, из строки 2 число 2, из строки 3 число 5. Получаем нули в этих строках.

	13	23	6	14	0
	18	0	0	10	17
→ A122=	11	20	0	5	10	→
	0	0	0	9	0
	5	13	3	0	8

II этап: поиск назначения.
Выбираем один из нулей, помечаем его, например, точкой или звездочкой или обводим его другим цветом (в дальнейшем, звездочкой), а остальные нули строки и столбца, в которых стоит выбранный помеченный нуль, перечеркиваем. Далее переходим к следующему нулю. И так до тех пор, пока каждый нуль будет либо помечен, либо перечеркнут.

	13	23	6	14	0*
	18	0*	Ø	10	17
→ A122=	11	20	0*	5	10
	0*	Ø	Ø	9	Ø
	5	13	3	0*	8

Помеченные нули составили полное назначение (количество помеченных нулей равно 5).
Следовательно, 1 исполнитель назначается на 5-ю работу, 2→2, 3→3, 4→1, 5→4.

Задача 3-1

Предприятие включает в себя три цеха по производству различной продукции и использует при этом четыре вида первичных ресурсов. Продукция, выпускаемая каждым цехом, частично отгружается за пределы предприятия (для удовлетворения конечного спроса), а частично распределяется внутри предприятия между цехами в качестве вторичных ресурсов. Баланс предприятия в натуральном выражении за прошедший год приведен в следующих двух таблицах 3.1.1 и 3.1.2:
Таблица 3.1.1

Производство товаров	Внутреннее потребление			Конечный спрос
	цех 1	цех 2	цех 3
цех 1	240	72	140	348
цех 2	80	264	180	76
цех 3	0	120	400	480

Таблица 3.1.2

Первичные ресурсы	Расходы ресурса за год
	цех 1	цех 2	цех 3
А	180	30	50
Б	1200	1500	0
В	400	1200	300
Г	160	600	1000

ТРЕБУЕТСЯ:
1) найти матрицы коэффициентов прямых товаро-затрат и ресурсо-затрат на основании данных за предыдущий год;
2) найти план полных выпусков продукции каждого цеха на следующий год, обеспечивающих выполнение госзаказа по отгрузке продукции в объемах c₁=360, c₂=90, c₃=450 соответственно;
3)определить необходимый запас первичных ресурсов каждого вида.
РЕШЕНИЕ:
Если обозначить через  полные выпуски продукции каждым цехом, то можно составить следующие соотношения

где – непосредственный натуральный расход продукции i-го цеха для обеспечения выпуска всей продукции j-го цеха. Числа  называются коэффициентами прямых товаро-затрат. Их можно определить по статистическим данным за предыдущий год, т.е.  Смысл коэффициента  – количество продукции i-го цеха, используемое для производства 1 единицы продукции j-го цеха.
Аналогично, расход  k-го ресурса j-м цехом представим в виде
 Тогда коэффициенты  называются коэффициен-тами прямых ресурсо-затрат. Они определяют количество k-го ресурса, необходимое для производства единицы продукции j-го цеха и находятся по результатам статистических данных за предыдущий год.
1. Для определения коэффициентов  найдем полные выпуски продукции каждым цехом за предыдущий год х_j:
x₁ = 240 + 72 + 140 + 348 = 800;
x₂ = 80 + 264 + 180 + 76 = 600;

	0	0	0
	3	29	17
	22	52	37

Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Лапласа определим средние арифметические значения «выигрыша» домовладельца по формуле   , .
Получаем:
 = (37 + 73 + 46)/3 = 156/3 = 52;
 = (34 + 44 + 29)/3 = 107/3 = ;
= (15 + 21 + 9)/3 = 45/3 = 15.
Оптимальной по критерию Лапласа является стратегия  – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли, так как ей соответствует наибольшее из чисел :

max

{

52

;

;

15

}

=

52 ;

Таким образом, если все состояния природы представляются равновозможными, то для обеспечения средней прибыли в размере 52 ден. ед. фермеру следует придерживаться стратегии  – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.
Для наглядности все результаты вычислений приведем в сводной таблице 4.3.
Таблица 4.3
Вывод: Проведенное по совокупности статистических критериев исследование возможных вариантов внесения удобрений на 1 гектар земли позволяет сделать следующее заключение:
а) при наличии достоверной информации о состоянии природы фермеру следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия ). При этом ожидаемая прибыль составит 54,1 ден. ед.
б) при отсутствии информации о состоянии природы фермеру также следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия ). Такое решение продиктовано на основании всех критериев, не использующих вероятностный подход. Заметим, что максимальная прибыль при выборе данной стратегии составит 37 ден. ед. при самых неблагоприятных погодных условиях.

Задача 5-2

Для реконструкции и модернизации производства выделены денежные средства в объеме 100 тыс. ден. ед., которые следует распределить между четырьмя цехами. По каждому из цехов известен возможный прирост  выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы x ≤ 100.000 (возможные значения x и  приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом.

