Курсовая на тему Метод комплексных чисел в планиметрии
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-07-05Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Предисловие
В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.
§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.
1.1. Коллинеарность векторов.1.2. Коллинеарность трёх точек.
Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой.
определяет прямую, содержащую хорду АВ единичной окружности.
1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов).
Уравнение касательной
Рис.1 |
З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.
§ 2 Углы и площади
Рис. 2 |
(2.1)
(2.2)
2.2. Площадь треугольника
Рис. 3 |
З а д а ч а 2. Основание D высоты CD треугольника ABC делит сторону AB в отношении 3:1. Угол ACD вдвое больше угла BCD. Вычислить углы треугольника ABC.
§ 3 Многоугольники
3.1. Подобные треугольники.где
где
Если
3.2. Критерий правильного треугольника.
Треугольник ориентирован положительно:
Треугольник ориентирован отрицательно:
3.3 Правильные многоугольники.
где k принимает значения
Корням уравнения
Рис. 5 |
соответствуют вершины
Рис. 6 |
З а д а ч а 4. На сторонах
Рис. 7 |
З а д а ч а 5. Точка
Рис. 8 |
З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.
Рис. 9 |
З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности,
неё правильных n-угольников. Докажите, что
§ 4 Прямая и окружность
4.1. Уравнение прямой.Пусть коэффициенты a и b не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению:
Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах. Окружность с центром S(s) и радиусом R имеет уравнение
где z – координата переменной точки окружности.
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда
есть уравнение окружности с центром
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам. Пусть окружность
относительно
Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (A,R) и (B,r), заданные соответственно уравнениями:
или
Рис.10 |
З а д а ч а 9. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC дана произвольная точка P. Докажите, что окружности, описанные около треугольников APC и BPC, ортогональны.
Рис. 11 |
Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС:
или
После раскрытия определителя получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности РAС имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы
Таким образом, окружности РАС и РВС являются ортогональными.