Задача 1

Район	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., y	Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,x
Республика Башкортостан	461	632
Удмуртская Республика	524	738
Курганская область	298	515
Оренбургская область	351	640
Пермская область	624	942
Свердловская область	584	888
Челябинская область	425	704
Республика Алтай	277	603
Алтайский край	321	439
Кемеровская область	573	985
Новосибирская область	576	735
Омская область	588	760
Томская область	497	830
Тюменская область	863	2093
Fтабл. = 4,75 (α=0,05)	σy=152,47	σx=382,79

ТРЕБУЕТСЯ
1. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии.
2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. Определите среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
4. Оцените статистическую надежность регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
5. Оцените полученные результаты, оформите выводы.
РЕШЕНИЕ.
1. А) Вводим данные в таблицу (EXCEL) – столбцы № x,y :

	Район	y	x	yx	y-yx	Ai
1	Республика Башкортостан	461	632	430,82	30,18	6,55
2	Удмуртская Республика	524	738	466,86	57,14	10,90
3	Курганская область	298	515	391,04	-93,04	31,22
4	Оренбургская область	351	640	433,54	-82,54	23,52
5	Пермская область	624	942	536,22	87,78	14,07
6	Свердловская область	584	888	517,86	66,14	11,33
7	Челябинская область	425	704	455,3	-30,3	7,13
8	Республика Алтай	277	603	420,96	-143,96	51,97
9	Алтайский край	321	439	365,2	-44,2	13,77
10	Кемеровская область	573	985	550,84	22,16	3,87
11	Новосибирская область	576	735	465,84	110,16	19,13
12	Омская область	588	760	474,34	113,66	19,33
13	Томская область	497	830	498,14	-1,14	0,23
14	Тюменская область	863	2093	927,56	-64,56	7,48
	Итого	6962,00	11504,00	6934,52
	среднее значение	497,29	821,71	495,32		15,75
	σ	152,47	382,79
	σ2	23246,63	146524,63

Вычисление параметров линейного уравнения регрессии. С помощью инструмента Регрессия (Данные  QUOTE    Анализ данных  QUOTE    Регрессия) получаем следующие результаты.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,859604
R-квадрат	0,738919
Нормированный R-квадрат	0,717162
Стандартная ошибка	84,14752
Наблюдения	14
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	240483,2	240483,2	33,9627	8,11E-05
Остаток	12	84969,65	7080,804
Итого	13	325452,9
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	215,9377	53,2585	4,054521	0,001597	99,89739	331,978
Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,x	0,342392	0,058752	5,827752	8,11E-05	0,214382	0,470401

Записываем уравнение парной линейной регрессии
y_x= 215,94+0,34x
Экономический смысл уравнения: с увеличением денежных доходов x на 1тыс.руб. - потребительские расходы y в среднем возрастает на 0,34 тыс. руб.
v    Множественный коэффициент корреляции R=0,86
по формуле
r_xy =b QUOTE    = 0,34*382,79/152,47=0,85.
Cвязь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.
v    Коэффициент детерминации R² = 0,74, т.е. в 74% случаев изменения денежных доходов приводят к изменению потребительских расходов. Другими словами точность подбора уравнения регрессии 74% - высокая.
3. Для определения средней ошибки аппроксимации рассчитываем столбцы y_x, y-y_x, Ai:
A_i =I  QUOTE    I *100,  QUOTE    =15,75

Получаем значение средней ошибки аппроксимации  QUOTE   =15,8%
Это означает, что, в среднем, расчетные значения зависимого признака отклоняются от фактических значений на 15,8%. Величина ошибки аппроксимации говорит о плохом качестве модели.
А) по критерию Фишера
1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и показателя корреляции a=b=r_xy=0;
2. Фактическое значение критерия F_ф = 33,96;
3. Для определения табличного значения критерия рассчитываем коэффициенты k₁=m=1 и
k₂= n-m-1=12 F_табл= 4,75
4. Сравниваем фактическое и табличное значения критерия F_факт >F_табл, т.е. нулевую гипотезу отклоняем и делаем вывод о статистической значимости и надежности полученной модели.
Б) по критерию Стьюдента:
 1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a=b=r_xy=0;
 2. Табличное значение t-критерия зависит от числа степеней свободы и заданного уровня значимости α. Уровень значимости – это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Для числа степеней свободы 12 и уровня значимости α =0,05 t_табл=2,18
3. Фактическое значение t- критерия рассчитываются отдельно для каждого параметра модели. С этой целью сначала определяются случайные ошибки параметров m_a,m_b,m_rxy.
m_a = 53,26, m_b=0,06, m_rxy=0,152, где S_ост = QUOTE   .
n –число наблюдений, число независимых переменных.
Рассчитываем фактические значения t- критерия:

