МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (МАИ)

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет

«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАТИКА И

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА»

Кафедра 308

«Информационные технологии»

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине: «Теория чисел»

Выполнил: Тузов И.И.

Группа 03-119

Руководитель:

доцент, к.т.н. Гридин А.Н.

Москва 2010

ЗАДАНИЕ

Разработать программу-калькулятор CalcKurs на языке программирования Pascal, реализующую следующие функции:

1. формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2. факторизация числа с опциями;

3. нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;

4. нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5. представление рациональной дроби в виде цепной;

6. представление цепной дроби в виде рациональной.

Оборудование и ПО:

Название Windows: Windows Seven (6.1.7600) Ultimate

Название процессора: Intel(R) Core(TM)2 CPU 6300 @ 1.86GHz

Установлено памяти: 1 022,49 MB

Среда программирования: Turbo Pascal 7.0

ОГЛАВЛЕНИЕ

Задание

Оглавление

1. Введение

2. Специальная часть

2.1 Интерфейс программы

2.2 Описание процедур

2.2.1 DelOstatok

2.2.2 Factor

2.2.3 NodNok

2.2.4 SuperGorner

2.2.5 Express

2.2.6 AntiExp

3. Заключение

4. Список использованных источников

Приложение

Листинг программы

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория чисел — это одно из направлений математики, которое иногда называют «высшей арифметикой». Данная наука изучает натуральные числа и некоторые сходные с ними объекты, рассматривает различные свойства (делимость, разложимость, взаимосвязи и так далее), алгоритмы поиска чисел, а также определяет ряд достаточно интересных наборов натуральных чисел.

Так, к примеру, в рамках теории чисел рассматриваются вопросы делимости целых чисел друг на друга, алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя, поиск наименьшего общего кратного, малая и большая теоремы Ферма. В качестве самых известных рядов натуральных чисел можно привести ряд Фибоначчи, простые числа, совершенные и дружественные числа, степени и суперстепени натуральных чисел.^[1]

Вне самой математики теория чисел имеет довольно мало приложений, и развивалась она не ради решения прикладных задач, а как искусство ради искусства, обладающее своей внутренней красотой, тонкостью и трудностью. Тем не менее теория чисел оказала большое влияние на математическую науку, поскольку некоторые разделы математики (в том числе и такие, которые впоследствии нашли применение в физике) были первоначально созданы для решения особенно сложных проблем теории чисел.^[2]

Разработанная программа включает в себя набор из нескольких основных операций, которые могут понадобиться при решении более сложных задач.

Назначение программы CalcKurs

Программа CalcKurs выполняет следующие функции:

1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2.факторизация числа с опциями;

3.нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;

4.нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5.представление рациональной дроби в виде цепной;

6.представление цепной дроби в виде рациональной.

2. СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Интерфейс программы

Описание процедур procedure DelOstatok

Назначение.

Данная процедура формирует заданное подмножество натурального ряда с помощью общего делителя.

Алгоритм.

Ищется общий делитель совокупности делителей (общий делитель ищется с помощью нахождения наименьшего общего кратного делителей). На заданном множестве (кол-во цифр в числах) ищем первый элемент, который будет удовлетворять заданному условию (делится на НОК с остатком), запоминаем элемент и прерываем цикл.

Формируем подмножество с помощью прибавления к первому элементу делителя, суммируем количество элементов, пока элементы не станут больше заданной размерности.

Пример.

Делитель=10, остаток=3, размерность=2 (от 10 до 99)

Количество элементов=9

Подмножество элементов={13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93}

Тесты.

1.Некорректные данные

2.Корректные данные

procedure Factor

Назначение.

Данная процедура выполняет факторизацию (разложение на простые множители) числа с опциями.

Алгоритм.

Ищем для данного числа простой множитель с помощью решета Эратосфена^[3]

(Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).

2. Пусть переменная p изначально равна двум — первому простому числу.

3. Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p, 3p, 4p, …)

4. Найти первое не вычеркнутое число, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число.

5. Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n

6. Все не вычеркнутые числа в списке — простые числа.)

и делим заданное число на данный множитель, потом ищем следующий простой множитель(если он повторяется, то возводим его в степень), и так до тех пор, пока число не станет равным единице. Записываем все простые множители.

Далее находим все делители числа и составляем из них множество. Вычисляем сумму делителей.

Пример.

Число=21

множество делителей=1 3 7 21

кол-во простых множителей=2

21=3 ^ 1 * 7 ^ 1

кол-во множителей=4

сумма множителей=32

Тесты.

