Курсовая на тему Топологические пространства
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-07-05Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
§1. Топологические пространства
(предварительные сведения)
1.1. Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество 
открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.
Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому 
замкнутое в Х множество. Следовательно, множество 
открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О1 
О2.
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1) существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = Х;
(2) существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х;
(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1 и F2 = СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х.
Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1 F2 = Х. Рассмотрим множество G = F1 Ì Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1 = CF2). Поэтому множество G = F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х) = 
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и 
. Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х = φ –1(М) = φ –1(А В) = φ –1(А) φ –1(В),
причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О1 О2 . €
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1 
F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.
Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1 F2. Тогда
М = (М ∩ F1) (M ∩ F2).
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда
М = М ∩ F1 Í F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y = O1 O2.
В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия 
множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,
.
Очевидно, что множества 
образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U1 U2, где U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то
f –1(U) = f –1(U1) f –1(U2), f –1(U1) ∩ f –1(U2) = Æ,
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;
(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для каждой трубки f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y Î Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f –1(U) = О1 О2, О1 ∩ О2 = Æ.
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y. €
Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y Î Y, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g 
φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y Î Y).
По условию, f = g φ, следовательно,
f –1(U) = (g φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).
Отсюда,
φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yÎY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yÎY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY в силу того, что точка y взята произвольно.
Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y Î [f(F)] \ f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) Ì X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [f (F)]. (предварительные сведения)
1.1. Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество
Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О1
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1) существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1
(2) существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1
(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1
Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х) =
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и
Х = φ –1(М) = φ –1(А
причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О1
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1
Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1
М = (М ∩ F1)
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда
М = М ∩ F1 Í F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y = O1
В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия
Очевидно, что множества
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U1
f –1(U) = f –1(U1)
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;
(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для каждой трубки f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y Î Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f –1(U) = О1
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y. €
Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y Î Y, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g
Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y Î Y).
По условию, f = g
f –1(U) = (g
Отсюда,
φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Í Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yÎY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):
f –1(y) Í f –1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yÎY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Æ. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f –1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY в силу того, что точка y взята произвольно.
Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €
Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.
Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.
Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым.
Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ
Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U¢ такое, что U = U¢
В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y.
Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y, где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f |
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что
O = O'
где О¢ – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f –1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy'
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y.
Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.
Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.
Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f –1(y) множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Æ и О1
O1 = Q1
Рассмотрим замыкание этих множеств
то G1 ∩ G2 = Æ. Тогда f –1(Oy) = G1
Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда
Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y.
Из установленного предложения автоматически вытекает
Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.
Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:
f –1(U) = О1
где О1 и О2 – непустые открытые в f –1(U) множества.
Слой f –1(y) связен и f –1(y) Ì f –1(U), отсюда, f –1(y) содержится либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х1ÎО1. Образ этой точки f (x1) = y1 Ì U. По условию, слой f –1(y1) связен и f –1(y1) Ì О1
Отсюда, так как точка х1 произвольная, то О1 = f –1( f (O1)). Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).
Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1) и f (O2) = g (O2) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O1)
Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:
Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.
(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).
Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:
Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.
Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f |
Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.
2.3. Связь между связностью пространств
и отображений
Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.
Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.
Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х Î [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] – связное множество. Причём, понятия трубки и слоя над точкой y = 0 совпадают, поэтому отображение f является связным и послойно связным.
Если отображение f : [-1;1]
В рассмотренных примерах пространство Y является связным. Это условие и условие связности отображения f оказались необходимым и достаточным условием для связности пространства Х. Более того, имеет место
Теорема 2.4. Пусть сюръективное отображение f : X→Y непрерывно и связно. Пространство X является связным тогда и только тогда, когда пространство Y связное.
Доказательство. Необходимость. По теореме 1.5 (§1), если f : Х→Y непрерывное отображение, f (X) = Y и Х связно, то Y связно.
Достаточность. Пусть пространство Y связно. Предположим, что пространство Х несвязно. Тогда в Х найдутся такие непустые дизъюнктные открытые множества О1 и О2, что О1
т.е.
т.е. эти множества открыто-замкнутые. Это противоречит связности пространства Y.
