Курсовая на тему Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с суще

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-07-11

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024

Министерство образования и науки Украины
Одесский Национальный Университет им. И.И. Мечникова
Физический факультет
Кафедра теплофизики
Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией компонентов
   «допустить к защите»                                        Курсовая работа
зав. кафедры теплофизики                                 студентки IV курса
профессор_____Калинчак В.В.                         физического факультета
   «__» _________ 2004г.                                      Кобзаренко Л.А.
                                                                        Научный руководитель
                                                                        доцент Маренков В.И.

Одесса   2004 г.

Содержание

Введение

1.                Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме
с конденсированными частицами
         1.1.    Ионизация в идеальном газе и плазмозоле. Система идентичных частиц в буферном газе. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки
2.                Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских
систем
2.1.         Объемный заряд и потенциал в плазмозоле. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы
3.    Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы
       3.1.    Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона
       3.2.     Режим слабого экранирования

Выводы

Список литературы

Введение

Термодинамика рабочих тел МГД-генераторов на твердом топливе, электрические воздействия на процесс горения с целью его интенсификации и управления, высокотемпературная конденсация оксидов в продуктах сгорания металлизированных топлив, проблемы защиты окружающей среды, поведение пылегазованных образований в атмосфере и космосе, плазмохимия – все это далеко не полный перечень областей науки и техники, где требуется знание свойств плазмы с КДФ в различных состояниях.
Плазма с КДФ – ионизированный газ, содержащий малые частицы или кластеры, при чем эти частицы могут влиять на некоторые свойства плазмы.
В области температур Т

, характерной для приложений НТП с КДФ, важную роль играют процессы переноса заряда; поглощение электромагнитных волн в гетерогенной плазме непосредственно зависит от ее ионизации. Явление переноса – это кинетические процессы, но как известно из статистической физики [1] и физической кинетики [2], их скорости определяются градиентами соответствующих величин, т.е. в конечном счете их полем.
Существующие модели ГПС основываются на известных подходах (Саха, Дебая, а также, появившихся в последнее время, ячеечных),которые выходят из предположения о малости потенциальных взаимодействий ГПС, сравнительно с кинетической энергией теплового движения частиц. Однако, как показывает эксперимент в плотной и высокотемпературной ГПС ионизации макрочастиц и газовой фазы становится существенней, и в результате потенциальная энергия заряда плазм в самосогласованном поле сравнивается больше kT. В этом случаи применение результатов разработанных ранней моделью становится не корректным и требуется их усовершенствование с целью охватить интересную для приложения область высоких концентраций и температур. В работе рассматривается “аналитическая” продолжение статистической ячеечной модели плазмы на эту область термодинамических параметров. В первом разделе рассмотрены существующие подходы к описанию состояния ГПС. Второй раздел посвящен вопросам модификации и распространению статистической модели квазинейтральных ячеек на область высоких температур и концентраций ГПС.

Идеально-газовый подход при описании ионизации в плазме с
конденсированными частицами.