1.Некорректные данные

2.Корректные данные

procedure NodNok

Назначение.

Данная процедура находит НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда.

Алгоритм.

С помощью алгоритма Евклида (есть числа a,b и последовательность R₁>R₂>R₃>…>R_N, где каждое R_K - это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело. Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель a и b, равен R_N, последнему ненулевому члену этой последовательности) находим НОД^[4] для первых двух чисел, «цепляем» следующее число для нахождения следующего НОД, и так до тех пор, пока совокупность чисел не закончится.

Для нахождения НОК первых двух чисел используем следующий алгоритм: разлагаем данные числа на простые множители и к одному из таких разложений приписываем множители недостающие у него против разложений остальных данных чисел^[5], и аналогично нахождению НОД «цепляем» следующее число.

Пример.

Числа: 21 и 12

НОД(12,21)=3

НОК(12,21)=84

Тесты.

1. Некорректные данные

2.Корректные данные

procedure SuperGorner;

Назначение.

Данная процедура находит рациональные решения уравнения с целочисленными коэффициентами.

Алгоритм.

Рациональные корни уравнения ищутся с помощью расширенной схемы(метода) Горнера^[6] (раскладываем свободный член и коэффициент перед старшей степенью на все возможные множители и делим все множители свободного члена на все множители коэффициента перед старшей степенью (добавляем также знак “-”); подставляем полученные значения в уравнение, если уравнение получается равным нулю, то это значение – корень данного уравнения).

Пример.

Уравнение: 6x³-11x²+6x-1=0

Возможные корни: +1, +1/2, +1/3, +1/6

Корни уравнения: 1/3, 1/2, 1

Тесты.

1.Некорректные данные

2.Корректные данные

procedure Express

Назначение.

Данная процедура переводит рациональную дробь в цепную^[7].

Алгоритм.

Делим числитель на знаменатель, запоминаем его целое значение (a div b, где а – числитель, b - знаменатель), находим остаток от деления числителя на знаменатель (a mod b), присваиваем числителю значение остатка, меняем местами числитель и знаменатель, и так делаем до тех пор, пока (a mod b) не станет равен нулю.

Пример.

Рациональная дробь:123/47

Цепная дробь: [2,1,1,1,1,1,1,3]

Тесты.

1.Некорректные данные

2.Корректные данные

procedure AntiExp

Назначение.

Данная процедура переводит цепную дробь в рациональную.

Алгоритм.

Умножаем последний элемент цепной дроби с предпоследним и прибавляем к полученному значению единицу, это будет значением числителя, значением знаменателя будет последний элемент цепной дроби, меняем их местами, теперь последним элементом цепной дроби будет полученный знаменатель; так делаем, пока не закончатся элементы цепной дроби.

Пример.

Цепная дробь: [2,3,4,5]

Рациональная дробь: 157/68

Тесты.

1.Некорректные данные

2.Корректные данные

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана программа CalcKurs, выполняющая следующие функции:

1.формирование заданного подмножества натурального ряда с помощью общего делителя;

2.факторизация числа с опциями;

3.нахождение НОД и НОК для заданной совокупности натурального ряда;

4. нахождение рациональных решений уравнения с целочисленными коэффициентами;

5.представление рациональной дроби в виде цепной;

6.представление цепной дроби в виде рациональной.

К минусам программы можно отнести невысокую размерность чисел, которые участвуют в вычислениях (-2147483648..2147483647), некоторые алгоритмы можно сделать более оптимальными.

К плюсам можно отнести простоту в пользовании программой, её малую требовательность к ресурсам компьютера, программа исполняет основополагающие алгоритмы теории чисел. Она может помочь в изучении данного раздела математики.

4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел

2. http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/CHISEL_TEORIYA.html

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/Решето_Эратосфена

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Наибольший_общий_делитель

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Наименьшее_общее_кратное

6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Горнера

1. http://dic.academic.ru/dic.nsf/es/39322/непрерывная

ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг программы

program kurs; uses crt; function pow(a,x:longint):longint; var t,i:longint; begin t:=a; for i:=1 to x-1 do t:=t*a; pow:=t; end; {pow} {----------------------------------------} procedure DelOstatok; var dd:array [1..200] of integer; R:integer; {размерность чисел} i:longint; {делитель} k:longint; {остаток} D,a,b:longint; {элементы заданного множества} SUM:longint; {кол-во эл-ов, удовл условию} S,T:byte; q:char; e,j,l,n:integer; maxa,minj,maxj:longint; begin repeat begin writeln('введите ко-во чисел для нахождения НОК делителей'); readln(n); writeln('введите ',n,' чисел: '); readln(dd[1]); maxa:=dd[1]; for i:=2 to n do begin readln(dd[i]); if dd[i]>maxa then maxa:=dd[i]; end; i:=1;while (dd[i]<>0) and (i<=n) do inc(i); if i<>n+1 then writeln('НОК не сущ-ет') else begin e:=1; for i:=2 to maxa do begin maxj:=0; for l:=1 to n do begin j:=0; while (dd[l] mod i=0) do begin dd[l]:=dd[l] div i; inc(j); end; if (j>maxj) then maxj:=j; end; if (maxj<>0) then for l:=1 to maxj do e:=e*i; end; writeln('НОК делителей=',e); end; end; i:=e; write ('введите остаток='); readln(k); if ((i<=0) or (k<0)) then {проверка {вывод эл-ов на экран} end; writeln; end; writeln('Повторить ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; end; {DelOstatok} {----------------------------------------} procedure Factor; var numb, powers: array [1..100] of longint; c:longint; n:longint; n1,H:longint; i:longint; k,t: longint; q:char; begin repeat write('Введите число='); readln(c); if c<=0 then {проверка на корр числа} begin writeln('число должно быть>0'); readln; exit; end else {вывод мн-ва делителей} begin write('мн-во делителей: D(num)='); for H:= 1 to c do if c mod H=0 then write(H,' '); end; {конец вывода делителей} n:= 1; n1:= 0; while c <> 1 do begin i:= 2; while c mod i <> 0 do {проверка на делимостьс/без остатка} Inc(i); Inc(n1); if n1 = 1 then begin numb[n]:= i; powers[n]:= 1; end else if numb[n] = i then Inc(powers[n]) else begin Inc(n); {увеличение кол-ва простых множителей} numb[n]:= i; powers[n]:= 1; end; {while} c:= c div i; {деление числа на простой множитель} end; {while} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\} writeln; writeln('кол-во простых множителей: ',n); write('num = '); k:=1; t:=1; writeln('НОД=',k); if k=1 then writeln('числа взаимно простые'); end; begin i:=1;while (b[i]<>0) and (i<=n) do inc(i); if i<>n+1 then writeln('НОК не сущ-ет') else begin d:=1; for i:=2 to maxa do begin maxj:=0; for l:=1 to n do begin j:=0; while (b[l] mod i=0) do begin b[l]:=b[l] div i; inc(j); end; if (j>maxj) then maxj:=j; end; if (maxj<>0) then for l:=1 to maxj do d:=d*i; end; writeln('НОК=',d); end; end; end; writeln('Повторить ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; end;{NodNok} {----------------------------------------} procedure SuperGorner; type vector= array[1..11] of integer; rvector=array[1..100] of real; var sum,suma:real; i,k,j,b,c,a,n:integer; vec:vector; vecb:rvector; veca:rvector; q:char; BEGIN Writeln('Введите степень уравнения (max = 10)'); Readln(n); if n<=0 then writeln(‘степень не может быть<=0’) else begin Inc(n); writeln('введите его коэффициенты:'); for i := 1 to n do read(vec[i]); while vec[i]=0 do Begin i:=i-1; writeln('ответ:0'); End; k:=1; b:=vec[i]; for j:=1 to abs(b) do begin if (b mod j)=0 then begin vecb[k]:=j; k:=k+1; procedure AntiExp; var s: array [1..100] of integer; a,b,i,n,t:integer; q:char; begin repeat writeln('введите кол-во эл-ов цепной дроби='); read(n); if n<=0 then writeln(‘кол-во эл-ов не может быть<=0’) else begin writeln('введите значения этих эл-ов='); for i:=1 to n do read(s[i]); a:=1;b:=s[n]; for i:= n downto 2 do begin t:=s[i-1]*b+a; a:=b; b:=t; end; writeln; writeln(b,'/',a); end; writeln('Повторить ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; end;{AntiExp} {----------------------------------------} var k:integer; q:char; begin writeln('Дискретная математика'); writeln('Курсовая работа, группа 03-119, каф308'); writeln('выполнил: Тузов И.И.'); writeln('руководитель: Гридин А.Н.'); writeln; writeln('Калькулятор с функциями, описанными ниже'); writeln; Writeln('Нажмите Enter'); readln; clrscr; repeat writeln('Какую выполнить операцию?'); writeln; writeln('1-вычисление мн-ва N-значных чисел с заданным делителем и остатком '); writeln('2-факторизация числа'); writeln('3-нахождение НОД и НОК чисел'); writeln('4-нахождение рационльных корней уравнения с целочисл коэфф'); writeln('5-перевод рациональной дроби в цепную'); writeln('6-перевод цепной дроби в рациональную'); read(k);

