УКООПСПІЛКА
Полтавський університет споживчої кооперації України

Кафедра математичного моделювання та соціальної інформатики

КУРСОВИЙ ПРОЕКТ
з дисципліни ”Чисельні методи”
на тему:
Метод Галеркіна пошуку розв’язку лінійної крайової задачі
  Захищена на                         Виконав студент групи СІ-31
 „_______________”               спеціальності „Соціальна інформатика”
„____” _____________200_ р.          Буцький Владислав Володимирович
Полтава – 2007

ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1. Теоретична частина
1.1. Постановка задачі
1.2. Математична модель
РОЗДІЛ 2. Практична частина
2.1. Алгоритм методу
2.2. Блок-схема алгоритму
2.3. Тестовий приклад
ВИСНОВОК
СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ
Додаток А

Вступ
 
В зв’язку з потребами нової техніки інженерна практика наших днів все частіше і частіше зустрічається з математичними задачами, точне розв’язання яких досить складне або невідоме. В цих випадках зазвичай вдаються до тих чи інших наближених обчислень. Ось чому наближені і чисельні методи математичного аналізу набули за останні роки широкого розвитку і отримали виключно важливе значення.
  Зростання продуктивних сил в ХХ сторіччі зумовило рішучий прогрес в області обчислювальної техніки, що привів до створення сучасних електронних обчислювальних машин з пограмним управлінням. Це необмежено розширило обчислювальні можливості математики: задачі, для вирішення яких при ручному обрахунку були потрібні роки, зараз розв'язуються за декілька годин, причому безпосередній обрахунок займає хвилини. У свою чергу, нові обчислювальні засоби викликали переоцінку відомих методів розв’язання задач з погляду доцільності їх реалізації на сучасних обчислювальних машинах і стимулювали створення більш ефективних прийомів.
Сучасні електронні обчислювальні машини дали в руки дослідників ефективний засіб для математичного моделювання складних задач науки і техніки. Саме тому кількісні методи дослідження в даний час проникають практично у всі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобом пізнання. Роль математичних моделей далеко не вичерпується проблемою пізнання закономірностей. Їх значення безперервно зростає у зв'язку з природною тенденцією до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. В процесі пізнання і в прагненні створити детальну картину досліджуваних процесів ми приходимо до необхідності будувати все більш складні математичні моделі, які у свою чергу вимагають універсального тонкого математичного апарату. Реалізація
математичних моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою методів обчислювальної математики, яка безперервно удосконалюється разом з прогресом в області електронно-обчислювальної техніки. Всяка редукція задач
математичної фізики або техніки зрештою звичайно зводиться до рівняння алгебри тієї або іншої структури. Тому предмет обчислювальної математики, як правило, пов'язаний з методами зведення задач до систем рівнянь алгебри і їх подальшого розв’язання.
Чисельні методи сьогодні  - один з найпотужніших математичних засобів розв’язування задач. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо постійно, наприклад, добуваючи квадратний корінь на аркуші паперу. У той час є задачі, де без достатньо складних чисельних методів не можна було б отримати відповіді; класичний приклад – відкриття Нептуна по аномаліях руху Урана.
Чисельні методи є основним інструментом розв’язання сучасних прикладних задач. Аналітичний розв’язок тієї або іншої задачі є швидше виключенням, ніж правилом через складний і наближений  характер досліджуваних моделей. От чому чисельний аналіз математичних моделей - метод, алгоритм, програма, обчислювальний експеримент - є в сьогоденні актуальним і найбільш ефективним апаратом конструктивного дослідження прикладних проблем.