Ионизационное равновесие идеальных газов в термодинамических равновесных системах определено термодинамическими параметрами газа (Т, Р, V) и рассчитывается методам статистической физики. В системах, находящихся в равновесии, средние концентрации газовых частиц с течением времени не изменяются. Это значит, что скорости прямых и обратных химических реакций равны и выполняется закон действующих масс [1]. Рассматривая равновесную термическую ионизацию идеальных газов как баланс различных реакций ионизации и рекомбинации, Саха получил выражение для константы ионизационного равновесия в разреженном газе [3]. В настоящей главе рассмотрены основные физические аспекты такого подхода и его распространение на системы, содержащие частицы конденсированной дисперсной фазы (КДФ).
Ионизация в идеальном газе и плазмозоле.
Согласно определению идеальный газ – это система, состоящая из точечных молекулярных частиц, взаимодействующих только при столкновении, т.е. при их сближении на расстояния, сравнимые с их собственными размерами, которые пренебрежимо малы по сравнению с межчастичными расстояниями.
Если молекулы газа ионизовать, то в газовой фазе появляются заряды – электроны и ионы, которые взаимодействуют между собой кулоновскими силами. Эти силы дальнодействующие [4], и каждый атомарный заряд (электрон, ион) в данном случае подвергается действию всех других зарядов в системе. Однако, если его электростатическое взаимодействие с полем, создаваемым в месте локализации этого заряда всеми другими зарядами системы, мало по сравнению со средней кинетической энергией его поступательного движения (κТ), свойства ионизованного газа приближаются к свойствам идеального, а поправки на неидеальность также оказываются малыми [1, с.264].
Моделирование равновесных электрофизических свойств газа направлено прежде всего на получение зависимостей концентрации заряженных частиц от определяющих параметров системы – температуры Т, исходных концентраций компонентов n_j (j нумеруют сорт молекул и атомов, потенциалы ионизации компонентов I_aj).
Действительно, с точки зрения практического использования, электронная и ионная концентрации в газе – наиболее интересные величины, так как ими определяются процессы переноса заряда. Газ содержит электроны, ионы, нейтральные молекулы и атомы. Характерной особенностью такого ионизованного газа является его квазинейтральность, т.е. вследствие электростатических взаимодействий в достаточно малых областях, занятых газом, наблюдается компенсация положительных и отрицательных зарядов (суммарный заряд такой области с точностью до флуктуации равен нулю).
Квазинейтральность – основное свойство плазменных сред и частично ионизованный газ в состоянии равновесия также обладает этим свойством. Согласно принципу детального равновесия, каждый канал ионизации (процесс, приводящий к появлению свободных электронов в объеме) скомпенсирован противоположным ему процессом рекомбинации так, что средние концентрации атомарных зарядов сохраняются. Таким образом, в газовой плазме непрерывно идут конкурирующие процессы: ионизация – рекомбинация, причем генерация и исчезновение электронов вследствие этих процессов скомпенсированы, а движение молекулярных зарядов происходит так, что в плазме наблюдается квазинейтральность. Обратимая реакция ионизации нейтрального атома:

,                                                 (1.1.1)
где А – нейтральный атом; М – произвольная частица (молекула, электрон, фотон, другой атом и т.д.), А⁺ - положительный ион, е^- - электрон.
    Аналогичным образом можно записать все прочие реакции, сопровождающиеся генерацией и исчезновением заряженных частиц в плазме. Для реакции (1.1.1) условие равновесия принимает вид

, (1.1.2)
где μ_а, μ_i, μ_e-химические потенциалы соответственно атома, иона и электрона, μ_m входят справа и слева в равенство (1.1.2) и могут быть сокращены.
Пренебрегая взаимодействием между компонентами газовой плазмы, химический потенциал компонента α определим по формуле для идеального газа [1]:

, (1.1.3)
где S_α – статистическая сумма;

; (1.1.4)

- число частиц сорта α в объеме плазмы V.
В (1.1.4) суммирование распространено на все состояния n частиц сорта α; q_αn – статистический вес, а множитель exp(-E_αn/kT) определяет относительную вероятность состояния частицы с энергией E_αn (величина E_αn должна отсчитываться от общего уровня энергии группы частиц, участвующих в рассматриваемой реакции).`
Подставляя (1.1.3) в ( 1.1.2), получаем условие равновесия

или

. (1.1.5)

Уточним (1.1.4) для статистических сумм S (для простоты индекс α опускаем). Входящая в (1.1.4) полная энергия Е частиц слагается из энергии внутренних степеней свободы

_j и энергии поступательного движения К. следовательно, (1.1.4) можно записать следующим образом:

, (1.1.6)
где

означает суммирование по внутренним состояниям, а

- по скоростям.
Выделив энергию основного состояния частицы ε₀, представим первую из сумм (1.1.6) в виде

, (1.1.7)
где Q – “внутренняя” статистическая сумма.
Поскольку энергия ε₀ отсчитывается от общего уровня системы, то, очевидно, разность энергии системы электрон – ион до и после ионизации равна энергии ионизации атома, т.е.