t_фа =  QUOTE    =215,94/53,26 = 4,05;  t_фr =  QUOTE    = 0,85/0,152 = 5,6.
t _фb =  QUOTE    = 0,34/0,06 = 5,7;
 4.Сравним фактические значения t-критерия с табличным значением:
t_фа > t_табл; t_фb > t_табл; t_фr > t_табл.
Нулевую гипотезу отклоняем, параметры a,b,r_xy – не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми и надежными.
В) Чтобы рассчитать доверительный интервал для параметров регрессии a, b, необходимо определить предельную ошибку параметров:
∆a = t_таблm_a = 2,18*53,26=116,11  ∆a = t_таблm_b=2,18*0,06 = 0,13
Доверительный интервалы: γ_a = a ± ∆a = 215,94 ± 116,11
99,83 ≤ a ≤ 332,05
 γ_b = b ± ∆b = 0,34 ± 0,13
0,21 ≤ b ≤ 0,47
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов показывает, что с вероятностью
p = 1 – α = 0,95 параметры a и b не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и надежными.
Выводы:
ü    Уравнение парной линейной регрессии y_x= 215,94+0,34x. Экономический смысл уравнения: с увеличением денежных доходов x на 1тыс.руб. - потребительские расходы y в среднем возрастает на 0,34 тыс. руб.
ü    Множественный коэффициент корреляции R=0,86 указывает на связь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.
ü    Коэффициент детерминации R² = 0,74,показывает, что в 74% случаев изменения денежных доходов приводят к изменению потребительских расходов. Точность подбора уравнения регрессии 74% - высокая.
ü    Значение средней ошибки аппроксимации  QUOTE   =15,8% означает, что среднем, расчетные значения зависимого признака отклоняются от фактических значений на 15,8%. Величина ошибки аппроксимации говорит о плохом качестве модели.
ü    Фактическое значение больше табличного значения критерия F_факт >F_табл, указывает, что полученная модель статистически значима и надежна
ü    При сравнении фактических значений t-критерия с табличным значением, получаем, что параметры a,b,r_xy – не случайно отличаются от нуля и являются статистически значимыми и надежными.
ü    Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов показывает, что с вероятностью p = 1 – α = 0,95 параметры a и b не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и надежными.
Задача 2
По данным газеты «Из рук в руки» была сделана мной выборка данных о стоимости квартир на вторичном рынке за определенный период (от 25 мая 2009г). Выборка содержит 20 данных. В качестве факторов, влияющих на стоимость квартир выбрала число комнат (х₁), общая площадь (х₂), жилая площадь (х₃), площадь кухни (х₄). Необходимо построить уравнение регрессии, характеризующее зависимость цены от всех качеств. Оценить экономический смысл и значимость полученного уравнения.
1. Вводим данные в таблицу (EXCEL) – столбцы № x₁, х₂, х₃, х₄,y. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу [Приложение1]

0	x1	x2	x3	x4	y
1	1	32	19	6	1200
2	1	36	18	6	1400
3	1	29	16	5	980
4	1	29	16	5	1100
5	2	43	28,8	9	1420
6	2	52	34	10	1950
7	2	45	30	9	980
8	2	46	29	9	1350
9	3	54	38	11	1800
10	4	58	40	12	2500
11	3	50	35	10	1700
12	3	60	38	11	2100
13	4	70	52	16	1750
14	4	70	52	16	2950
15	4	76	49	15	3500
16	4	68	47	14	2400
17	5	145	86	26	5800
18	5	82	65	19	4500
19	5	83	66	20	4000
20	5	130	78	24	6500
Сумма	61	1258	836,8	253	49880
Ср. значение	3,05	62,9	41,84	12,7	2494

Найдем средние квадратические отклонения признаков:
σ_y =  QUOTE    = 1556,86;

σ_x1 =  QUOTE    = 1,43;
σ_x2 =  QUOTE    = 29,74;
σ_x3 =  QUOTE    = 19,63;
σ_x4 =  QUOTE    = 5,90;
2. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x_4.
Найдем матрицу парных коэффициентов корреляции (Данные  QUOTE   Анализ данных QUOTE    Корреляция)
Получаем следующий результат:

	x1	x2	x3	x4	y
x1	1
x2	0,847337	1
x3	0,940703	0,964635	1
x4	0,931673	0,968788	0,998364	1
y	0,833719	0,949023	0,930686	0,934761	1

1 столбец матрицы содержит коэффициенты корреляции y с каждым из факторов x. Таким образом, наиболее сильное влияние на стоимость квартиры оказывают факторы x₂;x₃;x₄.
С помощью инструмента Регрессия (Данные  QUOTE    Анализ данных  QUOTE    Регрессия) получаем следующие результаты:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,951256
R-квадрат	0,904889
Нормированный R-квадрат	0,879526
Стандартная ошибка	554,416
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	43865823	10966455,67	35,6775234	1,69079E-07
Остаток	15	4610657	307377,1554
Итого	19	48476480
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-688,384	308,7638	-2,229485916	0,04148909	-1346,49885	-30,2701
x1	67,88611	351,3708	0,193203645	0,84939123	-681,042959	816,8152
x2	39,08366	21,70148	1,800967381	0,09184344	-7,17195183	85,33927
x3	-31,251	130,6937	-0,239116437	0,81425164	-309,817992	247,316
x4	144,2302	404,6624	0,35642105	0,72648905	-718,287253	1006,748

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии:
y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ – 688,38
Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.

v    Остаточная дисперсия: σ² = 230532,9.
v    Средняя ошибка аппроксимации:  QUOTE    = 19%. Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается плохим, т.к. средняя ошибка аппроксимация превышает 15%.
v    Множественный коэффициент корреляции R= 0,951.
v    Коэффициент детерминации R² = 0,905. Нескорректированный коэффициент детерминации R² оценивает долю дисперсии стоимости за счет предоставленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 90,5% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации стоимости с вариацией факторов, т.е. на весьма тесную связь факторов со стоимостью.
v    Cкорректированный коэффициент детерминации  ^{QUOTE   2} = 0,88 определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Все четыре коэффициента указывают на весьма высокую 88% детерминированность стоимости y в модели с факторами x₁, х₂, х₃, х₄.
3.Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерия Фишера:
Число наблюдений n =20, число независимых переменных m=4, отсюда
k₁ =4, k₂ =20-4-1 =15.
F_факт. =  QUOTE    = 35,68.
Получили, что F_факт. > F_табл. = 3,06 (при n=20), т.е. вероятность случайно получить такое значение F-критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Таким образом, подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.
4. Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессии с помощью t- критерия Стьюдента.
Фактические значения t-критерия:
t_x4 = b₄/se₄ = 144,23/404,66 = 0,356;
t_x3 = b₃/se₃ = -31,251/130,694= - 0,239;
t_x2 = b₂/se₂ = 39,08/21,7 =1,80;
t_x1= b₁/se₁ = 67,89/351,4 = 0,193.
Табличное значение критерия при уровне значимости α=0,05 и числе степеней k = 15 составит t_табл = 2,13.
Таким образом, признается статистическая значимость параметра x4, т.к. t_x4>t_табл, и случайная природа формирования параметра x₁,x₂,x₃, t_x1<t_табл, t_x2<t_табл, t_x3<t_табл.
Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:
-681,04 QUOTE    x₁ QUOTE    816,82; -309,82 QUOTE    x₃ QUOTE    247,32;
-7,17 QUOTE    x₂ QUOTE    85,34; -718,29 QUOTE    x₄ QUOTE    1006,75.
Выводы:
ü    Уравнение множественной регрессии
y_x = 67,89x₁ + 39,08x₂ - 31,25x₃ +144,23x₄ – 688,38.
Экономический смысл уравнения: при увеличении числа комнат квартиры х₁, цена квартиры увеличивается на 67,89 тыс. руб.; при увеличении общей площади квартиры х₂, цена квартиры увеличивается на 39,08 тыс. руб.; при увеличении жилой площади квартиры х₃, цена квартиры уменьшается на 31,25 тыс. руб.; при увеличении площади кухни х₄, цена квартиры увеличивается на 144,23 тыс.руб.Множественный коэффициент корреляции R=0,95 указывает на связь между переменными x и y прямая, сильная, тесная, т.е. величина потребительских расходов значительно зависит от денежных доходов.
ü    Коэффициент детерминации R² = 0,905, указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации стоимости с вариацией факторов, т.е. на весьма тесную связь факторов со стоимостью. Точность подбора уравнения регрессии 95% - высокая.
ü    Cкорректированный коэффициент детерминации  ^{QUOTE   2} = 0,88, указывают на весьма высокую 88% детерминированность стоимости y в модели с факторами x₁, х₂, х₃, х₄.
ü    Средняя ошибка аппроксимации:  QUOTE    = 19%. Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдения, признается плохим, т.к. средняя ошибка аппроксимация превышает 15%.
ü    Фактическое значение больше табличного значения критерия F_факт >F_табл, подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи.
ü    При сравнении фактических значений t-критерия с табличным, признается статистическая значимость параметра x4, т.к. t_x4>t_табл, и случайная природа формирования параметра x₁,x₂,x₃, t_x1<t_табл, t_x2<t_табл, t_x3<t_табл.

Список литературы
1)   Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.
2)   Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.
3)   Практикум по эконометрике с применение MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: Издательский центр Академии управления «ТИСБИ», 2008 – 53 с.
4)   Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.

№	X1	X2	X3	X4	y	Y2	X12	X22	X32	X42	X1*y	x2*y	x3*y	x4*y	Yx	y-yx	(y-yx)2	Ai
1	1	32	19	6	1200	1440000	1	1024	361	36	1200	38400	22800	7200	901,7	298,3	88982,9	24,858
2	1	36	18	6	1400	1960000	1	1296	324	36	1400	50400	25200	8400	1089,27	310,73	96553,1	22,195
3	1	29	16	5	980	960400	1	841	256	25	980	28420	15680	4900	733,98	246,02	60525,8	25,104
4	1	29	16	5	1100	1210000	1	841	256	25	1100	31900	17600	5500	733,98	366,02	133971	33,275
5	2	43	28,8	9	1420	2016400	4	1849	829,4	81	2840	61060	40896	12780	1525,91	-105,9	11216,9	7,4585
6	2	52	34	10	1950	3802500	4	2704	1156	100	3900	101400	66300	19500	1859,36	90,64	8215,61	4,6482
7	2	45	30	9	980	960400	4	2025	900	81	1960	44100	29400	8820	1566,57	-586,6	344064	59,854
8	2	46	29	9	1350	1822500	4	2116	841	81	2700	62100	39150	12150	1636,9	-286,9	82311,6	21,252
9	3	54	38	11	1800	3240000	9	2916	1444	121	5400	97200	68400	19800	2024,64	-224,6	50463,1	12,48
10	4	58	40	12	2500	6250000	16	3364	1600	144	10000	145000	100000	30000	2330,58	169,42	28703,1	6,7768
11	3	50	35	10	1700	2890000	9	2500	1225	100	5100	85000	59500	17000	1817,84	-117,8	13886,3	6,9318
12	3	60	38	11	2100	4410000	9	3600	1444	121	6300	126000	79800	23100	2259,12	-159,1	25319,2	7,5771
13	4	70	52	16	1750	3062500	16	4900	2704	256	7000	122500	91000	28000	3001,46	-1251	1566152	71,512
14	4	70	52	16	2950	8702500	16	4900	2704	256	11800	206500	153400	47200	3001,46	-51,46	2648,13	1,7444
15	4	76	49	15	3500	12250000	16	5776	2401	225	14000	266000	171500	52500	3185,46	314,54	98935,4	8,9869
16	4	68	47	14	2400	5760000	16	4624	2209	196	9600	163200	112800	33600	2791,09	-391,1	152951	16,295
17	5	145	86	26	5800	33640000	25	21025	7396	676	29000	841000	498800	150800	6380,15	-580,1	336574	10,003
18	5	82	65	19	4500	20250000	25	6724	4225	361	22500	369000	292500	85500	3564,75	935,25	874693	20,783
19	5	83	66	20	4000	16000000	25	6889	4356	400	20000	332000	264000	80000	3716,81	283,19	80196,6	7,0798
20	5	130	78	24	6500	42250000	25	16900	6084	576	32500	845000	507000	156000	5755,49	744,51	554295	11,454
С	61	1258	836,8	253	49880	172877200	227	96814	42715	3897	2E+05	4016180	3E+06	802750	49876,5	3,48	4610658	380,27
Ср	3,1	62,9	41,84	12,7	2494	8643860	11,4	4841	2136	194,9	9464	200809	132786	40138	2493,83	0,174	230533	19,013