Контрольная работа на тему Математические уравнения и функции
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-11-23Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1. Длину стороны АВ;
2. Внутренний угол А с точностью до градуса;
3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4. Точку пересечения высот;
5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
7. Сделать чертеж;
Решение:
1. Найдем координаты вектора АВ:

Длина стороны АВ равна:

2. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)

Тогда 
3. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор 
.
По формуле получим уравнение высоты:

Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

4. Координаты основания медианы будут:

; 
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М

Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору 

Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23
6. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор 
.

Теперь воспользовавшись формулой
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)

Задание 2
Даны векторы 
Доказать, что 
образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.

Решение:
1. Докажем, что подсистема 
линейно независима:

Из четвертого уравнения имеем , что 
, тогда из первого, второго и третьего следует, что 
. Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы 
можно представить в виде линейных комбинации векторов 
.
Очевидно,
Найдем представление 
через 
.

Из четвертого уравнения находим 
и подставляем в первые три

Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:


Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график

1. Область определения:

, то есть 
2. Кривая 
имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как

Находим наклонные асимптоты. 
а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.
3. Функция общего вида, так как 
и 
4. Функция периодичностью не обладает
5. Находим производную функции

Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
6. Находим вторую производную функции

Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

получаем точку (0;1); 
получаем точку (1;0)
8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строим график в соответствии с результатами исследований:

Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:

Проверка:

б) сделаем подстановку 

Проверка:

в) Воспользуемся способом интегрирования по частям

Проверка:

г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей


Проверка:

Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение

корни этого квадратного уравнения 
следовательно : 
, и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: 
т.к 
получаем:

Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1. Длину стороны АВ;
2. Внутренний угол А с точностью до градуса;
3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4. Точку пересечения высот;
5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
7. Сделать чертеж;
Решение:
1. Найдем координаты вектора АВ:
Длина стороны АВ равна:
2. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
Тогда
3. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор
По формуле получим уравнение высоты:
Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:
4. Координаты основания медианы будут:
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору
Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:
х=11 у=23
6. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор
Теперь воспользовавшись формулой
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)
Задание 2
Даны векторы
Решение:
1. Докажем, что подсистема
Из четвертого уравнения имеем , что
Докажем, что векторы
Очевидно,
Найдем представление
Из четвертого уравнения находим
Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
1. Область определения:
2. Кривая
Находим наклонные асимптоты.
3. Функция общего вида, так как
4. Функция периодичностью не обладает
5. Находим производную функции
Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
х | | | 1 | | 5 | |
y’ | - | - | 0 | + | 0 | - |
y | убывает | убывыает | 0 min | возрастает | 0,074 | убывает |
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
х | | | 0.22 | | 6.11 | |
y” | - | + | 0 | + | 0 | - |
y | выпукла | вогнута | 0,335 перегиб | вогнута | 0,072 | выпукла |
8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строим график в соответствии с результатами исследований:
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а)
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
Проверка:
б) сделаем подстановку
Проверка:
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
Проверка:
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
Проверка:
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
следовательно :
т.к