. (1.1.8)
Именно эта разность энергий (потенциал ионизации атома) входит в выражение для отношения статистических сумм (1.1.5).
Внутренние статистические суммы атомов и ионов можно определить следующим образом [5, с.102]:

, (1.1.9)
где квантовые числа l и s определяют орбитальный момент количества движения и спин. При kT<Δε₁ (что обычно выполнено для низкотемпературной плазмы(НТП)) члены суммы (1.1.9) очень быстро уменьшаются. При расчетах для атомов в этой сумме можно ограничится двумя членами, для ионов – одним. Электроны внутренней структуры не имеют, поэтому их внутренний статистический вес Q=2, он соответствует двум направлениям спина.
Статистическую сумму, связанную с поступательными степенями свободы, определим, основываясь на квазиклассическом приближении квантовой механики [6, с.198]. Размер шестимерной ячейки, соответствующей одному состоянию, находим из соотношения неопределенности

. (1.1.10)

Найдем число состояний, приходившихся на весь фазовый объем системы, отвечающий интервалу скоростей

,во всем объеме плазмы V:

. (1.1.11)
Подставляя (1.1.11) в выражение для статистической суммы

, получаем

(1.1.12)
Заменяя суммирование по скоростям интегрированием, находим

(1.1.13)
Используя полученное выражение для частиц всех сортов, участвующих в реакции (1.1.1), и учитывая (1.1.8), преобразуем (1.1.5) к виду

(1.1.14)
Эта формула, определяющая константу ионизационного равновесия, называется формулой Саха. По аналогии с предыдущим можно получить цепочку уравнений Саха для последовательности степеней ионизации атома, т.е. для реакций

,
где К – кратность ионизации. При этом в формулах Саха

(1.1.14^’)
будут фигурировать потенциалы ионизации I_k, которые равны энергии ионизации иона с зарядом Кe. Поскольку значения I_kдля К>1 быстро возрастают , в области температур 1000…3000 К, характерной для низкотемпературной плазмы, будет в основном наблюдаться однократная ионизация атомов. Закон сохранения числа частиц и заряда α определенного сорта совместно с цепочкой уравнений Саха (1.1.14^') представляет замкнутую систему уравнений, описывающую ионизационное равновесие в газовой плазме.
В качестве примера рассмотрим ионизацию атомов калия в аргоне. При неизменной температуре Т плазмы повышение исходного содержания атомов калия n_A приведет к увеличению равновесной плотности электронов в плазме. Поскольку

, в пренебрежении более высокими степенями ионизации атомов калия запишем систему ионизационных уравнений:

(1.1.15)(1.1.15’)(1.1.15’’)
где (1.1.15) – уравнение Саха для однократной ионизации; (1.1.15’) – закон сохранения числа частиц (исходное содержание присадки калия в результате реакций ионизации не меняется); (1.1.15’’) – закон сохранение заряда (концентрация электронов в системе определяется числом ионизованных атомов калия).

Вводя обозначение

(1.1.16)
и используя (1.1.15’) и (1.1.15’’), преобразуем (1.1.15) к виду

. (1.1.17)
Последнее уравнение имеет очевидное решение

, (1.1.18)
которое и определяет однократную ионизацию атомов калия в плазме по Саха.
На рис.1. показаны расчетные зависимости концентрации электронов в НТП, образованной атомами аргона и калия для температур плазмы Т= 1000, 2000, 3000 К, от исходного содержания атомарного калия n_A.
Источниками электронов в высокотемпературном электронейтральном газе могут быть и частицы КДФ с малой работой выхода электронов W. В этом случае появляется специфическая плазменная среда – плазмозоль [7], т.е. система нейтральный молекулярный газ с высоким потенциалом ионизации + свободные электроны, эмиттированные частицами КДФ + заряженные макрочастицы, обменивающиеся электронами с газовой фазой. Отличительные черты такой системы: возможность приобретения частицами КДФ больших (макроскопических)

Рис.1. Ионизация атомов калия в аргоне (концентрационная зависимость)

зарядов, наличие у макрочастиц собственного объема, сравнимого с размерами микронеоднородностей в системе, фактически всегда наблюдаемая полидисперсность КДФ.
В связи с широким применением гетерогенных плазменных сред в ряде современных областей энергетики(МГД–генераторы на твердом топливе, управление процессом горения [8]) и технологии (высокотемпературные гетерогенные процессы [9], плазменное напыление [10] и др.), описание термоионизации в НТП с КДФ вызывают в настоящее время значительный интерес [11]. Возможность воздействия на ионизацию среды посредством частиц КДФ была доказана в экспериментах по измерению концентрации электронов в плазме углеводородных пламен [12,13].
Система идентичных частиц в буферном газе.
Наиболее простая модель плазмозоля [14] предполагает, что имеется “ансамбль” идентичных сферических частиц КДФ, обменивающихся электронами с химически нейтральным буферным (несущим) газом. Система неограниченна, и температура всех подсистем: газа, КДФ, электронов – постоянна и равна Т. Равновесная реакция ионизации макрочастицы с зарядовым числом

(1.2.1)
как и ранее, описывается методами расчета равновесных химических систем. Поскольку конденсированные частицы (КЧ) в такой модели представляют собой фактически гигантские молекулы, то в константы равновесия реакций (1.2.1) (соответствующие константы Саха) должна войти разность энергии до и после ионизации КЧ. Эта размерность и является потенциалом ионизации m – кратно заряженной частицы КДФ, который в моделях выбирается равным

, (1.2.2)
где W – работа выхода с поверхности вещества частиц; e – заряд электрона; r_p – радиус сферической частицы.
Выбор потенциала ионизации частицы КДФ в виде (1.2.2) фактически означает предположение, что электрон, покидающий КЧ, затрачивает энергию, равную работе выхода с поверхности вещества незаряженной частицы, плюс работа, связанная с кулоновским взаимодействием между эмиттирующей КЧ и излучаемым электроном. Она равна кулоновской энергии электрона на поверхности КЧ только для уединенных макрочастиц или для достаточно разреженных систем. Действительно, в этом случае можно пренебречь эффектами объемного заряда и их влиянием на работу по удалению электрона.

На основе идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’), (1.1.15), (1.1.15’), (1.1.15’’)], получим соотношение для концентраций КЧ:

(1.2.3)
где Q_m, Q_m_-1 – статистический вес соответственно m- и (m-1) – кратно ионизованной частицы КДФ; m_e – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана.
Обозначив n₀ концентрацию нейтральных КЧ в системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Q_m/Q_m_-1=1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов термоэмиссии электрона с поверхности идентичных сферических частиц с зарядами q_m_-1=(m-1)e, где m = 1, 2, 3, …, :

                          (1.2.4)

В уравнениях (1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции

. Выражая из m – го уравнения

с помощью

, которое в свою очередь, можно выразить

из (m-1) – го уравнения, и так далее, продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем

. (1.2.5)

После некоторых преобразований произведение

в последней формуле запишем так:

. (1.2.6)
В данном случае введены обозначения

(1.2.7)
Аналогично для отрицательных степеней ионизации дисперсных частиц получим:

(1.2.8)
По последнему уравнению (1.2.8) найдем

. Выразим далее

из предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для

. Продолжив, как и ранее, этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим

. (1.2.9)
Уравнения (1.2.5) и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с концентрациями m –кратно ионизованных положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда

(1.2.10)
и условием сохранения полного числа КЧ в плазмозоле

(1.2.11)
(n_p – концентрация частиц КДФ) они позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число:

(1.2.12)
и относительную концентрацию электронейтральных макрочастиц в системе

. (1.2.13)
Как показал Саясов, соотношения, аналогичные (1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических θ – функций к удобному для математического анализа виду:

(1.2.14)

(1.2.15)

Здесь

(1.2.16)
m=1,2,… .
На основе таблиц θ –функций построены зависимости lg(n_e/K) от lg(n_p/K) при

Lg(T)
   4,42

    3,42
    2,42
    1,42
    0,42

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
lg(r_P)

Рис.2.Область применимости приближения Эйнбиндера в координатах lg(r_p), lg(T)

различных значениях параметра σ², охватывающие достаточно широкий диапазон изменения размеров КЧ r_p и температур Т монодисперсного плазмозоля.
После некоторых преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для высоких степеней ионизации частиц.
На рис.2 в координатах (lg r_p, lg T), изображена область применения формулы

(1.2.17)
к описанию ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек плоскости (r_p, T), соответствующее заштрихованной области I, выделяет состояния плазмозоля, для которых с относительной погрешностью

применима приближенная формула Эйнбиндера (1.2.17).
Эта формула является следствием идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь. Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут аппроксимироваться идеально-газовым приближением).
Область II на рис.2, ограниченная координатными осями и линией ρ=1 (линия I), соответствует состояниям плазмозоля, которые = 2πσ² ≤ 1, так что exp(-πρ) ≤ 0.1 и в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d/dy(lnθ₃(y, ρ)) удобнее представить в виде разложения по параметрам y΄ и ρ´ [15, с.96]:

(1.2.18)
Распределение частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m. Оно совпадает с нормальным (гауссовским) распределением [16], в котором σ имеет смысл дисперсии распределения.
В случае малой дисперсии σ²<<1 или ρ≤1, т.е. состояний плазмозоля, соответствующих точкам области II, имеем резкое распределение по зарядам и термоионизационное равновесие лимитируется основной реакцией

. (1.2.19)
Здесь

(E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации

, а средний заряд y - центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам

≤ y ≤

. При высокой степени ионизации частиц n_e/n=z>>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров r_p, n_p и значение y

z. Причем связь между n_e– средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)

(1.2.20)
где

.
В случае сильной ионизации частиц

, так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze.
В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме n_e, так и способствовать ее понижению.

1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.
Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы; каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд z_e; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.
В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q=z_e) идентичных сферических частиц радиуса r_p с работой выхода W. Связь между концентрацией электронов n_e в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой

заменено

. (1.3.1)
Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов n_e. Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них формулу Саха (см. (1.1.16)):

. (1.3.2)
Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:

(1.3.3)
Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18].
На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам r_p частиц Al₂O₃. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для n_A>10¹²cм^-3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (n_A<2

10⁸см^-3) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов).

n_e

n_A, м^-3

Рис.3. Зависимости n_e и Z от концентрации калия для двухфазной плазмы при Т=2·10³ К; r_p=10^-6 м, W=4.7 эВ, n_e=10¹² м^-3 (кривые 1) и n_e=10¹³ м^-3(кривые 2). Для сравнения приведены значения n_e в однофазной плазме, вычисленные по формуле Саха (кривая 3)

При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту n_e и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении n_e=n_s.
Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений

.Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для n_i в третье уравнение, из него n_eвыражаем z и определяющие параметры системы K_S, n_p, n_A; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем

     (1.3.4)
Трансцендентное уравнение   (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так:
                                       Ψ(z)=0                                                        (1.3.5)
Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики (z≥10⁴), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей.

2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских систем.
Модели дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая – Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение, что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ определяется больцмановской статистикой для концентраций заряженных частиц в самосогласованном электростатическом поле в системе координат частицы. Распределение потенциала φ и объемного заряда ρ (избыточного заряда) подчинены уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле частицы, оно составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ.
2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле.
Рассмотрим бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации (I_q>>kT), T – температура газа и частиц. В результате электростатических взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд

вблизи КЧ (фактически усредненная по времени плотность электростатического заряда среды

в системе координат КЧ) будет

(2.1.1)
где

- радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд.
В (2.1.1) предполагается, что все частицы КДФ имеют один и тот же –заряд z.
Распределение избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала

связаны уравнением Пуассона

. (2.1.2)
Электронейтральные молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае) диэлектрическая проницаемость

. Однако, для рассматриваемых давлений (р~1….10 МПа)

1 и не учитывается.
Поскольку система неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Δ в (2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки

- локальные концентрации электронов

и частиц

будут зависеть только от расстояния

. Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного заряда) получаем

. (2.1.3)
Уравнение (2.1.3) отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации

связанны с усредненными по объему концентрациями n_e и n_pбольцмановскими соотношениями:

(2.1.4)
Отметим, что (2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е. при

. В этом приближении они допускают линеаризацию.
Из уравнения (2.1.1), которое определяет избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из закона сохранения заряда для среды в целом,

zn_p-n_e=0 , (2.1.5)
находим связь между распределением усредненного электростатического потенциала

и избыточного заряда

. Окончательно приходим к дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда

в окрестности заданной КЧ:

. (2.1.6)
Посредством D² (квадрат дебаевского радиуса для плазмозоля идентичных частиц) обозначена константа

(2.1.7)
Граничные условия для дифференциального уравнения (2.1.6) можно записать из следующих физических соображений:
1) в плазмозоле идентичных эмитирующих частиц усредненная плотность объемного заряда

у поверхности КЧ должна определяться балансом потоков электронов эмиссии и прилипания (потока газовых электронов, поглощенных поверхностью КЧ);
2) на бесконечности (при r

)плотность избыточного заряда должна обращаться в нуль. Таким образом, приходим к граничным условиям Дирихле (задаются значения самой функции – плотности избыточного заряда

(r) на поверхности КЧ и вдали от нее):
θ(r)=θ

; θ(

)=0. (2.1.8)
Отбросив растущее на бесконечности частное решение (2.1.6), представим выражение для избыточного заряда θ(r) в виде

(2.1.9)
Подставляя его в уравнение электронейтральности плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем

. (2.1.10)
Таким образом, имеем трансцендентное уравнение для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного заряда

параметрически зависит от электростатического заряда z и определяется как

                               (2.1.11)
где Q – отношение статистических весов частицы p в зарядовых состояниях z+1 и z; Ф_z – работа выхода электрона с поверхности заряженной частицы радиуса r_p.
Вследствие наличия собственных размеров частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r<2r_p и поэтому объемный заряд на поверхности (при r=r_p+0) КЧ равен плотности электронной компоненты.
Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение относительно z и подставив найденное значение корня в условие электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации электронов в газовой фазе:
n_e=zn_p.                                                           (2.1.12)
Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12) полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения.
2.2. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы.
Гетерогенная плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами, характеризуется параметрами, на     основе которых можно однозначно в рамках той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических параметров (T, P, V), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации I_j парциальными давлениями компонент P_j, т.е. счетными концентрациями атомарных частиц каждого сорта n_Aj.
Основная цель описания термической ионизации в любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы (плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия. После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение

                    (2.2.1)
связывает усредненный заряд дисперсной частицы, а значит, и концентрацию электронов n_e=zn_p, со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно: температурой Т, размером частиц КДФ r_p, их концентрацией n_p (входит в определение D), работой выхода с поверхности материала частиц W.
Таким образом, исследование зависимости концентрации электронов n_eв равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, r_p, n_p, W) можно проводить на основе анализа решения (2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, n_p характеризуют систему в целом, а r_p, W определяют свойства отдельных макрочастиц. Если добавить сюда искомые параметры z и n_p, то каждая точка (Т, r_p, n_p, W, z, n_e) в пространстве параметров задачи будет определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, r_p, n_p, W) ставит в соответствие множество решений задачи (z, n_e).
Символически связь между z и определяющими параметрами запишем так:
                                 F(z, T, W, n_p, r_p)=0                                               (2.2.2)

3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы.
Расчет равновесных состояний ионизации в системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы (К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда

, (3.1)
не может быть реализован в рамках дебаевского рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну – сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две – цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем случае могут отличаться сортом.
Главная особенность этих моделей в сферически симметричном случае – предположение о том, что весь объем плазмы можно заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной нелинейности в правой части (2.1.2).
Статистический подход к моделированию электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса электронейтральным объемом, в котором КЧ находится в последовательные моменты времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно работе Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь объем, занятый гетерогенной плазмой.
3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона.
В состоянии термодинамического равновесия распределение потенциала

и объемного заряда

тесно связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно найдены оба распределения: заряда ρ и потенциала φ. Таким образом, описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели.
В [20] предполагается, что в плазмозоле идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны + электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q=ze, z – зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по Больцману:

, (3.1.1)
где r – расстояние от центра макрочастицы; n_eb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ;

- электростатический потенциал; k – постоянная Больцмана; T – температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой, согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за экранированной электронным газом, т.е.

(3.1.2)
Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле на одну дисперсную частицу:

. (3.1.3)
Связь электронной плотности в ячейке с распределением электростатического потенциала

задается уравнением (2.1.2), которое запишем:

. (3.1.4)
Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем задачу Коши. Ее решение

параметрически зависит от концентрации электронов на границе ячейки n_eb. Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е. для r=r_p – радиусу частиц конденсата, приходим к замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме. Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую зависимость потенциала в ячейке от n_eb. Подставляя эту зависимость в распределение Больцмана (3.1.1) и учитывая, что

, можно в символическом виде записать

. (3.1.5)
Таким образом, получили трансцендентное уравнение относительной переменной n_eb. Разрешив его относительно n_eb и подставив n_eb в уравнение, выражающее факт электронейтральности ячейки, получим значение среднего заряда КЧ в плазме:

. (3.1.6)
Окончательно средняя по объему концентрация электронов в плазмозоле:

. (3.1.7)
Изложенная последовательность шагов расчета ионизации плазмозоля дает возможность строить конкретные алгоритмы числовых расчетов, предполагающих их реализацию на ЭВМ. Расчеты, приведенные в [20] реализованы на основе подпрограмм, содержащих в своей основе три основных момента: вычисление зависимости

; определение концентрации электронов на границе ячейки решением трансцендентного уравнения относительно n_eb; вычисление заряда КДФ – z и средней концентрации электронов в объеме плазмозоля – n_e. Концентрация электронов на внутренней границе ячейки в модели определяется законом термоэмиссии Ричардсона-Дешмана:

. (3.1.8)
Здесь К – коэффициент коррекции, учитывающий свойства поверхности КЧ (содержит коэффициент отражения электронов поверхностью дисперсных частиц); В=4,83·10²¹К^-3/2.
3.2. Режим слабого экранирования
Прежде чем составлять алгоритм решения задачи с термической ионизации монодисперсного плазмозоля в рамках ячеечной модели, преобразуем (3.1.1) – (3.1.8) к виду, удобному для программирования. Если нормировать значения потенциала на kT, а расстояния посредством b – радиуса ячейки, то математическую модель задачи можно записать как

(3.2.1)
где введены обозначения:

(3.2.2)
D_b – дебаевский радиус электронов, локализующихся на границе ячейки. Так как вблизи этой границы вследствие непрерывности нормированного потенциала у и его производной dy/dx они оказываются близкими к нулю, экспоненту, входящую в правую часть уравнения Пуассона (3.1.1), разложим в ряд по малому параметру (x-1):

(3.2.3)
После дважды интегрированного уравнения, вернемся к безразмерному потенциалу у (умножим выражение на 3/с и разделив на x), приходим к зависимости

(3.2.4)
Уравнение (3.2.4) определяет связь безразмерного потенциала у в ячейке с концентрацией свободных электронов на ее внешней границе n_eb, которая входит в выражение для константы с.
Режим слабого экранирования, описываемый (3.2.4), наиболее часто реализуется на практике в гетерогенной плазме (плазме с КДФ) для микрочастиц в случае, когда r_p/D_S<5. В таком режиме плотность электронов в ячейке изменяется незначительно (практически однородна), а потенциал в окрестности КЧ кулоновский, т.е.

. Таким образом, если среднее по объему значение плотности электронов

равно их концентрации на границе ячейки n_eb, имеем однородное распределение электронной компоненты и отсутствие экранирования. Малое отличие этих плотностей указывает на слабое экранирование КЧ.

Выводы
1.                       С учетом областей термодинамических параметров реально действующих плазменных устройств существующая модель идеально – газового и дебаевского подхода, должны быть уточнены и расширены на случай плотных плазменных систем с существенным вкладом электростатического взаимодействия термодинамических параметров.
2.                         Наиболее естественным образом, такое расширение может быть осуществлено для статистической ячеечной модели квазинейтральных ячеек с использованием условного разбиения пространства в не макрочастицы на две области: линейного и не линейного экранирования. В таком подходе аналитическое сопряжение двух решений на границе этих областей дает возможность сформулировать и решить задачу не линейного экранирования макрочастицы в ГПС в замкнутом виде. Полученное решение характеризуется дебаевскими ассимптотиками, а расчетные данные хорошо согласуются с имеющимся экспериментальным материалом.

Список литературы
1.                Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. – М.: Наука, 1978. –583 с.
2.                Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. –528 с.
3.                Saha M.N. Ionisation in the solar chramosphorell Philosophycal Magazin. –1920.-v.40 – P.472-488.
4.                Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. –616 с.
5.                Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. – М.: Автомиздат, 1977. –384 с.
6.                Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. –752 с.
7.                Самуйлов Е.В. Сечение прилипания электронов к сферическим частицам и теоретическая ионизация частиц // Теплофизика высоких температур. –1966. – Т.4. - №2. – с.143-147.
8.                Фиалков Б.С., Щербаков Н.Д., Акст Н.К., Беседин В.И. Использование электрофизических явлений для контроля и управления теплотехническими и технологтческими процессами // Физика горения и взрыва. – 1983. - № 5. – с. 29.
9.                Цветков Ю. В., Панфилов С. А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления. – М.: Наука, 1980. – 350 с.
10.           Boxman R.L., goldsmith S. The interaction between plasma and microparticles in a multi-cathode-spot // Vacuum arc. // G. Appol. Phys. –1981. –V.52. N1. P151 157/
11.           Красников Ю. Г., Кучеренко В. И. Термодинамика не идеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на основе химической модели // Теплофизика высоких темтератур. – 1978. – Т. 16. - № 1. – С. 45 – 53.
12.           Dimick R.C., Soo S.L. Scattering of electrons and ions by dust particles in a gas // Phys. Fluids. 1964. –V.7.№1. P – 1638 – 1640/
13.           Sodha M.N., Kaw P.K., Srivastava H.K. Conductivity of dust – loden gases // Brit. G.Appl.Phys. – 1965. – V.16. - №5.- P.721 – 723.
14.           Самуйлов Е. В. О константе равновесия ионизации частиц // Теплофизика высоких температур. – 1965. – Т. 3. - № 2. – С.216 – 222.
15.           Журавский А. М. Справочник по эллепт ическим функциям. – М. – Л.: Изд – во. АН СССР, 1941. – 235 с.
16.           Аршинов А. А., Мусин А. К. Равновесная ионизация частиц // Доклады Академи Наук СССР. – 1958. – Т. 120. - № 4. – С.747 – 750.
17.           Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника. – М.: Наука, 1966. – 564 с.
18.           Лукьянов Г А. Ионизация в разряженной низкотемпературной плазмы при наличии твердой фазы и примеси щелочного металла // Теплофизика высоких температур. – 1976. – Т. 14 - № 3. – С. 462 – 468.
19.           Debye P., Huckel E. Zur Fheorie der Electrolyte. I.Gefrierpunktsniedrigung und vervandte Erscheinungen // Phys. Zschr. –1923 –B.24. –S.185 –206.
20.           Gibson E. Ionisation phenomena in a – gas – particle – plasmall Phys. Fluids. – 1966.-V.9. - №12. – P.2389 – 2399.

Bukvasha