ЦЕХ № 1						ЦЕХ № 2
x	20	40	60	80	100	x	20	40	60	80	100
	9	17	29	38	47		11	34	46	53	75

ЦЕХ № 3						ЦЕХ № 4
x	20	40	60	80	100	x	20	40	60	80	100
	13	28	37	49	61		12	35	40	54	73

ТРЕБУЕТСЯ:
1. Основываясь на принципах динамического программирования, построить математическую модель поставленной задачи в виде функциональных уравнений Беллмана (числовые данные взять из таблиц).
2. Найти оптимальное распределение средств, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции.
PЕШЕHИЕ.
1. Системой S в данном случае является предприятие из 4-х цехов, в которое вложена сумма 100.000 ед. Состояния и управления системы S однозначно взаимосвязаны – это способы распределения суммы между цехами. Для осуществления инвариантного погружения задачи будем считать, что вместо суммы 100.000 ед. вкладывается сумма y: 0≤у≤100.000. Состояния системы искусственно разобьем на этапы: начальный (нулевой), первый, второй и третий этапы соответственно означают, что сумма y распределяется между четырьмя цехами, тремя цехами, двумя цехами и вся сумма y выделяется одному цеху. Нумерацию этапов удобнее проводить в обратном порядке: третий этап – m = 1, второй этап – m = 2, первый этап – m = 3, нулевой этап – m = 4. Тогда функция Беллмана, имеющая смысл максимальной прибыли при распределении суммы y между m цехами, запишется в виде:

Если при m = 1 … k–1 функция B(y, m) уже построена, то функциональное уравнение Беллмана для данной задачи принимает вид:

Пpи m = 1 дополнительно имеем:

2. При m = 1 функция Беллмана уже построена, т.е.

y	20	40	60	80	100
B(y, 1)	9	17	29	38	47

При m = 2 уравнение из функционального уравнения Беллмана имеет вид:

Так как функции  и  заданы таблично, то для определения максимума функции  при каждом y составляем таблицу значений этой функции:

x y	0	20	40	60	80	100	B(y, 2)
20	0 + 9	11 + 0					11	20
40	0 + 17	11 + 9	34 + 0				34	40
60	0 + 29	11 + 17	34 + 9	46 + 0			46	60
80	0 + 38	11 + 29	34 + 17	46 + 9	53 + 0		55	60
100	0 + 47	11 + 38	34 + 29	46 + 17	53 + 9	75 + 0	75	100

Подчеркнутые значения являются максимальными в строке, т.е. являются значениями функции Беллмана B(y, 2). Они выписаны в предпоследнем столбце. В последний столбец выписаны значения x, при которых достигается максимум функции  Эти значения обозначены  и их можно считать управлениями. Смысл  – средства, выделяемые второму цеху, при оптимальном распределении суммы y между двумя цехами.
Аналогично, при m = 3

Составляем таблицу значений функции

x y	0	20	40	60	80	100	B(y, 3)
20	0 + 11	13 + 0					13	20
40	0 + 34	13 + 11	28 + 0				34	0
60	0 + 46	13 + 34	28 + 11	37 + 0			47	20
80	0 + 55	13 + 46	28 + 34	37 + 11	49 + 0		62	40
100	0 + 75	13 + 55	28 + 46	37 + 34	49 + 11	61 + 0	75	0

Как и выше  – сумма средств, выделяемых третьему цеху, при оптимальном распределении суммы y между тремя цехами.
При m = 4


Составляем таблицу значений функции

x y	0	20	40	60	80	100	B(y, 4)
20	0 + 13	12 + 0					13	0
40	0 + 34	12 + 13	35 + 0				35	40
60	0 + 47	12 + 34	35 + 13	40 + 0			48	40
80	0 + 62	12 + 47	35 + 34	40 + 13	54 + 0		69	40
100	0 + 75	12 + 62	35 + 47	40 + 34	54 + 13	73 + 0	82	40

В двух последних столбцах этой таблицы получены значения функции Беллмана B(y, 4) и соответствующие им управления  – т.е. количества средств, выделяемых четвертому цеху при распределении суммы y между четырьмя цехами. После этого составляем сводную таблицу значений функции Беллмана и соответствующих ей управлений:

y
0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	20	9	20	11	20	13	0	13
40	40	17		34	0	34	40	35
60	60	29	60	46		47	40	48
80	80	38	60	55	40	62	40	69
100	100	47	100	75	0	75		82

С помощью таблицы функции Беллмана для данной задачи можно произвести распределение любой суммы у от 0 до 100 между k цехами 1 ≤ k ≤ 4. В клетке  стоит максимальная прибыль от этого распределения, а в клетке  стоит сумма, выделяемая k-му цеху. Распределим сумму 100 между 4-мя цехами. По клетке  максимально возможная прибыль равна 82. 4-му цеху следует выделить 40 тыс. $. На первые три цеха остается 60 тыс. $. По клетке  3-му цеху выделяется 20 тыс. $. На первые два цеха остается 40 тыс. $. По клетке  2-му цеху выделяется 40 тыс. $. Тогда 1-му цеху средства не выделяются.