Таким образом, предположение о несвязности топологического пространства Х неверно, а верно то, что требуется доказать. €
Другой связи между связностью пространств и связностью отображений может и не быть.
|
|
| |
| |
 | |
Примеры. Пусть отображение f : X→Y непрерывно. Если пространство Х связно, то и его образ f (X) связен, но отображение f не обязано быть связным. А именно, пусть f : R ® [0; + ¥], и f (х) = х 2 для любого х Î R (рис. 1). Расмотрим произвольную точку y Î (0; + ¥). Пусть окрестностью точки y является любой интервал U = (a; b) Í (0; + ¥), содержащий эту точку. Тогда трубка
f –1(U) = 
распадается на два непустых непересекающихся открытых в R множества, т.е. f –1(U) – несвязное множество. Таким образом, отображение f несвязно по определению.
Можно привести ещё пример такого рода. Пусть Oxy – прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим кольцо ω с центром в начале координат и радиусами r = a, R = b (рис. 2). Пусть prX : ω → [– b; b] – проекция этого кольца на ось Ox, где prX (x; y) = х Î [– b; b] для любой точки (x; y) Î ω. Возьмём произвольную точку х Î (– a; a) Ì [– b; b]. Для любой окрестности U Ì (– a; a) точки х трубка
|
|
|
| |
 | |||
 | |||
Может быть и наоборот, отображение f связное, а пространства X и Y – несвязные.
Пусть, например, отображение f : R \ {0} ® R \ {0} задано формулой f (х) =
Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1]
Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.
Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х¢ Î [a; b], где х £ х¢, выполняется только одно из двух свойств: f (x) £ f (x¢ ) либо f (x) ³ f (x¢ ).
Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.
Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х1, х2, х3 Î [a; b] и х1 < х2 < х3, для которых выполняется система неревенств:
.
Положим f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 и y3 ³ y1 (или y1 ³ y3). Тогда слой f –1(y3) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y3 (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х¢ Î [x1; x2) и f (x¢ ) = y3. В силу связности слоя f –1(y3), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f –1(y3). Но точка (x2; y2), где x¢ < x2 < x3, не принадлежит прямой y = y3, поэтому слой f –1(y3) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f –1(y3) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.
Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно, f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y¢ Î R, что слой f –1(y¢) – несвязен, т.е. f –1(y¢) = О1 О2, где О1 и О2 – непустые дизъюнктные замкнутые в f –1(y¢) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x1 Î О1, x2 Î О2 и точка х, где x1 < x < x2 и x Ï О1, x Ï О2, что
.
Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. ÿ
Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями tХ и tY соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ´ Y с топологией tХ ´ Y, образованной семейством всех множеств вида
U ´ V = 
,
и их всевозможных объединений, где U Î tХ, V Î tY и 
: X ´ Y ® Х, : X ´ Y ® Y – это проекции, причём (x; y) = x и (x; y) = y. Множества вида U ´ V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.
Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Í Х образ f (О) является открытым множеством в Y.
Лемма 2.2. Проекции : X ´ Y ®Х и : X ´ Y ® Y являются непрерывными открытыми отображениями.
Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества 
= G ´ Y по определению топологии произведения открыт в X ´ Y. Тогда проекции и будут непрерывными отображениями.
Пусть точка z Î X ´ Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность
точки z, где U – окрестность точки 
, V – окрестность точки 
. Точка является внутренней точкой множества U, а значит и множества 
. Аналогично, точка – внутренняя точка множества 
. Следовательно, множества и открытые, и проекции и – открытые отображения. ÿ
Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция : X ´ Y ® Y является замкнутым отображением.
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим слой 
= {(x; y): x Î X} = X ´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x; y) слоя Ì X ´ Y и её элементарную окрестность
G 
,
где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество . Пусть 
– это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие 
, причём 
Ì О, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть
U = 
,
где Оi j = (Gi j). Тогда
Í Ì О,
т.е. проекция является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением. €
Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция : X ´ Y ® Y является связным отображением.
Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой 
= = Y ´ {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому слой 
также связен. Предположим, что отображение несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох точки х, что трубка является несвязной для всякой окрестности U Í Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U. Для неё найдутся непустые открытые в 
множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Æ и О1 О2 = . Слой 
связен и 
, отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О1, либо в О2.
Рассмотрим произвольную точку w1 Î О1. Образ этой точки 
= х1 Ì U. Слой 
Ì О1 О2 = , и точка w1 принадлежит множеству О1 и слою , поэтому Ì О1 (т.к. О1 ∩ О2 = Æ). Поскольку w1 – произвольная точка множества О1, то 
. Аналогично, 
.
Множества О1 и О2 дизъюнктные открытые в и – открытое отображение. Следовательно, (O1) и (O2) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и (O1) (O2) = U. Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция является связным отображением. €
Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ´ Y является связным множеством.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О1 О2, где О1 и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y множества.
Возьмём произвольную точку z Î О1. Образ этой точки (z) = x. Слой 
Ì О1 О2 связен, и точка х Î О1, следовательно, Ì О1 (так как О1 О2 = Æ). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О1 и О2 – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y, и отображение – открытое, следовательно, множества 
и 
– непустые дизъюнктные открытые в Y и = Y. Это противоречит связности Y.
Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция : X ´ Y ® Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X ´ Y – связное множество.
Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в топологическое произведение Y ´ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ´ F и)
f = prY i,
где prY : Y ´ F® Y – проекция на сомножитель Y.
Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.
Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции prY : Y ´ F® Y. Пусть y Î Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Í Oy точки у трубка f –1(U) несвязна. Положим f –1(U) = О1 О2, где О1, О2 – непустые дизъюнктные открытые в f –1(U) множества и U Í Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y.
Пусть х Î f –1(y). Тогда х Î О1 или х Î О2. Допустим х Î О1. Найдётся такое открытое в Y ´ F множество G1, что О1 = G1 X. По определению топологии, в Y ´ F найдутся окрестность Vx Í U точки y и открытое в F множество W такие, что
х Î 
= Vx ´ W Í G1.
Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х Î f –1(y) Í О1.
Пусть х¢ – произвольная точка из (Vx ´ W) Х. Тогда х¢ Î О1 и
f –1(f (x¢ )) Í О1.
Следовательно, О1 содержит всякий слой f –1(y¢ ), где y¢ Î Vx (в силу послойной связности f ).
Таким образом, для каждой точки х Î О1 найдётся окрестность Vx Í U точки f (x), что х Î f –1(Vx ) Í О1. Поэтому
.
Следовательно, множество 
является окрестностью точки y и O1 = f –1(V1). Аналогично устанавливается, что O2 = f –1(V2), где V2 непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V1 
V2, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y. €
Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f –1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ´ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = 
Î Y и слой f –1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) Î X ´ Y, где х = 
, y = . Тогда слой f –1(y) \ {z} – несвязное множество. Отображение f = prY при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f –1(U) – линейно связна, следовательно, трубка f –1(U) – связна.
2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где
и
.
Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:
для любой точки y Î Y.
Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x Î X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Ì Х \ Т.
Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y1 Î Y, g(x) = y2 Î Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что
Оy1 
Оy2 = Æ. {*}
Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f –1(Oy1), g–1(Oy2) – открытые в Y и x Î f –1(Oy1), x Î g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1) g–1(Oy2) точки х. Предположим, что Ох Т ≠ Æ, т.е. существует такая точка х1 Î Ох, что f (x1) = g (x1) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy1, так и окрестности Oy2, что противоречит условию {*}. ÿ
Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ´ Y является компактным множеством.
Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω = 
– открытое покрытие пространства X ´ Y. Рассмотрим слой
= Y ´ {x}.
Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия
Ω(х) = 
Í Ω,
(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) = 
. Объединение
U(x) = 
(x) (**)
есть открытое множество, содержащее слой 
, и prX – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что 
Í U(x). Семейство {Оx: x Î X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω = 
образует конечное подпокрытие пространства X ´ Y. ÿ
Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство. По определению послойного произведения, ( 
, 
– непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ´ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ g является связным. €
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым множеством.
Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки пространства X ´ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 ¹ x2 или y1 ¹ y2. Пусть y1 ¹ y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1 Oy2 = Æ. Проекция prY является непрерывным отображением, поэтому множества 
и 
– открытые в X ´ Y и непересекающиеся. Причём, z1 Î и z2 Î . Следовательно, пространство X ´ Y – хаусдорфово по определению.
Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ´ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f 
prX = i prY = prY}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ´ Y. Пусть (x1; y1) Î T – произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = f prX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) Î Т выполняется неравенство prX (x1; y1) ¹ prX (x2; y2) при х1 ¹ х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ´ f (X) Í X ´ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т 
Х, и f = prY 
. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1: X ® T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X ´ Y, и f = prY d. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению.
Литература.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.
2. Александров П.С. Геометрия.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.
| |
 |
| |
| Рис. 5. |
| Рис. 6. |
Положим f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 и y3 ³ y1 (или y1 ³ y3). Тогда слой f –1(y3) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y3 (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х¢ Î [x1; x2) и f (x¢ ) = y3. В силу связности слоя f –1(y3), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f –1(y3). Но точка (x2; y2), где x¢ < x2 < x3, не принадлежит прямой y = y3, поэтому слой f –1(y3) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f –1(y3) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно, f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y¢ Î R, что слой f –1(y¢) – несвязен, т.е. f –1(y¢) = О1
Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. ÿ
Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.
Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.
2.4. Произведения пространств и проекции
Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями tХ и tY соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ´ Y с топологией tХ ´ Y, образованной семейством всех множеств вида
U ´ V =
и их всевозможных объединений, где U Î tХ, V Î tY и
Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Í Х образ f (О) является открытым множеством в Y.
Лемма 2.2. Проекции
Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества
Пусть точка z Î X ´ Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность | |
| Рис. 7 |
|
|
Лемма 2.3. Пусть пространство Х является компактным. Тогда проекция
Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим слой
G
где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество
U =
где Оi j =
т.е. проекция
Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция
Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой
Рассмотрим произвольную точку w1 Î О1. Образ этой точки
Множества О1 и О2 дизъюнктные открытые в
Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ´ Y является связным множеством.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О1
Возьмём произвольную точку z Î О1. Образ этой точки
Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция
Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в топологическое произведение Y ´ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ´ F и)
f = prY
где prY : Y ´ F® Y – проекция на сомножитель Y.
Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.
Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции prY : Y ´ F® Y. Пусть y Î Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Í Oy точки у трубка f –1(U) несвязна. Положим f –1(U) = О1
Пусть х Î f –1(y). Тогда х Î О1 или х Î О2. Допустим х Î О1. Найдётся такое открытое в Y ´ F множество G1, что О1 = G1
х Î
Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х Î f –1(y) Í О1.
Пусть х¢ – произвольная точка из (Vx ´ W)
f –1(f (x¢ )) Í О1.
Следовательно, О1 содержит всякий слой f –1(y¢ ), где y¢ Î Vx (в силу послойной связности f ).
Таким образом, для каждой точки х Î О1 найдётся окрестность Vx Í U точки f (x), что х Î f –1(Vx ) Í О1. Поэтому
Следовательно, множество
| Рис.8. |
Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f –1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ´ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y = 2.5. Послойное произведение отображений
Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ´ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где
и
Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:
для любой точки y Î Y.
Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:
Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ´ g также является послойно связным отображением.
Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x Î X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.
Доказательство. Докажем, что множество Х \ Т открытое, т.е. для любой точки x Î X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох Ì Х \ Т.
Возьмём произвольную точку x Î X \ Т. Тогда f (x) = y1 Î Y, g(x) = y2 Î Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что
Оy1
Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f –1(Oy1), g–1(Oy2) – открытые в Y и x Î f –1(Oy1), x Î g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1)
Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ´ Y является компактным множеством.
Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω =
Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому
Ω(х) =
(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя
U(x) =
есть открытое множество, содержащее слой
Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ´ g также является связным отображением компактного пространства Т.
Доказательство. По определению послойного произведения,
Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ´ g является связным. €
Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится
Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ´ Y является хаусдорфовым множеством.
Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки пространства X ´ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 ¹ x2 или y1 ¹ y2. Пусть y1 ¹ y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1
Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.
Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ´ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): f
Литература.
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.
2. Александров П.С. Геометрия.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.
4. Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.
5. Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.
