Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1.                Длину стороны АВ;
2.                Внутренний угол А с точностью до градуса;
3.                Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4.                Точку пересечения высот;
5.                Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
6.                Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
7.                Сделать чертеж;
Решение:
1.                Найдем координаты вектора АВ:

Длина стороны АВ равна:

2.                Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)

Тогда
3.                Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .
По формуле получим уравнение высоты:

Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

4.                Координаты основания медианы будут:
;
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М


Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5.                Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору


Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23
6.                Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .


Теперь воспользовавшись формулой

Подставляя в нее координаты точки С(0,3)


Задание 2
Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.

Решение:
1.                Докажем, что подсистема линейно независима:


Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .
Очевидно,


Найдем представление  через .


Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три

Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:



Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график


1.                Область определения:
, то есть
2. Кривая  имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как

Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.
3.                Функция общего вида, так как  и
4.                Функция периодичностью не обладает
5.                Находим производную функции

Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы

х			1		5
y’	-	-	0	+	0	-
y	убывает	убывыает	0 min	возрастает	0,074	убывает

6.                Находим вторую производную функции

Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.

х			0.22		6.11
y”	-	+	0	+	0	-
y	выпукла	вогнута	0,335 перегиб	вогнута	0,072	выпукла

7.                Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
 получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)
8.                При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9.                Строим график в соответствии с результатами исследований:


Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) ; б) ; в) ; г)
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:

Проверка:

б) сделаем подстановку

Проверка:


в) Воспользуемся способом интегрирования по частям

Проверка:

г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей



Проверка:

Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение
корни этого квадратного уравнения
следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:
т.к  получаем: