Все многообразие факторов можно условно разделить на следующие группы:
·                    факторы, относящиеся к самому живому труду или личные факторы («человеческий фактор»);
·                    факторы, относящиеся к техническому и организационному уровню производства (технико-производственные факторы);
·                    природные условия.
Факторы производительности труда действуют постоянно, поскольку простые элементы процесса труда остаются одними и теми же. С развитием производства меняется взаимоотношение между ними: усиливается роль одних и ослабевает роль других. Если на ранних этапах общественного развития ведущая роль принадлежала личностным факторам, то с развитием производительности сил соотношение факторов изменилось: возросла роль организационно-технических факторов в повышении производительности труда.
Это позволяет различать глобальные и локальные факторы производительности труда. Основанием такой классификации служит объект статистического исследования: или промышленность в целом, или ее отдельное звено - промышленное предприятие. Статистические исследования производительности труда на уровне народного хозяйства в большей мере учитывают глобальные факторы - численности населения страны, степень его трудоспособности и занятости. Если же брать отдельное предприятие, то в этом случае локальные факторы будут играть решающее воздействие на рост производительности труда: это приобретенные производственные навыки, квалификация, возраст, стаж работы, существующие традиции работников, их заинтересованность поддерживать соответствующий уровень производительности труда на своем предприятии и др.
Факторы, влияющие на производительность труда, обладают не только личностной и технической природой, но и социально-экономической.
Социально-экономические факторы оказывают не меньшее, а большее воздействие на рост производительности труда, чем те, о которых речь шла выше. Само понятие социальный фактор связано с особенностями главных сторон движущих сил развития общественного строя: рыночная или регулируемая экономика с преобладанием государственной собственности, демократическое, гражданское или тоталитарное общество, принципы социального партнерства в решении возникающих социальных конфликтов или голое администрирование и т.д. и т.п.
Факторы производительности труда могут быть разделены на интенсивные и экстенсивные. В схеме взаимосвязи указанных факторов выделяют статистическую величину средней часовой выработки работ (интенсивный фактор) и экстенсивную статистическую величину, которой является средняя продолжительность рабочего дня и средняя величина количества дней работы одного списочного рабочего в течение данного периода.
Для статистической классификации факторов производительности труда важным принципом является их количественная характеристика. По этому принципу все факторы производительности труда делятся на количественные и качественные. В зависимости от цели исследования можно осуществить самые различные классификации факторов производительности труда.
Основными требованиями к классификации факторов производительности труда следует назвать следующие:
·                    признак (показатель) должен быть существенным с позиции данной познавательной задачи (например, квалификация работника и ее влияние на увеличение выработки продукции);
·                    сам фактор (признак) должен рассматриваться как некая переменная величина, которую можно измерить и которая оказывает непосредственное влияние на результат (в нашем примере признак квалификация работника может быть измерена стажем работы, образованием, обладанием определенного разряда, ученой степени и т.п.).
Задача, которую ставит исследователь факторов производительности труда, должна   быть теоретически обоснованной, а практически осуществляемой. В этом случае должны быть прозрачными отношения частей и целого, т.е. части (факторы) и целого (производительности труда).
Планирование и учет производительности труда на предприятиях, учреждениях, крупных и мелких хозяйственных объединениях осуществляются на основе соответствующих инструкций, разрабатываемыми вышестоящими хозяйствами структурами, отраслевыми статистическими управлениями и т.п.
В соответствии с вышесказанным можно сделать вывод, что на производительность труда влияют:
·                    изменение количества выпущенной продукции:
                  ∑ W₁T₁       ∑ W₀T₁      
ΔW_Q =    ∑ Т₁      –      ∑ Т₁
ΔW_Q – абс.изменение выработки за счет                                                                           изменения объема продукции
W₁T₁ – объем продукции отч.года
W₀T₁ – объем продукции баз.периода
             при ср.-спис. численности отч.периода
·                    изменение численности занятых на ее производстве:
                 ∑ W₀T₁              ∑ W₀T₀
ΔW_T =    ∑ Т₁      –      ∑ Т₀
                                    ΔW_T – абс.изменение выработки за счет                                                                            изменений затрат труда
                                    W₀T₀ – объем продукции баз.периода
                                    W₀T₁ – объем продукции баз.периода
                                                при ср.-спис. численности отч.периода
Следовательно, общее изменение производительности труда выглядит таким образом:  
                                      ∑ W₁T₁          ∑ W₀T₀
ΔW =  W₁ –W₀  =      ∑ Т₁     ÷     ∑ Т₀
                                    ΔW – абс.изменение выработки
        ∑ Q                      W₁ – ср. выработка в отч.периоде
W = ∑ T                                     W₀ – ср. выработка в баз.периоде
W₀T₀ – объем продукции баз.периода
W₁T₁ – объем продукции отч.периода
Т₀  – ср.-списочная численность работников 
                 баз.периода
Т₁  – ср.-списочная численность работников
                 отч.периода
По аналогии можно сделать вывод, что и на объем продукции влияют определенные факторы, а именно:
·                    изменение среднесписочной численности работников:
ΔQ_T = (∑ T₁–∑T₀) * W₀
                                                            ΔQ_T – абс.изменение выпуска продукции за счет                         динамики численности работников
                                    T₁ – ср.-спис.численность отч.периода
                                                            T₀ – ср.-спис.чилсенность баз.периода
                                                            W₀ – выработка баз.периода
·                    изменение производительности труда:
ΔQ_W = ( W₁ – W₀) * ∑ T₁
                                                            ΔQ_W – абс.изменение выпуска продукции за счет                                                             динамики производительности труда
                                    W₁ – ср. выработка отч.периода
                                    W₀ – ср. выработка баз.периода
                                    T₁ – ср.-спис.численность отч.периода
А общее изменение выпуска продукции имеет такую формулу:
ΔQ = ∑ Q₁–∑ Q₀
                                                            ΔQ – абс.изменение объема продукции
                                    Q₁ – объем продукции отч.периода
                                                            Q₀ – объем продукции баз.периода
Анализ динамики производительности труда
Для характеристики изменения уровня производительности труда исчисляются индексы производительности труда. Индекс производительности труда получается путем деления уровня про­изводительности труда в текущем периоде на уровень производи­тельности труда, принятый на базу сравнения. С помощью ин­дексов устанавливается плановое задание по росту производи­тельности труда, осуществляется контроль за выполнением пла­на, характеризуется динамика производительности труда.
Индексы производительности труда, трудовых затрат и объема продукции взаимосвязаны, что позволяет установить влияние (в процентах и в абсолютных величинах) изменения производитель­ности труда и трудовых затрат на изменение объема продукции. Индивидуальный индекс производительности труда в натуральном выражении (количества продукции, произведённой в единицу времени):
,                                                (12)
где v₁, v₀  - производительность труда в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах на отдельных участках, производящих однородную продукцию;
q₁, q₀ -  выпуск продукции в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах;
Т₁, Т₀  – затраты труда в отчетном и базисном периодах
В этом случае общий индекс производительности труда в агрегатной форме:
                                             (13)
В случае трудового метода измерения производительности труда, когда в качестве соизмерителя труда используют нормативную величину трудоемкости единицы продукции в нормо-часах, , общий индекс имеет вид:
                                         (14)
Трудовой индекс производительности труда показывает, как изменился объем производственной работы, выраженной в нормо-часах, в среднем на единицу фактически отработанного времени.
Использование трудового метода для оценки производительности труда возможно лишь там, где ведется учет затрат в разрезе отдель­ных видов продукции. Использование этого индекса возможно, когда нормативная трудоемкость объективно отражает необходимые затраты труда в конкретных производственных условиях. Для участков работы, на продукцию которых не устанавливаются отпускные цены, этот индекс является основным. Но этот индекс выражает динамику производительности труда только основных рабочих, т.к. только затраты их труда могут быть непосредственно учтены при производстве изделий каждого вида.
А. И. Ротштейн, один из основоположников отечественной стати­стики промышленности, предложил использовать в качестве трудово­го соизмерителя продукции трудоемкость единицы продукции базисного периода, а индекс производительности труда рассчитывать по фактической трудоемкости по следующей формуле:
,                                       (15)
где – индекс трудоемкости.
Индекс показывает, во сколько раз изменились затраты времени (труда) на производство продукции в результате изменения её трудоёмкости (производительности труда), или сколько % составило снижение (рост) затрат времени на производство продукции из-за
изменения трудоёмкости.
Поскольку трудоемкость является мерилом производительности, этот способ измерения динамики производительности труда считает­ся теоретически наиболее обоснованным. Этот индекс применяется, когда в обоих сравниваемых периодах производится продукция одинакового состава (т.е. нет ассортиментных сдвигов). Разность числителя и знаменателя данного индекса позволяет оп­ределить абсолютную экономию (дополнительные затраты) рабочего времени в связи с ростом (снижением) производительности труда.
Разность числителя и знаменателя этой формулы показывает, на сколько человеко-часов изменились общие трудозатраты  на производство продукции в результате изменения трудоёмкости её производства:
                           (16)
Совпадение индексов, рассчитанных по нормативной и фак­тической трудоемкости, необязательно. Это зависит от различий в соотношениях нормативной и фактической трудоемкости по видам продукции.
Индивидуальный индекс производительности труда по обратному показателю (по трудоёмкости) имеет вид:
,                                                      (17)
где t - затраты времени на производство единицы продукции (трудоемкость единицы продукции).
Индекс показывает, во сколько раз трудоёмкость производства единицы продукции одного вида в базисном периоде выше, чем в отчётном.
Трудовой метод измерения производительности труда ис­пользуется при расчете показателей выполнения норм выработ­ки рабочими-сдельщиками. Выполнение норм выработки является характеристикой рос­та производительности труда отдельных рабочих, бригад, участ­ков, цехов.
Ус­пешное выполнение норм выработки отдельными рабочими обеспечивает рост производительности труда в целом по пред­приятию. Процент выполнения норм выработки исчисляется путем деления времени, полагающегося по нормам на выполненный объем работ, на время, фактически затраченное на эти работы.
Степень выполнения норм при изготовлении разноименной продукции определяется индексом:
                                      (18)
Однако на основе этой общей формулы на практике исчисляют два показателя выполнения норм выработки: сменный и ча­совой.
Показатель выполнения сменных норм выработки, на практи­ке называемый процентом выполнения норм по календарному (сменному) времени, отражает степень выполнения норм выра­ботки в фактически сложившихся производственных условиях, т. е. при наличии всех организационных неполадок в производ­стве (брака не по вине рабочего, внутрисменных простоев, пере­вода на повременную работу, отклонений от нормальных усло­вий труда и др.). Формула этого показателя такова:
,                                             (19)
где  - количество единиц годной продукции каждого вида;
 - основная норма времени на единицу продукции; 
 - дополнительная норма времени на единицу продукции;
 - общее количество человеко-часов, затраченных на исправление брака не по вине рабочего;
 - общее количество сдельно отработанных человеко-часов;
 - общее количество человеко-часов простоя не по вине рабочего;
 - общее количество человеко-часов отвлечения на повременную работу.
Показатель выполнения часовых норм выработки, иначе назы­ваемый процентом выполнения норм по фактически отработан­ному времени, исчисляется для того, чтобы определить, какова была бы степень выполнения норм выработки рабочим, если бы в его работе не было организационных неполадок, не зависящих от него (брака, простоев, переключения на повременную рабо­ту). Его формула следующая:
                                            (20)
где  - количество единиц бракованной продукции не по вине рабочего.
Сопоставление показателей выполнения сменных и часовых норм выработки позволяет вскрыть неиспользованные резервы роста производительности труда.
Основным видом общего индекса производительности труда является стоимостной:
,                              (21)
где w – производительность труда в стоимостном выражении,
Q = qp_C - объем производства в стоимостном измерении,
p_с  - сопоставимая цена единицы продукции.
Этот метод является универсальным. Поскольку может быть применен на любом предприятии, а также на более высоких уровнях обобщения – на уровне отрасли, региона, экономики в целом. Проблема при вычислении данного индекса - сопоставимость цен, т.к. цены могут формироваться по-разному.
В каждом производственной единице учёт объёмов производства может вестись в разных единицах (натуральных, трудовых, стоимостных). Во избежание необходимости пересчёта производительности труда во всех подразделениях в показатели по какому-то одному методу, используют среднеарифметический из индивидуальных индекс производительности труда (индекс академика Струмилина):
                                                     ,                                             (22)
где i_w - индивидуальный индекс производительности труда по каждому подразделению фирмы,
T₁ - затраты труда в подразделениях в отчётном периоде, они являются весом в данной формуле.
Т.к. численность работников - универсальный показатель в данном случае, а также для расчета индекса необходимо знать не сам уровень производительности труда в каждом подразделении, а её индекс, то индекс Струмилина может быть вычислен даже в том случае, если в подразделениях, по которому он считается, применяются различные методы измерения производительности труда – трудовой, натуральный, стоимостной. Особенность этого индекса – зависимость от структуры затрат в отчетном периоде. При резких изменениях в затратах труда по отдельным производственным единицам в сравниваемых периодах результаты расчета сводных показателей производительности труда по предприятию в целом по стоимостному методу и по методу Струмилина могут существенно различаться из-за влияния структурных сдвигов в распределении персонала по отдельным производственным единицам.
Для  оценки динамики производительности труда работников в сфере туристических услуг предлагается использовать комплексный пока­затель динамики эффективности труда, который означает уровень эффективности использования рабочей силы в этой отрас­ли (регионе) [20]. Он представляет собой среднегеометрическую вели­чину произведения индексов производительности труда в стоимостной и натуральной оценке, исчисленных за один и тот же период:
,                                          (23)
где К_П - комплексный показатель динамики эффективности тру­да, %;
 - индекс изменения производительности труда в стои­мостной оценке, %;
 - индекс изменения производительности труда в натуральном выражении, %.

3. Методы, применяемые в изучении производительности труда.
Натуральный метод.
Достоинство этого метода -  простота расчета, наглядность, объективность измерения уровня производительности труда. Используют натуральные и условно-натуральные показатели продукции. Они дают возможность определить уровень и динамику производи­тельности труда по отдельным видам однородной продукции.
Натуральный метод наиболее точно соответствует содержанию категорий труда. Он отражает эффективность конкретного труда при производстве конкретных видов продукции.
Но он может применяться только на предприятиях, участках, производствах, в отраслях, где производится однородная продукция или ведется учет затрат рабочего времени по каждому виду производимой продукции. Такой метод применяется на предприятиях транспорта, в добывающей, обрабатывающей промышленности, при характеристике отдельных видов работ в строительстве, транспортном и сельском хозяйстве, при анализе выполнения норм выработки группами рабочих, выполняющих одинаковые операции.
При производстве разнородной продукции натуральные показатели не могут быть использованы для обобщения уровня и динамики производительности труда.
Если сравниваются предприятия, выпускающие одинаковую продукцию, различающиеся по полноте цикла производства, то натуральные показатели производительности труда оказываются несопоставимыми. Переход на выпуск одноименных изделий повышенного качества при одинаковом объеме производства не отражается в натуральных показателях производительности труда.
Расширение возможностей показателей производительности труда получается при использовании условно-натурального измерения продукции.
           q
W =    T                       W – выработка в нат.показателях
                                    q – объем продукции в нат.показателях (т, кг, л)
                                    Т – кол-во затраченного труда (чел/ч)
Натуральный индекс производительности труда будет выглядеть таким образом:
                 q₁        q₀
I^нат. =  T₁   ÷    T₀
                                    I^нат – нат.индекс производительности труда
                                    q₀ – объем продукции в нат.показателях
                                            баз.период
                                    q₁ – объем продукции в нат.показателях
                                            отч.периода
                                    Т₀ – кол-во затраченного труда отч.период
         Т₁ – кол-во затраченного труда баз.периода
 ИНДЕКСЫ ПРОИЗВОДСТВА ПО ОТДЕЛЬНЫМ ВИДАМ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (в процентах к предыдущему году)

	2002	2003	2004	2005	2006
Обрабатывающие производства1)	101,1	110,3	110,5	105,7	104,4
из них:
производство пищевых продуктов,	107,2	106,9	104,4	104,4	105,4
включая напитки, и табака
текстильное и швейное производство	97,5	101,2	96	98,5	107,3
производство кожи, изделий из кожи и	111,4	111,5	99,4	97,3	116,7
производство обуви
целлюлозно-бумажное производство;	104,1	107,8	105,1	101,1	106,4
издательская и полиграфическая
деятельность
производство машин и оборудования	91,2	119	121,1	99,9	103,3

Стоимостной метод.
Стоимостной метод наиболее универсальный, позволяет измерить производительность труда при производстве разнородной продукции, обеспечивает получении сводных данных по отраслям, территориям и экономике в целом. Стоимостные показатели продукции позволяют получить обоб­щающие характеристики производительности труда по предпри­ятиям, отраслям экономики и экономическим районам. При использовании денежных измерителей продукции для изучения динамики производительности труда или при характеристике выполнения плановых заданий необходимо устранять влияние изменения цен, т.е. использовать данные о стоимости произведенной продукции в сопоставимых ценах.
Стоимостной метод получил свое распространение на уровне министерств, отраслей, территорий, промышленности в целом. Важное достоинство стоимостного показателя производительности труда – возможность его расчета по любой номенклатуре его наименования. Это и дает возможность получения сводных характеристик в разрезе отраслей макроэкономики.
Выработка производительности труда в стоимостном выражении имеет следующий вид:
     qp
W =   T                        W – выработка в стоимостном выражении
                                    qp – объем продукции в ден.выражении (руб.)
                                    Т – ср.-спис. численность рабочих
Стоимостной индекс производительности труда имеет следующий вид:
                     q₁р        q₀p
I^стоим.. =    Т₁        ÷    Т₀        
I ^стоим. – стоимостной индекс
q₀p – объем продукции баз.периода
        в сопоставимых ценах
q₁p – объем продукции отч.периода
        в сопоставимых ценах
Т₀ – затраты труда баз.периода
Т₁ – затраты труда отч.периода
Статистические данные по Москве и Московской областью ( динамика производительности труда на данной территории):

	2005 год		2006 год
	Численность экономически активного населения*, тыс.чел.	Валовый региональный продукт**, млн.руб.	Численность экономически активного населения, тыс.чел.	Валовый региональный продукт***, млн.руб.
г. Москва	4432	1999995	4391	2441000
Московская обл.	3434	370817	3527	447100

1. Уровень и динамика производительности труда.
г.Москва:
            ВРП₂₀₀₅        1999995
W₂₀₀₅ = ЭАН₂₀₀₂  =    3434    =  451,2624 тыс.руб.на1чел.
            ВРП₂₀₀₃        2441000
W₂₀₀₆ = ЭАН₂₀₀₃  =    4391    =  555,9098 тыс.руб.на1чел.
            W₂₀₀₃         555,9098
I^стоим. = W₂₀₀₂  =  451,2624   =  1,2319 (123,19%)
Московская обл.:
            ВРП₂₀₀₂        370817
W₂₀₀₅ = ЭАН₂₀₀₂  =   3434    =  107,9840 тыс.руб.на1раб.
            ВРП₂₀₀₃        447100
W₂₀₀₆ = ЭАН₂₀₀₃  =   3527    =  126,7650 тыс.руб.на1раб.
I^стоим. = W₂₀₀₂  = 107,9840   =  1,174 (117,40%)
Вывод: По Москве и области отмечается динамический рост производительности труда.
В Москве производительность труда увеличилась на 23,19%, т.к. выработка в 2005г. составляла 451,2624 тыс.руб. на 1 человека, а в 2006г. она выросла до 555,9098 тыс.руб. на 1 человека.
Немного ниже производительность труда по Московской обл.. Динамика производительности труда составила 117,40% благодаря увеличению выработки от 107,9840 тыс.руб. на 1 человека до 126,7650 тыс.руб. на 1 человека.
Эти данные представлены в виде диаграммы:
      SHAPE  \* MERGEFORMAT

Производительность труда по

Московскому региону (2005-2006гг.)

451,2624

555,9098

107,984

126,765

0

100

200

300

400

500

600

2005г.                  2006г.

Выработка (тыс.руб.)

г.Москва

Московская обл.

Трудовой метод.
Трудовые показатели производительности основаны на измерении объема произведенной продукции в нормо-часах рабочего времени. Трудовые показатели производительности определяются по одному или нескольким видам однородной продукции. Соизмерителем различных видов продукции или работ при этом является нормативная трудоемкость, которая отражает затраты труда на выпуск единицы продук­ции. Производительность труда определяется:
,                                                  (1)
где q – количество единиц продукции каждого вида;
t_Н – норма времени на единицу продукции каждого вида,
ST – время, отработанное за данный период.
Дробь в правой части показывает выработку в нормо-часах на единицу фактических затрат рабочего времени, по существу, это обратный показатель выполенния норм выработки.
Трудовой метод обеспечивает возможность измерения производительности труда при выпуске разноименной продукции, изолируя при этом влияние всех факторов, не зависящих от рабочих (стоимость потребленных материалов).
Затраты труда работников предприятия могут быть выражены:
·                   количеством отработанных человеко-часов;
·                   количеством отработанных человеко-дней;
·                   среднесписочной численностью работников за месяц (квартал, год и
другой календарный период).
Трудовой метод используется в тех случаях, когда на предприятии производится большое количество продукции, ассортимент которой часто меняется. Этот метод основан на измерении выработки продукции в норма-часах рабочего времени. Он применяется, если на каждый вид продукции установлен временной норматив (нормативная трудоемкость). В этом случае общий объем произведенной продукции рассчитывается следующим образом:
qt_н = t_н * Q                  qt_н – объем продукции в трудовом выражении
                                    t_н – нормативная трудоемкость
                                    Q – количество произведенной продукции
А уровень производительности труда примет следующий вид:               qt_н
W^. =  T                         W– выработка в трудовом выражении
Т – кол-во затраченного труда
В качестве трудовых измерителей объема продукции используется нормативная трудоемкость по конкретным видам продукции или фактическая трудоемкость базисного периода.
При использовании для измерения продукции нормативной трудоемкости индекс труда примет вид:
                        q₁t_н             q₀t_н         
I^t_н =    Т₁     ÷    Т₀    
                                                            I^t_н – индекс нормативной трудоемкости
                                    q₀t_н – объем продукции баз.периода
                                              при нормативной трудоемкости
                                    q₁t_н – объем продукции отч.периода
                                              при нормативной трудоемкости
                                    Т₀ – кол-во затраченного труда баз.периода
                                    Т₁ – кол-во затраченного труда отч.периода
Используя в качестве соизмерителя продукции трудоемкость базисного периода получаем следующую формулу:
                         q₁t₀        q₀t₀            q₁t₀            q₀t₀          q₁t₀ 
I^t₀ =    Т₁   ÷   Т₀     =   q₁t₁   ÷    q₀t₀   =  q₁t₁ 
                                                            I^t₀ – индекс фактической трудоемкости
                                    q₀t₀ – фактический объем продукции баз.периода
                                                            q₁t₀ – возможный объем продукции отч.периода
                 при баз.трудоемкости
         q₁t₁ – фактический объем продукции отч.
В зависимости от того, чем измеряются затраты труда, различают следующие показатели выработки (производительности труда):
·                   Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного
рабочего за час фактиче­ской работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени
                                                      (2).
Характеризует среднюю выработку одного рабочего за один час фактической работы (исключая время внутрисменных простоев и перерывов, но с учетом сверхурочной работы).
Расчетная часть
Задание 1. Исследование структуры совокупности.
Задание 2. Выявление наличия корреляционной связи между признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.
Задание 3. Применение метода выборочных наблюдений.
При проведении статистического наблюдения за деятельностью организаций одного из регионов РФ за исследуемый период получены выборочные данные о выпуске продукции и среднесписочной численностью работников по 30-ти организациям (выборка 20%-ная, механическая).
В проводимом статистическом исследовании эти организации выступают как единицы выборочной совокупности. Генеральную совокупность образуют все подобные организации региона. Анализируемым признаком изучаемых единиц совокупности является Уровень производительности труда организации.

Выборочные данные представлены в табл.1.                              Таблица 1
Исходные данные

Номер организации	Среднесписочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн. руб.	Уровень производительности труда, млн.руб./чел
1	162	36,45	0,225
2	156	23,4	0,15
3	179	46,540	0,26
4	194	59,752	0,308
5	165	41,415	0,251
6	158	26,86	0,17
7	220	79,2	0,36
8	190	54,720	0,288
9	163	40,424	0,248
10	159	30,21	0,19
11	167	42,418	0,254
12	205	64,575	0,315
13	187	51,612	0,276
14	161	35,42	0,22
15	120	14,4	0,12
16	162	36,936	0,228
17	188	53,392	0,284
18	164	41,0	0,25
19	192	55,680	0,29
20	130	18,2	0,14
21	159	31,8	0,2
22	162	39,204	0,242
23	193	57,128	0,296
24	158	28,44	0,18
25	168	43,344	0,258
26	208	70,720	0,34
27	166	41,832	0,252
28	207	69,345	0,335
29	161	35,903	0,223
30	186	50,220	0,27

Задание 1
По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:
1.                Построить статистический ряд распределения организаций по Уровню производительности труда, образовав пять  групп с равными интервалами.
2.                Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3.                Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4.                Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1.1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.
Выполнение Задания 1
Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности организаций путем построения и анализа статистического ряда распределения организаций по признаку Уровень производительности труда.
1.Построение интервального ряда распределения организаций по уровню производительности труда.
Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение организаций по уровню производительности труда, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле
,                                                   (1)
где  – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности,  k- число групп интервального ряда.
Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса
k=1+3,322 lg n,                                                              (2)
где  n - число единиц совокупности.
Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k = 5,           x_max = 0,36 млн руб./чел., x_min = 0,12 млн руб./чел.:

При h = 0,048 млн руб./чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):
Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, млн руб./чел.	Верхняя граница, млн руб./чел.
1	0,12	0,168
2	0,168	0,216
3	0,216	0,264
4	0,264	0,312
5	0,312	0,36

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп
Процесс группировки единиц совокупности по признаку Уровень производительности труда  представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).Таблица 3.Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.
Таблица 4
Распределение организаций по уровню производительности труда
Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5
Структура организаций по уровню производительности труда

№ группы	Группы организаций по уровню производительности труда	Число организаций, fj		Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	0,12 – 0,168	3	10,0	3	10,0
2	0,168 – 0,216	4	13,33	7	23,33
3	0,216 – 0,264	12	40,0	19	63,33
4	0,264 – 0,312	7	23,34	26	86,67
5	0,312 – 0,36	4	13,33	30	100
	Итого	30	100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с производительностью труда в пределах от 0,216 до 0,264 млн руб./чел. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); 23,34% с производительностью труда в пределах от 0,264 до 0,312 млн руб./чел.; 23,33 % организации с производительностью труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,67% – менее 0,312 млн руб./чел..
1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов
Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.
Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности[1]. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом
Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:
                        (3)
где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,
h –величина модального интервала,
f_Mo – частота модального интервала,
f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,
f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 – 0,264 млн руб./чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).
Расчет моды по формуле (3):
 млн руб./чел.
Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 0,245.
Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.
Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом
Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:
,                                       (4)
где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,
h – величина медианного интервала,
– сумма всех частот,
f_Ме – частота медианного интервала,
S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот  или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).
В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал    0,216 – 0,264 млн руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).
Расчет значения медианы по формуле (4):
 млн руб./чел.
Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем уровень производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина – не менее 0,248 млн руб./чел..
3. Расчет характеристик ряда распределения
Для расчета характеристик ряда распределения , σ, σ2, V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 (  – середина j-го интервала).
Таблица 6
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы организаций по уровню производительности труда, млн. руб./чел.	Середина интервала,	Число организаций, fj
1	2	3	4	5	6	7
0,12 – 0,168	0,144	3	0,432	-0,104	0,01	0,03
0,168 – 0,216	0,192	4	0,768	-0,056	0,003	0,012
0,216 – 0,264	0,24	12	2,88	-0,008	0,000064	0,000768
0,264 – 0,312	0,288	7	2,016	0,04	0,0016	0,0112
0,312 – 0,36	0,336	4	1,344	0,088	0,007744	0,030976
Итого		30	7,44	- 0,04	0,022408	0,084944

Расчет средней арифметической взвешенной:
                                  
Расчет среднего квадратического отклонения:
                   
Расчет дисперсии:
σ2 =0,05322=0,0028млн.руб/чел.
Расчет коэффициента вариации:
                                     
Вывод. Анализ полученных значений показателей  и σ говорит о том, что средний выпуск продукции организаций составляет 0,248 млн. руб./чел., отклонение от среднего уровня в ту или иную сторону составляет в среднем 0,0532 млн руб./чел. (или 21,45%), наиболее характерные значения уровня производительности труда находятся в пределах от 0,1948 млн руб./чел. до 0,3012 млн руб./чел. (диапазон ).
Значение V_σ = 21,45% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =0,248 млн руб./чел, Мо=0,245 млн руб./чел., Ме=0,248 млн руб.\чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организхаций. Таким образом, найденное среднее значение уровня производительности труда (0,248 млн руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.
4.Вычисление средней арифметической по исходным данным
Для расчета применяется формула средней арифметической простой:
                                   (8)
Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).
Задание 2
По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:
1.     Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:
а) аналитической группировки;
б) корреляционной таблицы.
2.     Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.
Выполнение Задания 2
Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.
Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.
По условию Задания 2 факторным является признак Уровень производительности труда (X), результативным – признак Выпуск продукции (Y).
1. Установление наличия и характера связи между признаками Уровень производительности труда и Выпуск продукции методами аналитической группировки и корреляционной таблицы
1а. Применение метода аналитической группировки
При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение  результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения  систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Уровень производительности труда и результативным признаком Y – Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):
Таблица 7
Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1
2
3
4
Итого

Групповые средние значения  получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8
Зависимость выпуска продукции организаций от выпуска продукции

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1	2	3	4	5=4:3
1	0,12 – 0,168	3	56	18,666
2	0,168 – 0,216	4	117,31	29,327
3	0,216 – 0,264	12	480,886	40,073
4	0,264 – 0,312	7	382,504	54,643
5	0,312 – 0,36	4	283,84	70,96
	Итого	30	1320,54	213,669

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением уровня производительности труда от группы к группе систематически возрастает и выпуск продукции в среднем по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.
1б. Применение метода корреляционной таблицы.
Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы – группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.
Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов  для  факторного  признака  Х – Уровень производительности труда известны из табл. 8. Для результативного признака Y – Выпуск продукции  величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5,  у_max = 79,2 млн руб., у_min = 14,4 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 9):
Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	14,4	27,36
2	27,36	40,32
3	40,32	53,28
4	53,28	66,24
5	66,24	79,2

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число банков, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).
Таблица 10
Распределение организаций по выпуску продукции

Группы организаций по выпуску продукции,  млн. руб., х	Число организаций, fj
14,4 - 27,36	4
27,36 – 40,32	8
40,32 – 53,28	9
53,28 – 66,24	6
66,24 – 79,2	3
Итого	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).
Таблица 11
Корреляционная таблица зависимости выпуска продукции от уровня производительности труда

Группы организаций по уровню производительности труда, млн руб./чел.	Группы организаций по выпуску продукции, млн.   руб.
	14,4 - 27,36	27,36 - 40,32	40,32 – 53,28	53,28 – 66,24	66,24 – 79,2	Итого
0,12 – 0,168	3
0,168 – 0,216	1	3
0,216 – 0,264		5	7
0,264 – 0,312			2	5
0,312 – 0,36				1	3
Итого	4	8	9	6	3	30

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между уровнем производительности труда и выпуском продукции.
2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения
Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное отношение .
Эмпирический коэффициент детерминации  оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле
,                                                               (9)
где   – общая дисперсия признака Y,
         – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Значения показателя  изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство  =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство  =1.
Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле
,                                                        (10)
где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;
        – общая средняя значений результативного признака;
         n – число единиц совокупности.
Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:
                                                               (11)
или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:
                                                            (12)
Для вычисления  удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.
Расчет  по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.
Таблица 12
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер организации п/п	Выпуск продукции, млн руб.
1	2	3	4	5
1	36,45	-7,568	57,274	1328,602
2	23,4	-20,618	425,101	547,56
3	46,54	2,522	6,360	2165,971
4	59,752	15,734	247,558	3570,301
5	41,415	-2,603	6,775	1715,202
6	26,86	-17,158	294,396	721,459
7	79,2	35,182	1237,773	6272,64
8	54,72	10,702	114,532	2994,278
9	40,424	-3,594	12,916	1634,099
10	30,21	-13,808	190,660	912,644
11	42,418	-1,6	2,56	1799,286
12	64,575	20,557	422,590	4169,930
13	51,612	7,594	57,668	2663,798
14	35,42	-8,598	73,925	1254,576
15	14,4	-29,618	877,225	207,36
16	36,936	-7,082	50,154	1364,268
17	53,392	9,374	87,871	2850,705
18	41	-3,018	9,108	1681
19	55,68	11,662	136,002	3100,262
20	18,2	-25,818	666,569	331,24
21	31,8	-12,218	149,279	1011,240
22	39,204	-4,814	23,174	1536,953
23	57,128	13,11	171,872	3263,608
24	28,44	-15,578	242,674	808,833
25	43,344	-0,674	0,454	1878,702
26	70,72	26,702	712,996	5001,318
27	41,832	-2,186	4,778	1749,916
28	69,345	25,327	641,456	4808,729
29	35,903	-8,115	65,853	1289,025
30	50,22	6,202	38,464	2522,048
Итого	1320,54	0	7028,017	65155,553

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле
,
где  – средняя из квадратов значений результативного признака,
 – квадрат средней величины значений результативного признака.
Для демонстрационного примера


Тогда

Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних  от общей средней . Показатель  вычисляется по формуле
,                                                (13)
где      –групповые средние,
 – общая средняя,
–число единиц в j-ой группе,
k – число групп.
Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения  из табл. 8 (графа 5).
Таблица 13
Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы организаций по уровню производительности труда	Число организаций,	Среднее значение  в группе
1	2	3	4	5
0,12 – 0,168	3	18,666	-25,352	1928,171
0,168 – 0,216	4	29,327	-14,691	863,301
0,216 – 0,264	12	40,073	-3,945	186,756
0,264 – 0,312	7	54,643	10,625	790,234
0,312 – 0,36	4	70,96	26,942	2903,485
Итого	30			6671,947

Расчет межгрупповой дисперсии  по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле (9):
    или 94,9%
Вывод. 94,9% вариации выпуска продукции организаций обусловлено вариацией уровня производительности труда, а 5,1% –  влиянием прочих неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле
                                                                     (14)
Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (табл. 14):
Таблица 14
Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения  по формуле (14):
  или 97,4%
Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между уровнем производительности труда и выпуском продукции организаций является весьма тесной.
Задание 3
По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:
1)     ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться производительность труда в генеральной совокупности.
2)     ошибку   выборки   доли   организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.
Выполнение Задания 3
Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности организаций региона границ, в которых будут находиться величина среднего уровня производительности труда организаций и доля организаций с уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.
1. Определение ошибки выборки среднего уровня производительности труда организаций и границы, в которых будет находиться генеральная совокупность.
Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).
Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю  и предельную .
Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[ ].
Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  выборочной средней  определяется по формуле
,                                                    (15)
где  – общая дисперсия выборочных значений признаков,
       N – число единиц в генеральной совокупности,
        n – число единиц в выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:
,
,                                            (16)
где     – выборочная средняя,
           – генеральная средняя.
Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.
В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже  Р= 0,683.
В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки Δ кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней  это теоретическое положение выражается формулой

                                                       (17)
Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):
Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию задачи выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:
Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	0,248	-,0028

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):
,
Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:
0,248-0,00015 0,248+0,00015
0,24785 млн руб./чел. 0,24815 млн руб.
Вывод. На основании проведенного выборочного обследования организаций региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средний уровень производительности труда находится в пределах от ,024785 млн руб./чел. до 0,24815 млн руб./чел.
3.     Определение ошибки выборки   доли   организаций с   уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.
Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой
              ,                                                                  (18)
где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
        n – общее число единиц в совокупности.
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле
                  ,                                           (19)
где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
       (1-w) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,
        N – число единиц в генеральной совокупности,
        n– число единиц в выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:
                                                          (20)
4.     По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня производительности труда величины 0,264 млн руб./чел.
Число организаций с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):
m=11
Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,21  0,524
или
21%  52,4%
5.     Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций доля организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше будет находиться в пределах от 21% до 52,4%.
Задание 4
По исходным данным табл. 17 необходимо выполнить следующее:
1.                Определить уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, их динамику и взаимосвязь. Расчеты представить в таблице.
2.                Определить абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня, и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 4.
Таблица 17
Имеются следующие данные по организации за два года:

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн.руб.	40,8	54,2
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180
3.	В том числе рабочих, чел.	130	145
4.	Отработано рабочими чел.-дней	31200	33060
5.	Отработано рабочими чел.-ч	240 240	261 174

Выполнение Задания 4.
1 часть.
·                   Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного
рабочего за час фактиче­ской работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени
         
·                   Средняя дневная выработка. Она равна отношению объема
произведенной продукции к числу человеко-дней, фактически отработанных всеми рабочими предприятиями.
                                                                              
·                   Средняя выработка  за период времени (среднемесячная, среднеквартальная, среднегодовая) одного списочного рабочего или работника всего персонала, непосредственно связанного с производством данной продукции (промышленно-производственного персонала). Она равна отношению объема продукции к среднесписочной численности рабочих (Т_Р) или работников промышленно - производственного персонала (Т_ППП) соответственно.
                                                           
или
                                                                                         
                              
1.Средняя часовая выработка:
- Базисный период                   
     = 40,8 / 240240 = 0,0001 млн.руб.
- Отчетный период                   
     = 54,2 / 240240 = 0,0002 млн.руб.
2.Средняя дневная выработка.
- Базисный период                   
      = 40,8 / 31200 = 0,0013 млн.руб.
- Отчетный период                   
      = 54,2 / 33060 = 0,0016 млн.руб.
   3.       Средняя выработка  за год одного списочного рабочего
- Базисный период                   
      = 40,8 / 164 = 0,2488 млн. руб.
- Отчетный период                   
      = 54,2 / 180 = 0,3011 млн. руб.
  4.        Средняя выработка  за год работника всего персонала, непосредственно связанного с производством данной продукции
             - Базисный период                   
      = 40,8 / 130 = 0,3138 млн.руб.
- Отчетный период                   
      = 54,2 / 145 = 0,3738 млн.руб.

Определение динамики рассчитанных показателей и их 
взаимосвязи.
В случае трудового метода измерения производительности труда, когда в качестве соизмерителя труда используют величину трудоемкости единицы продукции в чел.-часах, чел-днях, ср.выработки за год.
  I = v1 / v2
где v₁, v₀  - производительность труда в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах;
Индекс показывает, во сколько раз изменились затраты времени (труда) на производство продукции в результате изменения её трудоёмкости (производительности труда), или сколько % составило снижение (рост) затрат времени на производство продукции из-за изменения трудоёмкости.
 
1)   Динамика средней часовой  выработки :
               I = 0,0002 / 0,0001 = 2 млн.руб.
2) Динамика средней дневной  выработки :
               I = 0,0016 / 0,0013  = 1,2307 млн.руб.
3) Динамика средней выработки  за год одного списочного рабочего:
               I = 0,3011 / 0,2488 = 1,2102 млн.руб.
4) Динамика средней выработки  за год одного списочного рабочего:
               I = 0,3738 / 0,3138 = 1,1912 млн.руб.
Между показателями часовой, дневной выработки од­ного рабочего предприятия существуют следующие взаимосвязи:
Среднедневная выработка связана со среднечасовой:
    ,                                       
ПРД - средняя фактическая продолжительность рабочего дня в человеко-часах.
В базисном периоде ПРД = 240240 / 31200 = 7,7 чел – ч.
В отчетном периоде ПРД = 261174 / 33060 = 7,9 чел – ч.
Таким образом,
В базисном периоде:
Wд =  0,0001× 7,7 = 0,00077
В отчетном периоде:
Wд = 0,0002 × 7,9 = 0,00158
Средняя выработка одного рабочего за период связана со среднедневной и среднечасовой:
  
ПРП - средняя фактическая продолжительность рабочего периода в человеко-днях  (среднее число дней фактической работы на одного списочного рабочего за период)
В базисном периоде ПРП = 31200 / 164 = 190,24 чел – дней.
В отчетном периоде ПРП = 33060 / 180 = 183,66 чел – дней
В базисном периоде:
W =  0,00077 × 190,24 = 0,1465   или    W = 0,0001 × 7,7 × 190,24 = 0,1465
В отчетном периоде:
W =  0,00158 × 183,66 = 0,2902   или    W = 0,0002 × 7,9 × 183,66 = 0,2902
Средняя выработка одного работника промышленно-производственного персонала за период связана с показателями средней выработки рабочих:
,                 (8)
где -выработка на одного работника промышленно-производственного персонала за период;
- доля рабочих в общей численности промышленно-производственного персонала;
В базисном периоде: d рабочих = 130 / 164 = 0,7927
В отчетном периоде: d рабочих = 145 / 180 = 0,8055
В базисном периоде:
W ппп = 0,7927×190,24×7,7×0,0001 = 0,1161
В отчетном периоде:
W ппп = 0,8055×183,66×7,9×0,0002 = 0,2337

Показатели	Базовый период	Отчетный период	Индекс динамики
Средняя часовая выработка	0,0001	0,0002	2
Средняя дневная выработка	0,0013	0,0016	1,2307
Средняя выработка  за год одного списочного рабочего	0,2488	0,3011	1,2102
Средняя выработка  за год работника всего ППП.	0,3138	0,3738	1,1912
Взаимосвязь сред/днев. и сред/час. выработки.	7,7	7,9
Взаимосвязь средней выработки одного рабочего за год со  сред/днев. и сред/час.	0,1465	0,2902
Взаимосвязь средней выработки одного рабочего ППП за год с показателями средней выработки рабочих	0,1161	0,2337

Вывод:
На основании исходных данных были определены уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, а также их динамика и взаимосвязь.
За время с базового до отчетного  периода произошло
- увеличение среднечасовой выработки с 0,0001 до 0,0002 млн.руб, с индексом динамики равным 2;
- увеличение среднедневной выработки с 0,0013 до 0,0016 млн.руб, с индексом динамики равным 1,2307
- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,2488 до 0,3011 млн.руб, с индексом динамики равным 1,2102
- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,3138 до 0,3738 млн.руб, с индексом динамики равным 1,1912
- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,3138 до 0,3738 млн.руб, с индексом динамики равным 1,1912
- Средняя продолжительность рабочего дня увеличилась с 7,7 чел-часов до 7,9 чел.-часов
2 часть.
Определить абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня, и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

	Базисный период	Отчетный период	Абсолютный прирост
Среднечасовая производительность труда рабочего, млн. руб.	0,0001	0,0002	0,0001
Средняя продолжительность рабочего дня,чел - час	7,7	7,9	0,2
Средняя продолжительность рабочего года, чел - дн.	190,24	183,66	-6,58
Доля рабочих в общей численности работников, %	79,27	80,55	1,28

1.                Абсолютный прирост Среднечасовой производительности труда рабочего с базисного периода по отчетный составил:
0,0002 – 0,0001 = 0,0001 млн. руб.
2.                Абсолютный прирост Средней продолжительности рабочего дня с базисного периода по отчетный составил:
7,9 – 7,7 = 0,2 чел – час.
3.                Абсолютный прирост Средней продолжительности рабочего года с базисного периода по отчетный составил:
183,66 – 190,24 = - 6,58 чел – дн.
4.                Абсолютный прирост Доли рабочих в общей численности работников с базисного периода по отчетный составил:
80,55 – 79,27  = 1,28%
Вывод:
Определила абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов:
среднечасовая производительность труда рабочего 0,0001 млн.руб,
средняя продолжительность рабочего дня 0,2 чел-час,
средняя продолжительность рабочего года  - 6,58 чел-дн,
доля рабочих в общей численности работников 1,28%.

Литература
1.                Гусаров В.М. Статистика: Учебник. –  М.: Юнити-дана, 2001
2.                Яковлев Г.А. Экономика и статистика туризма: Учебное пособие. – М.: Издательство РДЛ, 2002
3.                Интернет ресурсы.

---

[1] Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным),что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.