делителя и остатка на отриц-сть} begin write ('делитель или остаток не могут быть<0 '); end else begin if i>k then {проверка на делитель>остатка} begin write ('введите размерность='); readln(R); if R<=0 then begin writeln ('некорректная размерность '); readln; end else begin if R=1 then begin a:=1; b:=9; end else begin a:=pow(10,(R-1)); {инициализация верх и нижн границ} b:=pow(10,R); b:=b-1; end; end; if b<i then {проверка на делимое>делителя} writeln ('делиоме не может быть < делителя ') else begin SUM:=0; {обнуление сумы кол-ва эл-ов} for D:= a to b do begin if (D mod i)=k then {проверка эл-ов на условие} begin SUM:=SUM+1; end; end; writeln; writeln ('кол-во эл-ов с делителем=', i:3, ' и остатком=', k:3, ' равно', SUM:6); end; {b<i} end {if i>k} else write ('остаток не может быть > делителя '); end; {if otriz} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\} write ('вывести значения на экран?(1-да\0-нет)'); readln(S); if S=1 then if SUM=0 then writeln('нет эл-ов, удовл. условию') else begin for D:= a to b do if (D mod i)=k then begin write(' ',D:4); {вычисление кол-ва делителей и их мн-ва} for i:= 1 to n do begin write(numb[i], ' ^ ', powers[i]); k:=k*((pow(numb[i],powers[i]+1) - 1) div (numb[i] - 1)); t:=t*(powers[i]+1); {кол-во делителей} if i <> n then write(' * '); end; writeln; writeln('кол-во множителей: tau(num)=',t); writeln('сумма множителей: sigma(num)=',k); writeln('Повторить ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; end;{Factor} {----------------------------------------} procedure NodNok; type TArray=array [1..200] of integer; var a,b:TArray; i,l,j,maxa,minj,maxj:longint; k,d:longint; n:integer; q:char; begin repeat clrscr; writeln('введите ко-во чисел для нахождения НОД и НОК'); readln(n); writeln('введите ',n,' чисел: '); if n<=0 then writeln(‘кол-во чисел не может быть<=0’) else begin readln(a[1]); b[1]:=a[1]; maxa:=a[1]; for i:=2 to n do begin readln(a[i]); b[i]:=a[i]; if a[i]>maxa then maxa:=a[i]; end; i:=1; while (a[i]=0) and (i<=n) do inc(i); if i=n+1 then writeln('НОД – любое число') else begin for j:=1 to n do if a[j]=0 then a[j]:=a[i]; k:=1; for i:=2 to maxa do begin minj:=1000; for l:=1 to n do begin j:=0; while (a[l] mod i=0) do begin a[l]:=a[l] div i; inc(j); end; if (j<minj) then minj:=j; end; if (minj<>0) then for l:=1 to minj do k:=k*i; end; vecb[k]:=-j; k:=k+1; end; end; a:=1; for j:=1 to abs(vec[1]) do begin if (vec[1] mod j)=0 then begin veca[a]:=j; a:=a+1; { veca[a]:=-j; a:=a+1;} End; end; b:=a; for j:=1 to k-1 do Begin for a:=1 to b-1 do Begin Begin c:=i; sum:=0; for i:=1 to c do Begin sum:=sum+vec[i]*pow1(vecb[j]/veca[a],c-i); if (sum<0.00001) and (sum>-0.00001) then if vec[a]=1 then writeln('ответ:',round(vecb[j])) else writeln('ответ:',round(vecb[j]), '/',round(veca[a])); end; End; End; End; end; readln; end;{SuperGorner} {----------------------------------------} procedure Express; var a,b,t:integer; q:char; begin repeat writeln('введите числитель='); readln(a); writeln('введите знаменатель='); readln(b); if b=0 then writeln(‘знаменатель не может быть=0’) else begin write('['); while (a mod b>0) do begin write(a div b,','); a:=a mod b; t:=b; b:=a; a:=t; end; write(a div b, ']'); end; writeln(‘Повторить ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; end;{Express} {----------------------------------------} case k of 1:DelOstatok; 2:Factor; 3:NodNok; 4:SuperGorner; 5:Express; 6:AntiExp; else writeln ('нет операции'); end;{case} writeln('Повторить выполнение калькулятора ?(Y/N)'); q:=ReadKey; until q in ['N','n']; clrscr; readln; end.{prog}