Министерство образования РФ
Тульский государственный университет
Кафедра автоматики и телемеханики
Контрольно-курсовая работа
по курсу "информатика"
Вариант № 15
Выполнил:
студент группы 220611
Блинцов С. В.
Проверил:
ассистент кафедры АТМ
Середин О. С.
Тула 2001

Содержание

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Введение.................................................................................................... Вычисление значения интеграла функции, заданной графически…... Постановка задачи...................................……………………………….. Математическая формулировка задачи................................................. Численный метод решения..................................................................... Инструкция программисту..................................................................... Схема алгоритма....................................................................................... Текст программы..................................................................................... Инструкция пользователю...................................................................... Тестовый пример.................................................................................... Составление таблицы значений функции, заданной в виде разложения в ряд..................................................................................... Постановка задачи...............................................................…………….. Математическая формулировка задачи................................................... Численный метод решения....................................................................... Инструкция программисту....................................................................... Схема алгоритма........................................................................................ Текст программы....................................................................................... Инструкция пользователю........................................................................ Тестовый пример....................................................................................... Работа с матрицами................................................................................... Постановка задачи...................................................…………………….. Математическая формулировка задачи................................................... Численный метод решения....................................................................... Инструкция программисту....................................................................... Схема алгоритма........................................................................................ Текст программы....................................................................................... Инструкция пользователю........................................................................ Тестовый пример....................................................................................... Вывод..........................................................................................................

4 5 5 6 7 9 10 10 13 13 16 16 17 17 18 19 22 22 22 26 26 28 28 28 29 32 35 36 37

Введение
В данной контрольно-курсовой работе требуется применить изученные средства языка программирования Паскаль для решения математических задач путем использования численных методов на компьютере.
Необходимо написать три программы, решающие поставленные задачи, используя предоставленные математические обоснования. Решение данных задач показывает возможности использования компьютера для различного рода прикладных вычислений.
В первой задаче требуется разработать алгоритм и его реализацию для нахождения интеграла функции, заданной графически. Ценность данной задачи заключается в том, что не для каждой функции значение интеграла можно найти аналитически. Однако с использованием предложенного численного метода, возможно, получить конкретное значение с достаточной требуемой точностью.
Во второй задаче необходимо составить алгоритм и реализацию данного алгоритма, который позволит напечатать таблицу значений функции, заданной в виде разложения в ряд. Без использования компьютера процесс вычисления значений такой функции занимает достаточно длительное время. Компьютер же дает возможность значительно ускорить этот процесс, что позволяет, например, проследить изменение значения функции на различных интервалах, т.е. при различных значениях аргумента.
В третьей задаче представлена работа с частным случаем многомерных массивов – матрицей. Использование матриц – весьма распространенное явление в программировании. Это, например, работа с преобразованием графики, моделирование трехмерных объектов. В математике матрицы также часто используются в различных задачах. Умение работать с ними – очень важно.

1. Вычисление значения интеграла функции,
заданной графически

1.1. Задания и постановка задачи.

Задание (вариант №15):
Составить программу на языке Turbo Pascal 7.0 вычисления значения интеграла на интервале [a, b] для функции, заданной графически. Значение интеграла вычислить приближённо по итерационной формуле левых прямоугольников:
 b
I = ò f (x)dx @ In = h(f1 + f2 +…+ fn-1),
 a
где h=(b-a)/n – величина шага между двумя соседними точками разбиения интервала интегрирования; fi = f(xi) – значение функции в точке xi = a + h(i –1); i = 1, 2, …, n.
Вычисления закончить при выполнении условия |In – I2n| < e, где e>0 – достаточно малое значение, задаваемое пользователем (точность вычислений). Здесь In, I2n – значения интеграла, вычисленные по данной формуле при количестве разбиения на n и 2n соответственно.
Численные значения всех величин, участвующих в вычислениях, считать параметрами программы и определить их путём ввода.

Y

X

c

-c

30°

y = lg x

График функции:
Пояснение к заданию:
Анализируя график функции можно сделать вывод, что для аналитического задания уравнения функции следует ее рассматривать на различных интервалах:
 x <= -c Þ y = kx + b
 -c < x < =c Þ y = Ln(c)
 c < x Þ y = lg(x),
где kx + b =, lg x= (ln(x))/(ln(10));
x – аргумент функции; y – её значение; c – параметр функции (c>0), вводимые пользователем с клавиатуры.
1.2 Математическая формулировка задачи.
Решение многих задач (например, определение пути при неравномерном движении, работы переменной силы, расходов воды в реках и каналах, площади поперечного сечения судна) находится с помощью определённого интеграла. Иногда для вычисления определённого интеграла от непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x) можно просто воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
 b
S = ò f(x) dx = F(b) – F(a),
 a
где F(x) – первообразная для функции f(x) [F¢(x)=f(x)].
Однако воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница в большинстве ситуаций не представляется возможным.
В этом случае используются приближённые методы для вычисления определённого интеграла. Все они основаны на том, что геометрически интеграл функции f(x) в пределах от a до b представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Рассмотрим один из этих методов.

1.3 Численный метод решения.

Пусть требуется приближённо вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и прямыми x = a, x = b, y = 0.
Идея алгоритма вычисления площади криволинейной трапеции состоит в следующем:
 Разобьем отрезок [a; b] на n равных отрезков точками a = x0 < x1 < x2 <…< xn-1 < xn = b и на каждом из полученных отрезков построим прямоугольник, одной стороной которого будет отрезок [xi, xi+1 ], а другой – отрезок, длина которого равна f(xi). Этот случай показан на рисунке 2.
Площадь криволинейной трапеции можно приближённо считать равной сумме площадей заштрихованных прямоугольников.
Ясно, что если увеличивать число отрезков [ xi, xi+1 ], т.е. отрезок
 [a; b] разбивать на большее число равных отрезков, то сумма их площадей всё с большей точностью будет совпадать с площадью криволинейной трапеции. Значит, точность вычисления площади криволинейной трапеции определяется величиной числа n.
Площадь каждого прямоугольника можно вычислить так. Одна из сторон прямоугольника, построенного на отрезке [ xi, xi+1 ], равна h = (b - a) / n, а вторая – f(xi). Поэтому площадь «левого» прямоугольника равняется s = h * f(xi) = (b - a) / n * f(xi). Тогда площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей всех прямоугольников:
S = (b - a)/n * f(x0) + (b - a)/n * f(x1) + … + (b - a)/n * f(xn-1) = (b - a)/n * ( f(x0) + f(x1) +…+ f(xn-1) ).
Таким образом, мы нашли интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] при числе разбиений отрезка n. Очевидно, что чем больше n, тем больше точность вычисления значения интеграла; однако, при этом время, затрачиваемое на решение задачи, также прямо пропорционально числу n. Отсюда возникает вопрос: как правильно выбрать значение числа n, чтобы за наименьшее время найти значение искомого интеграла с предельно допустимой точностью?
Пусть мы знаем, что при разбиении отрезка интегрирования на n частей интеграл функции на данном интервале равен Integral1. Тогда мы можем также найти значение интеграла при числе разбиений отрезка, равном 2n, и это значение будет равняться некоторому числу Integral2. Очевидно, что оценкой точности вычислений будет являться величина абсолютной погрешности |Integral1 - Integral2|. Но в таком случае, именно величина абсолютной погрешности и есть тот критерий, который показывает, следует ли дальше продолжать вычисления или найденное значение интеграла уже удовлетворяет предельно допустимому уровню погрешности в поставленной задаче.
Тогда алгоритм решения задачи заключается в следующем:
Сначала вычисляется значение интеграла при n разбиений отрезка интегрирования (Integral1). Затем число разбиений n увеличивается в 2 раза и вычисляется значение интеграла при новом числе разбиений (Integral2). После этого проверяется условие завершения работы (|Integral1 - Integral2|<e) и, если работу следует продолжать, то текущее значение Integral2 присваивается значению Integral1, число разбиений n увеличивается в 2 раза, а значение Integral2 вычисляется заново и так далее, пока не будет выполнено условие |Integral1 - Integral2|<e.
Теперь нерешённым остался только вопрос о выборе начального значения числа n. Очевидно, что этот вопрос нельзя разрешить однозначно и одинаково для всех видов функций. Это станет очевидно, если рассмотреть следующую ситуацию: пусть требуется найти определённый интеграл некоторой функции на отрезке, где она принимает некоторое одинаковое значение не менее 2-х раз, и при этом её интеграл не равен произведению этого значения на длину отрезка интегрирования. При некорректном выборе исходного значения n может получиться так, что при разбиении отрезка интегрирования на n и 2n в рассмотрение будут приняты только те точки, значения функции в которых совпадают. Но тогда вычисление интеграла закончатся, т.к. разница между найденными значениями (Integral1 - Integral2) будет равна нулю и, следовательно, явно меньше любой погрешности, значение которой всегда положительно. Но это недопустимо, т.к. реальное значение искомого интеграла может быть далеко от найденного. Поэтому, при рассмотрении каждой новой функции следует производить тщательный анализ и исключение подобных ситуаций. Таким образом, вопрос о выборе начального значения числа разбиений отрезка остается открытым.
Так как рассматриваемая в данной задаче функция не представляет особой сложности, то в предложенном далее алгоритме решения задачи начальное значение числа n будет взято равным единице.
1.4 Описание переменных.

Имя переменной	Тип переменной	Значение
N	integer	Число интервалов разбиения
A	real	Нижний предел интегрирования
B	real	Верхний предел интегрирования
С	real	Параметр функции, определяемый пользователем
H	real	Шаг интегрирования
E	real	Точность вычислений
X	real	Аргумент функции
integral1	real	Значение интеграла при n разбиений
integral2	real	Значение интеграла при 2n разбиений

1.5 Схема алгоритма.
1.6 Текст программы.
PROGRAM KKP2_1_DUB3;
USES CRT;
 var
 A, B, C, E, ABS_Integral:real;
PROCEDURE ENTER_DATA(VAR PR_1, PR_2, P_PAR,POGR_PRO:REAL);
BEGIN
 ClrScr;
 Writeln ('Программа для нахождения значения интеграла на определенном промежутке');
 Writeln;
 writeln('Введите границы интервала [A,B],причем (A<B),число C (0<C<1) и точность E (E>0): ');
 writeln;
 REPEAT
 BEGIN
 writeln('Число C: '); readln(P_PAR);
 if not (P_PAR>0) then
 writeln ('C должно быть больше 0 !. Повторите ввод.')
 ELSE IF NOT (P_PAR<1) THEN
 WRITELN('C должно быть меньше 1!. Повторите ввод.');
 END;
 UNTIL ((P_PAR>0) AND (P_PAR<1));
 REPEAT
 BEGIN
 writeln('Начало интервала A: '); readln(PR_1);
 writeln('Конец интервала B: '); readln(PR_2);
 if not (PR_1<PR_2) then
 writeln ('A должно быть меньше B !. Повторите ввод.');
 END;
 UNTIL (PR_1<PR_2);
 REPEAT
 BEGIN
 writeln('Точность E: '); readln(POGR_PRO);
 if not (POGR_PRO>0) then
 writeln ('E должно быть больше 0 !. Повторите ввод.');
 END;
 UNTIL (POGR_PRO>0);
END;
FUNCTION integration(VAR GR_1,GR_2,F_PAR,POGR_FUNC:REAL):real;
 VAR
 INTEGRAL1, INTEGRAL2, X, H:REAL;
 N:INTEGER;
 READY:BOOLEAN;
begin
 integral1:=0;
 integral2:=0;
 n:=1;
 REPEAT
 N:=N*2;
 H:=(GR_2-GR_1)/N;
 X:=GR_1;
 Integral2:=0;
 repeat
 if x<=(-F_PAR) then
 integral2:=integral2+((1/sqr(3))*(ln(F_PAR)-F_PAR))
 ELSE IF((-F_PAR<x) and (x<=F_PAR))
 THEN integral2:=integral2+ln(F_PAR)
 ELSE if (X>F_PAR) THEN
 Integral2:=integral2+LN(X)/LN(10);
 X:=X+H;
 until not (X<=B);
 READY:=abs(integral1-integral2)<POGR_FUNC;
 INTEGRAL1:=INTEGRAL2;
 UNTIL READY;
 INTEGRATION:=INTEGRAL2;
END;
BEGIN
 ENTER_DATA(A,B,C,E);
 ABS_Integral:=INTEGRATION(A,B,C,E);
 Writeln;
 Writeln( 'Ответ: ');
 writeln('Интеграл на промежутке от ',A:0:2,' до ',B:0:2,' равен ');
 writeln (ABS_Integral:1:3,' с точностью ',E:1:3);
 ReadKey;
END.
1.7 Инструкция пользователю.
Данная программа вычисляет значение интеграла функции заданной графически. Интервал интегрирования, точность вычислений и параметр функции вводятся пользователем. Программа вычислит результат и выдаст его (в числовом виде) на экран монитора.
После запуска программы на экране появится описание программы.
В ответ на приглашение к вводу значений следует ввести требуемые величины. Программа не претендует на универсальность, поэтому не стоит вводить запредельные границы интервала или очень маленькую ( ~0.001) точность вычислений. Поскольку скорость выполнения этой программы напрямую зависит от частоты процессора, то на процессорах, различающихся значительно, время вычислений (и допустимая точность) будут разными. В общем случае это определяется опытным путем.