РОЗДІЛ 1. Теоретична частина
1.1           Постановка задачі
Крайова задача – це задача знаходження власного роз’язку системи:
        ,
на відрізку , в якій додаткові умови накладаються на значення функцій  більше ніж в одній точці цього відрізка. Очевидно, що крайові задачі можливі для систем порядку не нижче другого.
Свою первинну назву цей тип задач отримав з найпростіших випадків, коли частина додаткових умов задається на одному кінці відрізка, а інша частина – на другому (тобто тільки в точках х=а і х=b). Прикладом є задача знаходження статистичного прогину навантаженої струни із закріпленими кінцями
                                  ,   ,    ;             (1)
тут  - зовнішнє згинаюче навантаження на одиницю довжини струни, поділене на пружність струни.
Для рівнянь або систем більш високих порядків, де число додаткових умов більше за два, постановки крайових умов більш різнобічні. При цьому можливі випадки, коли частина умов задана у внутрішніх точках відрізка  [a, b]; їх нерідко називають внутрішніми крайовими умовами. Наприклад, статистичний прогин навантаженого пружного бруска задовольняє рівнянню четвертого порядку

                                             ,      ;           (2)
якщо цей брусок лежить в точках  ,  , на опорах, то додаткові умови мають вид
,   ,  ,
тобто всі вони задані в різних точках.
Самі додаткові умови можуть зв’язувати між собою значення кількох функцій в одній точці (або навіть в різних точках); тоді для системи р-го порядку вони приймуть вигляд
,
,      .
Існують задачі з ще більш складнішими за формою крайовими умовами, наприклад, умовами нормування
,
звичними в квантовій механіці, і т. д.
Не дивлячись на різноманітність форм крайових умов, крайові задачі     розв'язуються в основному одними і тими ж чисельними методами, що виправдовує їх об'єднання в один тип. Зупинимося на методах розв’язування.
Знайти точний роз’язок крайової задачі в елементарних функціях вдається рідко: для цього треба знайти загальний розв’язок системи (1) і зуміти явно визначити з крайових умов значення сталих, що входять у нього.
До наближених методів розв’язку крайових задач відносяться розклад в ряди Фур’є, методи Рітца і Галеркіна. Ряди Фур’є застосовуються до лінійних задач. Інші два методи застосовуються і до деяких нелінійних задач.
Для чисельного розв’язку крайових задач використовують метод стрільби і різницевий метод. Метод стрільби базується на зведенні крайової задачі до деякої задачі Коші для тієї ж системи рівнянь. В різницевому методі задача наближено заміняється розв’язком алгебраїчної системи рівнянь з досить великим числом невідомих. У випадку нелінійних задач обидва методи є ітераційними; при цьому побудова ітераційних процесів, що добре збігаються, виявляється достатньо складною.

Математична модель задачі
Методи приблизного розв’язання поставлених крайових задач можна розбити на дві групи: різницеві методи і аналітичні методи. До різницевих методів розв’язку лінійної крайової задачі відносять: метод скінченних різниць  для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, метод прогонки. До аналітичних методів – метод Галеркіна, метод колокацій.
Метод скінченних різниць дозволяє знайти наближений розв’язок крайової задачі у вигляді таблиці, а аналітичні методи дають можливість знайти наближений розв’язок лінійної крайової задачі у вигляді аналітичного виразу. Розглянемо метод Галеркіна для знаходження наближеного розв’язку лінійної крайової задачі.
Метод Галеркіна базується на одній теоремі з теорії загальних рядів Фур’є.
Теорема. Нехай  - повна система функцій з ненульовою нормою, ортогональних на відрізку [a, b]. Якщо неперервна функція ортогональна на відрізку [a, b] до всіх функцій , тобто
                                       (n = 0, 1, 2, . . .),                    (3)
то  при
Доведення. Розглянемо ряд Фур’є функції  відносно заданої системи ортогональних функцій
                                                                                   (4)
Як відомо, коефіцієнти Фур’є     визначаються за формулою
     де
В силу умови (3) маємо
                                                       (n = 0, 1, 2, . . .).                  (5)
Для повної системи  у відношенні до будь-якої неперервної функції  виконана рівність повноти
                                                                         (6)
Звідси, враховуючи рівність (5), маємо

і, отже,  при
Зауваження. З формули (4) випливає, що якщо неперервна функція  
ортогональна до кінцевої системи функцій  (тобто  то

при  достатньо великому N. В цьому випадку функція  в середньому на відрізку [a, b] буде як завгодно малою. При додаткових обмеженнях звідси випливає, що  також малий на відрізку    
Перейдемо до викладу метода Галеркіна. Нехай маємо лінійну крайову задачу
                                                                                                (7)
де  при наявності лінійних крайових умов
                 (8)

Оберемо кінцеву систему базисних функцій     ( QUOTE    = 0, 1, . , n), що складають частину деякої повної системи, причому потурбуємося, щоб функція  задовольняла неоднорідні крайові умови
    
а функції   ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n)  задовольняли б однорідним крайовим умовам
    ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n).
Розв’язок крайової задачі (7) – (8) будемо, як звичайно, шукати у вигляді
                                                                                   (9)
При нашому підборі базисних функцій  функція , що визначається формулою (9), очевидно, задовольняє крайовим умовам (8) при будь-якому виборі коефіцієнтів . Вираз (9) підставимо у диференціальне рівняння (7), що дає нев’язність

Для точного розв’язку у нашій крайовій задачі функція ; тому для отримання наближеного розв’язку, близького до точного, нам вигідно підібрати коефіцієнти  так, щоб функція  була в якомусь сенсі малою.
Згідно методу Галеркіна вимагаємо, щоб нев’язність   була ортогональною до базисних функцій  ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n), що при достатньо великому числі цих функцій, в силу наведеного вище зауваження, забезпечує малість нев’язності в середньому.
Наскільки цей наближений розв’язок близький до точного, в загальному випадку питання залишається відкритим. Таким чином, для визначення коефіцієнтів  ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n) приходимо до системи лінійних рівнянь

або, більш детально,
                             (10)
( QUOTE    = 1, 2, . . . , n).

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Алгоритм методу
 
 1. Визначаємо з даного диференціального рівняння другого порядку функції
       .
2. Обираємо систему базисних функцій    ( QUOTE    = 0, 1, . . . , n) так, щоб функція  задовольняла крайовим умовам:       а функції    ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n) задовольняли б однорідним крайовим умовам      ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n).
 3.  Знаходимо   ( QUOTE    = 0, 1, 2, 3, 4).
 4. Використовуючи позначення
, 
обраховуємо коефіцієнти системи:
           ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n).
5. Виконуючи необхідні скорочення приходимо до системи з якої визначаємо  ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n) і отримуємо розв’язок вигляді:
.

2.2. БЛОК-СХЕМА АЛГОРИТМУ
Метод Галеркіна

Початок

Введення    ( QUOTE    = 0, 1, . . . , n)

Введення

 

                                                                 

Перевірка

                Ні
 

                                                Так

Перевірка     ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n).

                                                                                            Ні
                                                                           
 

А

                                                              Так

А

	Обрахунок   ( QUOTE    = 0, 1, 2, 3, 4)

 

        

Обрахунок  ( QUOTE    = 1, 2, . . . , n)

	Обрахунок ,

 

Кінець

.

 


2.3. Тестовий приклад
Методом Галеркіна знайти наближений розв’язок рівняння,
                                          ,                         (11)
що задовольняє крайовим умовам
                                              .                              (12)
Розв’язання:
Оберемо в якості системи базисних функцій   ( 0, 1, 2, 3, 4) наступні тригонометричні функції:
,   ,   ,   ,   .
Ці функції лінійно незалежні на відрізку , причому функція  задовольняє крайовій умові (12), а інші функції – нульовим крайовим умовам. Будемо шукати розв’язок у вигляді
.
Знаходимо   ( QUOTE    = 0, 1, 2, 3, 4):
                            ,     
                            ,
                            ,     
                            ,     
                             ,
                             . 
Обраховуємо коефіцієнти системи (10), використовуючи наступні позначення:
,    ,
і враховуючи при  цьому ортогональність системи тригонометричних функцій  
(1, , , , , . . .)
                  ,    ,
                  ,   ,   ,   ,
                  ,   ,   ,    ,
                  ,   ,  ,   ,
                  ,   ,   ,   .
Виконуючи відповідні скорочення, приходимо до системи

з якої одержуємо ,  ,  . Таким чином маємо
.
В таблиці 1 наведено для порівняння значення отриманого наближеного розв’язку і точного розв’язку 
Наближений і точний розв’язок задачі  (11),  (12)
Таблиця 1:

	-	0
	1.429	2	3.714
	1.368	2	3.718

Приклад розв'язання крайової задачі методом Галеркіна в середовищі Mathcad

Постановка задачі: