Введём в (1.16) новые переменные. В качестве независимой переменной вместо координаты будем рассматривать температуру Т, а в качестве зависимой переменной тепловой потока:
                                                                    (1.17)
Тогда уравнение (1.16)  принимает вид       
                                              (1.18)
Введём температуру Т_r, соответствующую границе между зонами прогрева и реакции. Температура Т_r  имеет в определённой мере условный смысл, поскольку ввиду непрерывной зависимости скорости реакции от температуры точной границы между зонами реакции и прогрева, конечно не имеется.
В зоне прогрева, т. е. в области температур Т₀ Т<Т_r, будем пренебрегать в уравнении (1.18) скоростью реакции. Следовательно, для зоны прогрева имеем:
   ≈                                                        (1.19)
Интегрируя (1.19), получим
                         ≈                                        (1.20)
Таким образом, в координатах q-T (тепловой поток – температура) зоне  прогрева соответствует прямолинейный участок кривой q(T) с углом наклона, пропорциональным скорости горения m. Решение (1.20) показано на рис. 2 прямой линией 2.                       
Рис 2.Вид зависимости теплового потока q от температуры  Т  в  однозонной  волне горения в случае узкой зоны реакции:                                                                          

1 – q(T)- интегральная кривая уравнения (1.18) 2-q(T) в зоне прогрева по соотношению (1.20)   3-q(T) в зоне реакции по соотношению (1.23)

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

q

T0

Tb

Cpm(Tb-T0)

3

2

1

T

Для нахождения зависимости Т от координаты x в зоне прогрева проинтегрируем  (1.20) по x с учётом определения q по (1.17)  (для простоты теплофизические характеристики смеси будем при этом считать постоянными). Интегрирование даёт:
                                                 (1.21)
где через const обозначена постоянная интегрирования. Величина  входящая в показатель
                                                                             (1.22)  
экспоненты, имеет размерность длины и называется толщиной прогретого слоя ( -температуропроводность; u_n –нормальная скорость горения). Как видно из (1.21), на расстоянии, равном , перепад температуры в прогретом слое изменяется в «е» раз.
Поскольку основная часть одностадийной волны горения с узкой реакции приходится на прогретый слой, то величина  одновременно характеризует размер всей волны горения. Таким образом, характерный размер волны горения  l_b равен .
Интегральная кривая уравнения (1.18) в случае узкой зоны реакции качественно изображена на рис 2 (кривая 1). Линейный рост в зоне прогрева сменяется резким падением в узкой зоне реакции(q=0 при T=T_b).
Можно показать, что в зоне реакции мало второе слагаемое в (1.18) (в среднем по зоне реакции порядок величины отношения второго слагаемого к первому составляет (Т-Т_b)/(T_b-T₀). Пренебрегая вторым слагаемым в  (1.18) и интегрируя, получим для зоны реакции:
                                                          (1.23)
Зависимость q(T) по (1.23) показана на рис 2 кривой 3.Поскольку за пределами зоны реакции Ф(Т, а_i) очень мала, то величина интеграла  (1.23) практически перестаёт зависеть от нижнего предела, и кривая 3  насыщается в области низких температур. Поэтому для того, чтобы оценить по (1.23) значение q на границе между зонами прогрева и реакции можно в качестве нижнего предела интегрирования выбрать любое значение Т<Т_r, в частности Т=Т₀. Сращивая (1.20) и (1.23) (ввиду узости зоны реакции для вычисления значения q на границе зон прогрева и реакции в (1.20) можно приближённо принять Т≈Т_b), получим основную формулу для скорости горения в приближении узкой зоны реакции:
                                                       (1.24)
Подчеркнём, что величина интеграла  (1.24) не зависит (в рассматриваемом приближении)  от нижнего предела интегрирования, поскольку Ф(Т,a_i) заметно отличается от нуля только в области высоких температур вблизи температуры горения Т_b  [5].
1.1.2 Воспламенение газовых смесей и скорость распространения пламени.
Для того, чтобы могли протекать реакции горения, необходимо создать условия для воспламенения смеси топлива и окислителя.
Воспламенение может быть самопроизвольным и вынужденным. Под самовоспламенением понимается такое прогрессирующее самоускорение химической реакции, в результате которого медленно протекающий в начальной стадии процесс достигает больших скоростей и на завершающей стадии протекает мгновенно.
Вынужденное воспламенение (зажигание) обусловлено внесением в реагирующую смесь источника теплоты, температура которого выше ее температуры воспламенения. Газовоздушная смесь, не воспламеняющаяся при низкой температуре, может воспламениться при повышенной температуре, когда создаются благоприятные условия для возникновения активных центров в результате потери устойчивости сложных исходных молекул веществ.
Процесс воспламенения характеризуется тем, что имеются определенные границы (пределы), вне которых воспламенение не наступает ни при каких условиях. Известно, что газовоздушные смеси воспламеняются только в том случае, когда содержание газа в воздухе находится в определенных (для каждого газа) пределах. При незначительном содержании газа количество теплоты, выделившейся при горении, недостаточно для доведения соседних слоев смеси до температуры воспламенения, т.е. для распространения пламени. То же наблюдается и при слишком большом содержании газа в газовоздушной смеси. Недостаток кислорода воздуха, идущего на горение, приводит к понижению температурного уровня, в результате чего соседние слои смеси не нагреваются до температуры воспламенения. Этим двум случаям соответствуют нижний и верхний пределы воспламеняемости. Для метана нижний предел воспламеняемости в воздухе составляет 5,3%, верхний-14,0%. Смесь метана с кислородом: нижний предел 5,1%, а верхний 61%. Поэтому кроме перемешивания газа с воздухом в определенных пропорциях должны быть созданы начальные условия для воспламенения смеси.
Температура воспламенения газа зависит от ряда факторов, в том числе от содержания горючего газа в газовоздушной смеси, давления, способа нагрева смеси и т.д., и поэтому не является однозначным параметром. Температура воспламенения метана в воздухе составляет от 545 до 850 ^оС.
В практике встречаются два способа воспламенения горючих смесей: самовоспламенение и зажигание. При самовоспламенении весь объем горючей газовоздушной смеси постепенно путем подвода теплоты или повышения давления доводится до температуры воспламенения, после чего смесь воспламеняется уже без внешнего теплового воздействия. В технике широко применяется второй способ, именуемый зажиганием. При этом способе не требуется нагревать всю газовоздушную смесь до температуры воспламенения, достаточно зажечь холодную смесь в одной точке объема каким-нибудь высокотемпературным источником (искра, накаленное тело, дежурное пламя и т.д.). В результате воспламенение передается на весь объем смеси самопроизвольно путем распространения пламени происходящего не мгновенно, а с определенной пространственной скоростью. Эта скорость называется скоростью распространения пламени в газовоздушной смеси и является важнейшей характеристикой, определяющей условия протекания и стабилизации горения.
Пределы воспламенения газовоздушных смесей расширяются в повышением температуры, влияние же давления носит более сложный характер. Повышение давления выше атмосферного для некоторых смесей (например, водорода с воздухом) сужает пределы воспламенения, а для других (смесь метана с воздухом) расширяет. При давлении ниже атмосферного верхний и нижний пределы сближаются, т.е. концентрационные пределы воспламенения сужаются.
Условиями осуществления вынужденного воспламенения являются: наличие эффективного источника зажигания и способность образовавшегося фронта пламени самопроизвольно перемещаться (распространяться) в объеме газовоздушной смеси. Этот процесс носит название распространения пламени.
Различают два режима стационарного распространения пламени: в покоящейся или ламинарно движущейся среде и в турбулентном потоке. Первый носит название нормального распространения пламени, а второй – турбулентного. 
1.2 Ламинарное пламя в пылях.
Анализ проблемы ламинарного пламени в газовзвесях основывается на подходах, развитых применительно к горению газофазных систем [2] и учитывает целый ряд присущих взвесям особенностей. Это, в первую очередь -отличия в температурах и скоростях конденсированной и газовой компонент, закономерности воспламенения и горения частиц в волне горения. Указанные особенности обуславливают существование в газовзвесях более широких, в сравнении с газами, фронтов горения и наличие значительных радиационных потоков.
В связи с этим, с нашей точки зрения, принципиально важными для ламинарного режима являются взаимосвязанные вопросы о механизме передачи тепла в предпламенную зону и о возможности использования применительно к газовзвесям понятия нормальной (фундаментальной) скорости пламени. Нормальная скорость пламени определяет объем горючей смеси, поступающий в единицу времени на единицу поверхности фронта пламени и в случае искривленных фронтов характеризует скорость перемещения фронта пламени по нормали к его поверхности. Для газовзвесей введение нормальной скорости оправдано в том случае, когда ширина предпламенной зоны l_n и ширина зоны горения l_r = v  много меньше радиуса кривизны фронта пламени, сопоставимого с размерами экспериментальной установки (для труб -диаметр трубы, для горелок - диаметр устья).
Таким образом, применительно к газозвесям частиц речь может идти о соотношении кондуктивного потока из зоны горения и радиационного потока от зоны горения и от зоны высокотемпературных конденсированных продуктов сгорания. Практически задача должна решаться двумя путями: 1) прямыми измерениями кондуктивного и радиационного потоков, выходящих из зоны горения; 2) определением функциональной зависимости скорости пламени от параметров аэровзвеси (размера частиц и концентрации твердой фазы) в максимально возможном диапазоне их значений и в различных экспериментальных условиях.
Теоретические исследования горения газовзвесей основываются на хорошо развитых моделях горения одиночных капель и частиц (начиная с работ Г. А. Варшавского и Д. Срезневского). В общем случае прогрев частиц до температуры воспламенения в волне горения осуществляется совместным действием кондуктивного, конвективного и радиационного потоков тепла. Однако, целесообразен раздельный учет каждого из указанных слагаемых, с тем, чтобы в дальнейшем, основываясь на экспериментальных данных, выявить область преобладания того либо иного механизма теплоперадачи.
Кондуктивный механизм предполагает, что прогрев взвеси осуществляется молекулярной теплопроводностью. Первые теоретические работы в этой области выполнены О. И. Лейпунским [10] и Ф. Вильямсом [11]. Так, в [10], в предположении, что скорость горения черного пороха определяется горением выносимых с поверхности угольных частиц, получено выражение для скорости пламени, где к - коэффициент температуропроводности газа,  - время горения частиц,   Т_п   -   температура   поверхности   пороха,   Т_эф - эффективная температура горения.
                                                                             (1.25)    
Несмотря на простоту, (1.25) передает все основные особенности кондуктивного механизма волны горения. Действительно, в случае диффузионного режима горения частиц ( ) скорость пламени пропорциональная d^-1, а для кинетического ( ) пропорциональна .
Радиационный механизм. Наличие высокотемпературных горящих частиц и продуктов их сгорания в зоне горения (или в послепламенной зоне), а также высокая поглощательная способность взвеси в зоне прогрева, могут обусловить существенную роль процессов радиационного переноса в явлениях распространения фронта горения в газовзвесях.
Общие черты радиационного механизма распространения пламени передают следующие простые оценки, проведенные В. Нуссельтом [12]. При стационарном распространении пламени лучистый поток от сплошного фронта горения с эффективной температурой Т_эф за время dt равен dt, за это же время фронт пламени перемещается на dx = vdt и, следовательно, лучистый поток должен прогреть этот слой до некоторой температуры Т_в, т.е.
             dt = С_об(Т_в – T₀)dx,
здесь – С_об - объемная теплоемкость смеси. Откуда
                                          (1.26)
А зависимость от d реализуется только через T_B(d), т. е. для магния v должна была бы расти с ростом d (поскольку Т_в уменьшается), для алюминия - наоборот, уменьшаться или оставаться неизменной.
Конвективный механизм предполагает, что перенос тепла из зоны горения в предпламенную зону производится в основном движущимися газообразными продуктами сгорания. Этот режим может реализовываться при распространении пламени от закрытого конца реакционного сосуда и в  облаках   газовзвеси.   Необходимыми   условиями   его   возникновения являются: существенное газовыделение при горении частиц, тепловое расширение продуктов сгорания в направлении движения фронта пламени и различие в скоростях движения частиц и газа.
Таким образом, теоретически возможные механизмы распространения пламени по газовзвеси достаточно подробно изучены. Вместе с тем, по нашему мнению, применительно к задачам волнового горения конкретных газовзвесей, учитывая неполноту (или ограниченный характер) информации о термокинетических параметрах системы, оптико-спектральных характеристиках исходных частиц и продуктов сгорания, возможные смены гидродинамических режимов, применение строгих постановок задач в рамках механики многофазных потоков имеет скорее иллюстративный характер, т.е. предполагает получение не столько количественной сколько качественной информации о зависимости скорости пламени от параметров взвеси.
Естественно, выбор той или иной модели ламинарного пламени применительно к конкретному типу взвеси и аппаратурным условиям может производиться только путем сравнения с соответствующими опытными данными.
Нормальная скорость пламени определяется из системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику прогрева газового и твердого компонентов в предпламенной зоне (рассматривается плоский стационарный фронт пламени, распространяющийся в бесконечном пространстве горючей газовзвеси)
               (1.27)
                                             (1.28)
Уравнение (1.25) описывает прогрев частиц (индекс s относится к частицам) с учетом радиационного потока q₀, поступающего из зоны продуктов сгорания, и возможного движения частиц относительно газа v_ы; п =6 В / - счетная концентрация частиц, В - массовая концентрация горючего; l= 2dp_s/3B - длина пробега излучения в исходной взвеси;  а = Nu /d -коэффициент   теплообмена;   с   -   теплоемкость;   р   -   плотность;     -теплопроводность  газа;   Т - температура;  d - диаметр  частиц.   В  (1.26) пренебрегаем тепловыделением за счет реакции в зоне прогрева.
     Условия на холодной границе
                                                                         (1.29)
       На границе зоны прогрева и горения (х = 0) в качестве граничного условия запишем уравнение теплового баланса между зонами прогрева и реакции
                      (1.30)
Здесь T_i и T_si - температура газа и частиц в точке воспламенения, _г - время горения частиц, T_∞ - адиабатическая температура сгорания. Профиль температуры газа в зоне горения полагаем линейным, так что - средний кондуктивный поток тепла в предпламенную зону. В качестве условия воспламенения берем T_si=T_s* , (T_s* - температура частиц в режиме самовоспламенения). Можно показать, что выбор иного условия воспламенения не сказывается существенно на получаемых результатах, вместе с тем выбранное условие существенно упрощает задачу. Решая (1.27 – 1.30) приходим к следующему трансцендентному уравнению: