МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОСИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

Эффективность ведения современного лесного хозяйства определяется полнотой научных сведений, как о естественном формировании лесных фитоценозов, так и под воздействием хозяйственных мероприятий. Достоверность этих сведений оценивается путем статистической обработки цифрового материала, полученного в результате целенаправленно спланированного эксперимента и последующей производственной проверки.

Каждый из существующих статистических методов имеет свои возможности и ограниченную область применения, продиктованную спецификой эксперимента. При этом все они служат экспериментатору средством выявления закономерностей, позволяющих сделать выводы и заключения в условиях неопределенности. Достоверно полученные результаты наблюдений, представление выявленных закономерностей в виде статистических моделей следует рассматривать в практическом приложении в качестве основы применения количественных методов моделирования и оптимизации экономических, технологических и других процессов, и явлений.

Постановка задачи

Результаты наблюдения над лесохозяйственными объектами обычно фиксируются в журналах, бланках, анкетах и других документах учета или заносятся непосредственно в соответствующие файлы портативных компьютеров. Зафиксированные сведения об изучаемом объекте представляют первичный фактический материал, который нуждается в соответствующей обработке с целью исследования генеральной совокупности. На практике инженер лесного хозяйства имеет дело только с выборочной совокупностью (выборкой), т.е. частью генеральной совокупности, поэтому возникает потребность по результатам сравнительно небольшой выборки сделать предположение о поведении всей генеральной совокупности. В других случаях необходимо какой-либо совокупности величин поставить в соответствие другую совокупность и выяснить, имеется ли между ними различие, какая-нибудь взаимосвязь или нет.

Для того чтобы сделать статистическое заключение о рассматриваемом объекте, следует выполнить ряд взаимосвязанных операций:

1. Грамотно обеспечить отбор единиц выборочной совокупности;

2. Систематизировать и сгруппировать результаты наблюдений;

3. Графически представить эмпирические совокупности;

4. Получить статистические показатели для эмпирических совокупностей;

5. Получить статистические параметры для генеральной совокупности.

Единицы выборочной совокупности (варианты) должны быть отобраны так, чтобы по ним с достаточной точностью можно было судить о свойствах генеральной совокупности. Зачастую в исследованиях проводится отбор так называемых «типичных» представителей генеральной совокупности. Такой подход субъективен и не может служить основой получения качественной информации. Заданная точность в характеристике генеральной совокупности обеспечивается случайным отбором необходимого количества вариант.

Классификация и группировка вариант

Статистическая обработка первичных данных начинается с расположения вариант в определенной последовательности, зависящей от характера варьирования изучаемого признака:

1. Количественное:

   • непрерывное;

   • дискретное.

2. Качественное:

   • атрибутивное.

При непрерывном варьировании отдельные значения признака могут иметь любое значение меры (протяженности, объема, веса и т. д.) в определенных пределах. Например, толщина деревьев в древостое принимает различные значения меры протяженности до самого толстого.

При дискретном варьировании отдельные значения признака выражаются отвлеченными числами (чаще всего целыми). Например, число деревьев на пробной площади, диаметр деревьев в ступенях (классах) толщины и т. д.

При атрибутивном варьировании значения признака классифицируют по градациям этого признака. Например, цвет, повреждаемость, класс бонитета и т. д.

При качественном варьировании первоначальное упорядочивание совокупности проводят в порядке возрастания или убывания. При малом числе вариант (до 30) строится непосредственный ряд значений.

При большом объеме выборки (n > 30) ранжированный ряд не обладает свойством наглядности. Поэтому значение признака размещают с указанием числа их повторяемости в виде двойного ряда. В первой строке (столбце) заносят значение признака, а во второй строке (столбце) указывают число повторяющихся значений.

Размещение значений признака в порядке их возрастания (убывания) с указанием числа их повторяемости называют вариационным рядом. В вариационном ряду значения признака, разнесенные по классам, называют распределением частот. Очевидно, что сумма частот равна объему выборки n. Величина классового промежутка, на которую разбивается ряд варьирующих значений признака, определяется по формуле:

C = X _max – X _min / i ,

где X _max и X _min – максимальное и минимальное значение признака; i – число классовых промежутков.

Число классовых промежутков зависит от объема выборки и ориентировочно равно корню квадратному из числа наблюдений, т. е. i = √ n .

Задание 1. Расчет статистических показателей для малой выборочной совокупности

Изучаемый признак – объем деревьев (м³).

Данные замеров объема приведены в таблице 1

Таблица 1

Данные для статистической обработки малой выборочной совокупности

0,64	1,20	1,28	0,88	1,08
1,06	0,79	1,82	0,65	0,34
0,86	1,26	1,05	2,06	0,70
0,89	0,83	0,99	0,64	0,26 (Xmin)
1,02	0,41	0,96	0,89	0,74
0,59	1,23	1,41	0,56	0,39

1. Находим среднюю величину распределения по формуле:

X_ср = ∑ Χ_i / n,

где n – объем выборочной совокупности равный 30. Подставляя данные из таблицы в формулу, получим:

X_ср = 27,48 / 30 = 0,916 м ³.

2. Определим сумму квадратов отклонений (СКО) каждой варианты от средней величины по формуле:

СКО = ∑(X_i – X_ср)².

Предварительно определив все квадраты отклонения, находим их сумму:

СКО = 0,430336 + 0,331776 + 0,276676 + 0,256036 + 0,126736 + 0,106276 + 0,076176 + 0,076176 + 0,070756 + 0,046656 + 0,030976 + 0,015876 + 0,007396 + 0,003136 + 0,001296 + 0,000676 + 0,000676 + 0,001936 + 0,005476 + 0,010816 + 0,017956 + 0,020736 + 0,026896 + 0,080656 + 0,098596 + 0,118336 + 0,132496 + 0,244036 + 0,817216 + 1,308736 = 4,74152 м ⁶.

3. Находим дисперсию, характеризующую степень разнообразия объекта, используя формулу: δ ² = СКО / n.

Отсюда δ ² = 4,74152 / 30 = 0,1581 м ⁶ .

4. Рассчитываем стандартное отклонение – основной показатель вариации, характеризующий варьирование значений признака вокруг центра распределения: δ = √ δ ² .

Тогда δ = √ 0,1581 = 0,3976 = 0,4 м ³.

5. Вычислим коэффициент вариации – показатель изменчивости признака. Он определяется как C_v = δ ∙ 100%/ X_ср.

Имеем C_v = 0,4 / 0,916 ∙ 100 = 43,67 %.

По шкале Мамаева для установления уровня изменчивости признака определяем, что уровень изменчивости в данном случае высокий (таблица 2).

6. Находим коэффициент дифференциации, характеризующий изменчивость признака. Он определяется как V_δ = δ ∙ 100 % / (X_ср – X_min),

где X_min = 0,26 м³.

Тогда V_δ = 0,4 ∙ 100 / (0,916 – 0,26) = 40 / 0,656 = 60,98 %.

Степень дифференциации признака определим с помощью таблицы 3, из которой следует, что эта степень большая.

Таблица 2

Шкала Мамаева для установления уровня изменчивости признака

Величина коэффициента вариации, %	Уровень изменчивости
до 7	очень низкий
7 – 15	Низкий
16 – 25	Средний
26 – 35	Повышенный
36 – 50	Высокий
более 50	очень высокий

Таблица 3

Классификация степени дифференциации признака

Величина коэффициента дифференциации, %	Степень дифференциации
до 13	Слабая
13 – 27	Умеренная
28 – 38	Средняя
39 – 53	Значительная
54 – 70	Большая
более 70	очень большая

7. Расчет ошибок репрезентативности.

Ошибка средней величины вычисляется по формуле:

m _x = + δ / √n .

В нашем случае: m_x = + 0,4 / √30 =+ 0,073 м ³.

Ошибка стандартного отклонения: m _δ = + δ / √2n .

Значит m _δ = + 0,4 / √2 ∙ 30 = + 0,052 м ³.

Ошибка коэффициента вариации:

m _c = + C_v / √n ∙ √0,5 + (C_v/100)².

Тогда m_c=+43,67/5,48 ∙ √0,5 + (43,67/100) ²=+ 7,97 ∙ 0,831 =+ 6,623 %.

Ошибка точности: m _p = + m _c / √n .

Отсюда m _p = + 6,623 / 5,48 = + 1,21 %.

8. Находим точность определения средней величины

p = + (m _x / X_ср) ∙ 100 %.

Отсюда p = + (0,073 / 0,916) ∙ 100 = + 7,97 %.

Данный показатель позволяет сделать заключение о достоверности эмпирических данных для получения достоверных результатов.

9. Достоверность статистических показателей (надежность)

Достоверность – отношение величины статистического показателя к его ошибке репрезентативности. Это отношение должно быть ≥ 3, определяется по t – критерию.

Достоверность средней величины: t_x = X_ср / m_x .

Значит t_x = 0,916 / 0,073 = 12,55.

Достоверность стандартного отклонения: t_δ = δ / m_δ .

Тогда t_δ = 0,4 / 0, 052 = 7,69.

Достоверность коэффициента вариации: t_c = C_v / m_c .

Имеем t_c = 43,67 / 6,623 = 6,59.

Достоверность точности: t_p = p / m_p .

Получаем t_p = 7,97 / 1,21 = 6,587.

Все статистические показатели достоверны, т. к. их отношение к ошибкам репрезентативности больше 3 во всех случаях

10. Доверительный интервал для генеральной средней

ДИГС - интервал нахождения средней величины для всей генеральной совокупности.

ДИГС = X_ср + m_x ∙ t_0,5 ,

где t_0,5 – критерий Стьюдента на 5% уровне значимости, определяется по числу степеней свободы (см. приложение).

Число степеней свободы – число свободно варьирующих вариант (v)

v = n – 1 = 30 – 1 =29 t_0,5 = 2,045

Находим ДИГС = 0,916 + 0,073 ∙ 2,045; ДИГС 0,767 ÷ 1,065 м ³.

Чем меньше расстояние между точками интервала, тем точнее выборочная совокупность характеризует генеральные параметры.

11. Необходимое число наблюдений для будущих исследований

n = ((C_v ∙ K)/p)²,

где C_v – расчетный коэффициент вариации;

p – заданная точность (3 %);

К – коэффициент порогового уровня доверительной вероятности (К₁ =1; К₂ = 1,98; К₃ =2,63) .

n₁ = (43,67 ∙ 1 / 3)² = 212 шт.

n₂ = (43,67 ∙ 1,98 / 3)² = 831 шт.

n₃ = (43,67 ∙ 2,63 / 3)² = 1466 шт.

Статистическое заключение

В результате анализа малой выборочной совокупности в виде измерения объема деревьев получили следующие статистические показатели с их ошибками репрезентативности:

- средняя величина 0,916 + 0,073 м ³;

- стандартное отклонение 0,4 + 0,052 м ³;

- коэффициент вариации 43,67 + 6,623 %, которому по шкале Мамаева соответствует высокий уровень изменчивости;

- коэффициент дифференциации 60,98 %, которому по классификации соответствует большая степень дифференциации.

Точность определения средней величины 7,97 + 1,21 %.

Все статистические показатели достоверны, т. к. их отношение к ошибкам репрезентативности больше 3 во всех случаях.

Доверительный интервал генеральной средней 0,767 – 1,065 м ³.

Необходимое число наблюдений для будущих исследований, которое бы обеспечивало заданную точность 3 % при известном коэффициенте вариации 43,67 % и трех пороговых уровнях доверительной вероятности следующее:

- для первого порогового уровня 212 штук;

- для второго порогового уровня 831 штука;

- для третьего порогового уровня 1466 штук.

Задание 2. Расчет статистических показателей для большой выборочной совокупности

Изучаемый признак – диаметр деревьев, см.

Данные для статистической обработки большой выборочной совокупности приведены в таблице 4.

Таблица 4.

Данные для статистической обработки большой выборочной совокупности

Ступени толщины, см
4	8	12	16	20	24	28	32	36	40

Для построения вариационного ряда выполняем следующие расчеты:

1. Выбираем X_min и X_max X_min = 4 см; X_max = 40 см.

Устанавливаем размах варьирования:

X_max – X_min = 40 – 4 = 36 см.

2. Определяем классовый интервал:

С = (X_max – X_min) / i,

где X_min – минимальное значение варианты; X_max – максимальное значение варианты; i

– количество классов, i = √ n , где n – объем выборочной совокупности.

Применяя формулу Стерджеса,

C = X_max – X_min / 1 + 3,32 ln n =( X_max – X_min)/ i,

где i = √ n , при n = 100 i = √100 = 10.

Тогда C = 40 – 4 / 10 = 3,6 см. Принимаем С = 4.

3. Устанавливаем границы классов

Нижняя граница

Xmin – С/2 = 4 – 4 / 2 = 2 см.

Верхняя граница

X_min + C/2 = 4 + 4/2 = 6 см.

Вычисленные границы классов представлены в таблице 5.

Таблица 5.

Границы классов

Классы	Границы классов
I	2,0 – 6,0
II	6,1 – 10,0
III

10,1 – 14,0

IV

14,1 – 18,0

V

18,1 – 22,0

VI

22,1 – 26,0

VII

26,1 – 30,0

VIII

30,1 – 34,0

IX

34,1 – 38,0

X

38,1 – 42,0

После установления границ классов можно приступить к схематическому изображению вариационного ряда.

Схематическое изображение вариационного ряда

Классы I II III IV V VI VII VIII IX X

Границы 2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22 – 26 – 30 – 34 – 38 – 42 Классов

Частота, шт. 8 19 32 47 50 61 46 19 15 7

Накопленная 8 27 59 106 156 217 263 282 297 304

частота, шт.

Группировка данных, расчет средней величины и суммы квадратов отклонений

Границы классов,	Частота F,	Группов. варианта	По исходным данным			По преобразованным Данным
см.	шт.	X I, см	F ∙ X i	X2i	F ∙ X2i	X1=(Xi- A)/C	F ∙ X1	X12	F ∙ X21
						A =24
2,0 - 6,0	8	4	32	16	128	-5	-40	25	200
6,1 -10,0	19	8	152	64	1216	-4	-76	16	304
10,1 14,0	32	12	384	144	4608	-3	-96	9	288
14,1 - 18,0	47	16	752	256	12032	-2	-94	4	188
18,1 - 22,0	50	20	1000	400	20000	-1	-50	1	50
22,1 - 26,0	61	24	1464	576	35136	0	0	0	0
26,1 - 30,0	46	28	1288	784	36064	1	46	1	46
30,1 - 34,0 19 32 608 1024 19456 2 38 4 76 34,1 - 38,0 15 36 540 1296 19440 3 45 9 135 38,1 - 42,0 7 40 280 1600 11200 4 28 16 112   ∑F = n ∑X i ∑(F ∙Xi)   ∑(F * X2ι )   ∑(F ∙X1)   ∑(F ∙X12)   292,882634 220 6500   292,882634   292,882634   292,882634 I 1) Средняя величина Xср = ∑ F ∙ X I / n, где Xi – групповая варианта. Значит Xср = 6500 / 304 = 21,38 см. 2) Сумма квадратов отклонений СКО = ∑(F ∙ Xi2) – (∑(F ∙ X i))2 / n. Тогда СКО = 159280 – 42250000 / 304 = 159280 – 138980 = 20300 см 2. II 1) Средняя величина Xср = A + (∑(F * Xι) / n) ∙ C. Отсюда Xср = 24 + (- 199 / 304) ∙ 4 = 24 + (- 0,6546) ∙ 4 = 24 – 2,6184 = 21,38 см. Xср1 = Xср2 = 21,38 см. X1 = Xi – A / C. 2) Сумма квадратов отклонений СКО = ( ∑(F ∙ X12) – (∑(F ∙ Xι ) 2 / n ) ∙ C2 . Отсюда получаем СКО = (1399 – (39601 / 304 )) ∙ 16 = (1399 – 130,2664) ∙ 16 = 20299,74 = 20300 см 2. 3) Дисперсия δ 2 = СКО / n – 1. Находим δ 2 = 20300 / 303 = 66,78 см 2. 4) Рассчитываем стандартное отклонение – основной показатель вариации, характеризующий варьирование значений признака вокруг центра распределения: δ = √ δ 2 . Тогда δ = √ 66,78 = 8,172 см. 5) Вычислим коэффициент вариации – показатель изменчивости признака. Он определяется как Cv = δ ∙ 100%/ Xср. Имеем Cv = 8,172 / 21,38 ∙ 100 = 38,22 %. По шкале Мамаева (см. таблица 2) для установления уровня изменчивости признака определяем, что уровень изменчивости в данном случае высокий. 6) Находим коэффициент дифференциации, характеризующий изменчивость признака. Он определяется как Vδ = δ ∙ 100 % / (Xср – X0) + C/2, где X0 - значение первого класса ряда распределения. В нашем случае X0 = 2 см. Тогда Vδ = 8,172 ∙ 100 / (21,38 – 2) + 2 = 44, 17 %. Степень дифференциации признака определим с помощью таблицы 3, из которой следует, что эта степень значительная, т.к. ее коэффициент находится в интервале 39 - 53 %. 7) Расчет ошибок репрезентативности. Ошибка средней величины вычисляется по формуле: m x = + δ / √n . В нашем случае: mx = + 8,172 / √304 =+ 8,172 / 17,44 =+ 0,47 см. Ошибка стандартного отклонения: m δ = + δ / √2n . Значит m δ = + 8,172 / √2 ∙ 304 = + 8,172 / 24,66 =+ 0,331 см. Ошибка коэффициента вариации: m c = + Cv / √n ∙ √0,5 + (Cv/100)2. Тогда m c = + 38,22 / 17,44 ∙ √0,5 + (38,22/100) 2 = + 2,192 ∙ 0,804 =+ 1,762 %. Ошибка точности: m p = + m c / √n . Отсюда m p = + 1,762 / 17,44 = + 0,101 %. 8) Находим точность определения средней величины p = + (m x / Xср) ∙ 100 %. Отсюда p = + (0,47 / 21,38) ∙ 100 = + 2,2 %. Данный показатель позволяет сделать заключение о достоверности эмпирических данных для получения достоверных результатов. 9) Достоверность статистических показателей (надежность) Достоверность – отношение величины статистического показателя к его ошибке репрезентативности. Это отношение должно быть ≥ 3, определяется по t – критерию. Достоверность средней величины: tx = Xср / mx . Значит tx = 21,38 / 0,47 = 45,49. Достоверность стандартного отклонения: tδ = δ / mδ . Тогда tδ = 8,172 / 0,331 = 24,69. Достоверность коэффициента вариации: tc = Cv / mc . Имеем tc = 38,22 / 1,762 = 21,69. Достоверность точности: tp = p / mp . Получаем tp = 2,2 / 0,101 = 21,78. Все статистические показатели достоверны, т. к. их отношение к ошибкам репрезентативности больше 3 во всех случаях 10) Доверительный интервал для генеральной средней ДИГС - интервал нахождения средней величины для всей генеральной совокупности. ДИГС = Xср + mx ∙ t0,5 , где t0,5 – критерий Стьюдента на 5% уровне значимости, определяется по числу степеней свободы (см. приложение). Число степеней свободы – число свободно варьирующих вариант (v) v = n – 1 = 304 – 1 =303 t0,5 = 1,96 Находим ДИГС = 21,38 + 0,47 ∙ 1,96 = 21,38 + 0,92; ДИГС 20,46 ÷ 22,3 см. Чем меньше расстояние между точками интервала, тем точнее выборочная совокупность характеризует генеральные параметры. В нашем случае интервал несколько завышен. 11) Необходимое число наблюдений для будущих исследований n = ((Cv ∙ K)/p)2, где Cv – расчетный коэффициент вариации; p – заданная точность (3 %); К – коэффициент порогового уровня доверительной вероятности (К1 =1; К2 = 1,98; К3 =2,63) . n1 = (38,22 ∙ 1 / 3)2 = 162 штуки. n2 = (38,22 ∙ 1,98 / 3)2 = 636 штук. n3 = (38,22 ∙ 2,63 / 3)2 = 1123 штуки. Статистическое заключение В результате анализа большой выборочной совокупности в виде измерения объема деревьев получили следующие статистические показатели с их ошибками репрезентативности: - средняя величина 21,38 + 0,47 см; - стандартное отклонение 8,172 + 0,331 см; - коэффициент вариации 38,22 + 1,762 %, которому по шкале Мамаева соответствует повышенный уровень изменчивости; - коэффициент дифференциации 44,17 %, которому по классификации соответствует значительная степень дифференциации. Точность определения средней величины 2,2 + 0,101 %. Доверительный интервал генеральной средней 20,46 – 22,3 см. Необходимое число наблюдений для будущих исследований, которое бы обеспечивало заданную точность 3 % при известном коэффициенте вариации 38,22 % и трех пороговых уровнях доверительной вероятности следующее: - для первого порогового уровня 162 штуки; - для второго порогового уровня 636 штук; - для третьего порогового уровня 1123 штук. Графическое представление вариационного ряда После того как произведена группировка совокупности по классам, характер распределения более или менее проясняется. Однако более наглядное представление этого распределения дает графическое изображение. Графическое представление вариационного ряда с использованием Microsoft Excel Задание 3. Расчет среднеквадратических ошибок При проведении полевого и других опытов проявляются три вида ошибок. Ошибка – это расхождение между различными значениями выборочной совокупности или отдельных наблюдений от истинных значений измеряемых величин. Основные свойства ошибок и причины их возникновения Случайные (среднеквадратические ошибки) – это ошибки, возникающие под воздействием факторов, действие которых не значительно и их нельзя выделить и учесть отдельно. Случайные ошибки в полевом опыте неизбежны. Математическая статистика дает методы их определения. Систематические – искажают измеряемую величину в сторону преувеличения или преуменьшения в результате действия вполне определенной постоянной причины. Исключить действие этой причины можно путем применения правильной методики. Случайные ошибки имеют знак +. Они взаимопогашаются, а систематические нет. Грубые (промахи) – возникают в результате нарушения основных требований полевого опыта. Грубые ошибки не погашаются, а результат бракуется. Для математической обработки подходят лишь результаты наблюдений без систематических и грубых ошибок. Таблица 6. Расчет среднеквадратических ошибок. Запас, м3 / га Откло- нение Откло- нение с поправкой Квадрат отклонений с поправкой Расчет ошибок Факти- ческий Глазомерный такс. № 1 230 180 - 19,41 - 19,36 374,81 Систематическая ошибка: Δ = + Σоткл / n = = - 9,16 / 13 = 0,71 % Поправка: Δ’ = + Δ / n = = 0,71 / 13 = 0,05 % Случайная ошибка: σ = + (√СКО / n – 1) / √n = = + 13,68 / 3,61 = + 3,79 % Ошибка для всех случаев: m σ = + σ / √ n = = + 3,79 / 3,61 = + 1,05 % 210 240 14,27 14,22 202,21 220 200 - 9,52 - 9,47 89,68 240 270 13,21 13,16 173,19 260 220 - 10,33 - 10,28 105,68 310 340 12,64 12,59 158,51 300 270 - 11,08 - 11,03 121,66 320 350 13,19 13,14 172,66 350 320 - 13,78 - 13,73 188,51 360 400 15,26 15,21 231,34 370 350 - 8,01 - 7,96 63,36
380	410	10,43	10,38	107,74
440	400	- 16,03	- 15,98	255,36
N = 13		∑откл 292,882634		СКО 292,882634

Таблица 7

Запас, м3 / га		Откло- нение	Откло- нение с поправкой	Квадрат отклонений с поправкой	Расчет ошибок
Факти- ческий	Глазомерный такс. № 2
230	220	- 4,76	- 4,713	22,212	Систематическая ошибка: Δ = + Σоткл / n = = 8,02 / 13 = 0,617 % Поправка: Δ’ = + Δ / n = = 0,617 / 13 = 0,047 % Случайная ошибка: σ = + (√СКО / n – 1) / √n = = + 7,73 / 3,61 = + 2,141 % Ошибка для всех случаев: m σ = + σ / √ n = = + 2,141 / 3,61 = + 0,593 %
210	220	4,68	4,633	21,465
220	210	- 3,96	- 3,913	15,312
240	250	4,13	4,083	16,671
260	240	- 8,87	- 8,823	77,845
310	360	15,19	15,143	229,310
300	290	- 4,62	- 4,573	20,912
320	360	10,53	10,483	109,893
350	330	- 8,08	- 8,033	64,529
360	390	9,39	9,343	87,292
380	370	- 5,00	- 4,953	24,532
370	380	3,45	3,403	11,580
400	390	- 4,06	- 4,013	16,104
N = 13		∑откл 292,882634		СКО 292,882634

Статистическое заключение

Второй таксатор определил запас древесины глазомерным способом точнее, так как его ошибка для всех случаев меньше чем у первого таксатора.

Задание 4. Расчет теоретических частот для кривой нормального распределения

Расчет теоретических частот эмпирического ряда производим следующим образом:

1. Находим значение функции плотности вероятности нормального распределения через величину нормированного отклонения по приложению учебника.

2. Вычисляем теоретические частоты ряда распределения n` по соответствующим данным объема выборки при величине классового промежутка по формуле:

n` = (nC / δ) ∙ f(x),

где n – объем выборки; C – классовый интервал; δ – стандартное отклонение; f(x) – плотность вероятности.

Таблица 8

Вычисление выравнивающих частот по уравнению Лапласа – Гаусса

Классы X, см	Эмпирические частоты, шт.	Отклонение │X i – X ср│= = Δ X Xср = 21,38	Нормирован. отклонение t = ΔX / δ δ = 8,172 см	Плотность вероятнос. нормальн. распредел.	Теоретическая частота n`, шт.
					фактич.	округл.
4	8	17,38	2,126774	0,0413	6,145	6
8	19	13,38	1,637298	0,1040	15,475	15
12	32	9,38	1,147822	0,2059	30,638	31
16	47	5,38	0,658346	0,3209	47,750	48
20	50	1,38	0,168869	0,3932	58,508	59
24	61	2,62	0,320607	0,3790	56,395	56
28	46	6,62	0,810083	0,2874	42,765	43
32	19	10,62	1,299559	0,1714	25,504	26
36	15	14,62	1,789036	0,0804	11,964	12
40	7	18,62	2,278512	0,0297	4,419	4
220	n = 304					n`= 292,882634

- в первый столбец вписаны групповые варианты – X_i , см;

- во втором столбце – эмпирическая частота n, шт.;

- в четвертом столбце – нормированное отклонение, показывающее, насколько «δ» отдельные члены данной совокупности отклоняются от среднего уровня учитываемого признака. Нормированное отклонение рассчитываем по формуле: t = │(X_i – X _ср) / δ│.

Например, для первого значения варианты X_i = 4 получим:

t = │(4 – 21,38) / 8,172 │= 2,126774.

В пятом столбце находятся значения функции для нормированного отклонения – f(x), взятые из таблицы в соответствии с полученными значениями t .

В шестой столбец сведены значения теоретически рассчитанной частоты – n`, штук.

Например: n` = (304 ∙ 4 / 8,172) ∙ 0,0413 = 6,145.

По результатам вычислений построим графики распределения эмпирических и теоретических частот.

Задание 5. Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию χ – квадрат Пирсона

Критерий χ- квадрат (χ ²⁾ впервые был предложен К. Пирсоном в 1901 году. Пользуясь этим критерием можно произвести оценку различий между эмпирическим и теоретическим распределением частот. Он рассчитывается по формуле: χ ² = ∑ (n_i – n`)<sup>2</sup> / n`,

где n_i – эмпирическая частота; n` - теоретическая частота.

Оценка значимости критерия χ ² производится по специальной таблице (приложение 3 учебника Герасимов, Хлюстов), в которой приведены стандартные значения этого критерия (χ ²_st) для трех пороговых уровней доверительной вероятности и для разных чисел степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу классов без трех k = n – 3.

Если χ ²_ф < χ ²_st , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением подчиняется тому закону, по которому рассчитаны теоретические частоты.

Таблица 9

Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределением деревьев сосны по диаметру на уровне груди.

Классы, xi (диаметр), см.	Частоты		n I – n`	(n i – n`)2	(n i – n`)2 / n`
	Эмпирические (n i), штук	Теоретические (n`), штук
4	8	6,145	1,855	3,441	0,560
8	19	15,475	3,525	12,426	0,803
12	32	30,638	1,362	1,855	0,061
16	47	47,750	- 0,75	0,563	0,012
20	50	58,508	- 8,508	72,386	1,237
24	61	56,395	4,605	21,206	0,376
28	46	42,765	3,235	10,465	0,245
32	19	25,504	- 6,504	42,302	1,659
36	15	11,964	3,036	9,217	0,770
40	7	4,419	2,581	6,662	1,508
292,882634	n = 292,882634				292,882634

Теоретические частоты берутся неокругленными.

χ ²_ф = 7,231. χ ²_05/01 = 14,10 / 18,50, при k = 10 – 3 = 7. χ ²_ф < χ ²_05/01 .

Следовательно, нулевая гипотеза H₀ не отвергается, т.к. различия между эмпирическим и теоретическим распределением частот не существенны.

Статистическое заключение

Так как χ ²_ф < χ ²_05/01, то можно сделать вывод о том, что опытное распределение деревьев по диаметру на уровне груди подчиняется закону предполагаемого теоретического распределения.

Задание 6. Статистическое сравнение частот взвешенных рядов эмпирических распределений по критерию Колмогорова

Если два эмпирических распределения имеют различное количество классов и объем совокупности, то согласие между ними устанавливается по критерию λ , рассчитанному по формуле:

λ = │(∑n ₁ /N₁) - (∑n ₂/N₂)│_max ∙ √ N₁N₂ / N₁ + N₂ , где

│(∑n ₁ /N₁) - (∑n ₂/N₂)│_max = d _max , тогда

λ = d _max ∙ √ N₁N₂ / N₁ + N₂ ,

где n ₁ и n ₂ – частоты первого и второго сравниваемых рядов; N₁ и N₂ – объемы первого и второго рядов.

Сравнение частот взвешенных рядов по критерию Колмогорова приведено в таблице 10.

Для оценки статистической гипотезы расчетное значение λ _ф сравнивается с табличным на 1% или 5%-ном уровне значимости: λ _05/01 = 1,36 / 1,63. λ _Ф < λ_05/01 , следовательно, H₀ – гипотеза не отвергается, различия между сравниваемыми рядами распределения не существенны.

Таблица 10

Сравнение частот взвешенных рядов по критерию Колмогорова

Диаметр деревьев см	Эмпирическая Частота		∑ n 1	∑ n 2	∑n1/ N1	∑n2/ N2	d
	n 1, шт.	n 2, шт.
4	8	7	8	7	0,026	0,032	0,006
8	19	12	27	19	0,089	0,087	0,002
12	32	20	59	39	0,194	0,178	0,016
16	47	28	106	67	0,349	0,306	0,043
20	50	41	156	108	0,513	0,493	0,020
24	61	50	217	158	0,714	0,721	0,007
28	46	31	263	189	0,865	0,863	0,002
32	19	18	282	207	0,928	0,945	0,017
36	15	8	297	215	0,977	0,982	0,005
40	7	4	304	219	1,000	1,000

Из таблицы видно, что d _max = 0,043. Тогда

λ _ф = 0,043 ∙ √ (304 ∙ 219) / 304 + 219 = 0,043 ∙ 11,283 = 0,4852.

Статистическое заключение

В результате сравнения двух эмпирических рядов распределения деревьев сосны по диаметру можно сделать заключение о том, что получены не существенные различия между ними, так как фактическое значение λ _ф критерия меньше λ критерия на 5% уровне значимости.

Статистическое сравнение эмпирического распределения с теоретическим по критерию Колмогорова – Смирнова

При помощи критерия λ – Колмогорова-Смирнова сопоставляют эмпирические и теоретические частоты рядов распределения, а также дают оценку различий двух эмпирических распределений.

Для сопоставления эмпирического и теоретического распределения частот λ – критерий рассчитывается по формуле: λ = │(∑n _i /N) - (∑n`/N)│<sub>max</sub> ∙ √N , где N – объем эмпирического ряда распределения │(∑n <sub>i</sub> /N) – (∑n`/N)│= d , тогда λ = d_max ∙ √N.

Таблица 11

Статистическая оценка эмпирических и теоретических рядов распределения по критерию λ – Колмогорова-Смирнова.

Классы, xi (диаметр деревьев), см.	Эмпирические частоты (n i), штук	Теоретические частоты (n`), штук	∑ n i	∑ n` ∑n i/ N ∑n`/ N D 4 8 6 8 6 0,026 0,020 0,006 8 19 15 27 21 0,089 0,070 0,019 12 32 31 59 52 0,194 0,173 0,021 16 47 48 106 100 0,349 0,333 0,016 20 50 59 156 159 0,513 0,530 0,017 24 61 56 217 215 0,714 0,717 0,003 28 46 43 263 258 0,865 0,860 0,005 32 19 26 282 284 0,928 0,947 0,019 36 15 12 297 296 0,977 0,987 0,010 40 7 4 304 300 1,000 1,000 0 λ ф = 0,021 ∙ √304 = 0,021 ∙ 17,44 = 0,366. Для оценки статистической гипотезы расчетное значение λ – Колмогорова-Смирнова сравнивается с табличным на 1% или 5%-ном уровне значимости: λ 05/01 = 1,36 / 1,63 Так как λ ф < λ 05/01, то H0 – гипотеза не отвергается, различия между эмпирическим и теоретическим распределениями частот не существенны. Статистическое заключение В результате сравнения эмпирического и теоретического рядов распределения можно сделать заключение о том, что существенных различий между ними нет, так как фактическое значение λ – критерия меньше λ на 5%-ном уровне значимости. Задание 7. Статистическое сравнение двух выборочных средних по t – критерию Стьюдента при неравнозначных выборках Если объемы выборочных совокупностей неравны (выборки неравнозначные), то t – критерий Стьюдента определяется по формуле: t ф = d / S d , где d = │X1 ср – X2 ср│, т.е. разность между сравниваемыми средними; S d – ошибка разности выборочных средних. S d = √ ((n1 – 1) ∙ δ12 + (n2 – 1) ∙ δ22 / n1 + n2 – 2 ) ∙ (n1 + n2 / n1 n2), где n1 и n2 – объемы сравниваемых выборочных совокупностей; δ1 и δ2 – значение стандартного отклонения. Пример расчета вспомогательных величин для вычисления t – критерия фактического приведен в таблице 12. Таблица 12 Статистическое сравнение двух выборочных средних по t – критерию Стьюдента Фамилия Объем выборки n, шт. Средняя величина x, см. Ошибка средней δ x, см. t фак t05/01 Цветков 304 21,38 8,172 0,203 0,852 0,648 1,96 / 2,58 Гусев 316 21,51 8,386 Смирнов 335 21,94 8,744 d1 = │21,38 – 21,51│ = 0,13, d2 = │21,38 – 21,94│ = 0,56, d3 = │21,51 – 21,94│ = 0,43. S d1 = √ ((304 – 1) ∙ 8,172 2 + (316 – 1) ∙ 8,386 2 / 304 + 316 – 2 ) ∙ (304 + 316 / 304 ∙ 316) = √ (20234,82 + 22152,37 / 618) ∙ (620 / 96064) = √68,588 ∙ 0,006 = 0,642. S d2 = √ ((304 – 1) ∙ 8,172 2 + (335 – 1) ∙ 8,744 2 / 304 + 335 – 2 ) ∙ (304 + 335 / 304 ∙ 335) = √ (20234,82 + 25536,82 / 637) ∙ (639 / 101840) = √71,855 ∙ 0,006 = 0,657. S d3 = √ ((316 – 1) ∙ 8,386 2 + (335 – 1) ∙ 8,744 2 / 316 + 335 – 2 ) ∙ (316 + 335 / 316 ∙ 335) = √ (22152,37 + 25536,82 / 649) ∙ (651 / 105860) = √73,481 ∙ 0,006 = 0,664. t факт 1 = 0,13 / 0,642 = 0,203, t факт 2 = 0,56 / 0,657 = 0,852, t факт 3 = 0,43 / 0,664 = 0,648. Фактическое значение t –критерия (t факт) сравниваем с t s на 1% и 5%-ном уровне значимости. t05/01 определяем по приложению 1 учебника (Герасимов, Хлюстов), исходя из числа степеней свободы. Формула для вычисления числа степеней свободы имеет вид: k = n1 + n2 – 2. В нашем случае k1 = 304 + 316 – 2 = 618, k2 = 637 и k3 = 649, следовательно, t05/01 = 1,96 / 2,58. Так как t факт 1, t факт 2 и t факт 3 меньше t05/01 , то H0 – гипотеза не отвергается, следовательно, различия несущественные. Статистическое заключение В результате сравнения выборочной средней Цветкова со средней Гусева и Смирнова, а также сравнения последних двух между собой, делаем заключение о несущественных различиях между ними, т. к. во всех случаях t факт < t05/01 . Статистическое сравнение двух выборочных средних по t – критерию Стьюдента при равнозначных выборках Критерий t – Стьюдента используется для сравнения средних значений совокупностей. Фактическое значение критерия определяют по формуле: t = │X1 ср – X2 ср│ / √ (m2X1ср + m2X2ср), где X1 ср и X2 ср. – значения сравниваемых средних выборочных совокупностей; m2X1ср и m2X2ср – значения квадратов ошибок средних выборочных совокупностей. Данная формула применяется для сравнения средних выборочных совокупностей с равнозначным объемом; т. е. n1 = n2, где n1 и n2 – объем сравниваемых выборочных совокупностей. Таблица 12.1 Статистическое сравнение двух выборочных средних по t – критерию Стьюдент Фамилия Объем выборки n, шт. Средняя величина x, мм. Ошибка средней m x, мм. t фак	t05/01
Цветков	30	0,916	0,073	0,767	2,05 / 2,76
Смирнов	30	0,827	0,090

t _факт = │0,916 – 0,827│/ √0,073 ² + 0,09 ² = 0,089 / 0,116 = 0,767.

Фактическое значение t – критерия (t _ф) сравнивается с t₀₅ на 1% и 5%-ном уровне значимости, которые определяются с использованием приложения учебника (Герасимов, Хлюстов). Причем число степеней свободы устанавливается по формуле: k = n – 1.

В данном случае k = 30 – 1 =29, следовательно, t_05/01 = 2,05 / 2,76.

Так как t _ф < t_05/01, то H₀ – гипотеза не отвергается, различия несущественные.

Статистическое заключение

В результате сравнения выборочной средней Цветкова со средней Смирнова делаем заключение о несущественном различии между ними, т.к. t _ф < t_05/01.

Задание 8. Установить зависимость различий в формовом разнообразии облепихи крушиновидной на выровненном экофоне (однофакторный дисперсионный анализ)

Структура опыта:

1. Объект – облепиха крушиновидная.

2. Варианты опыта – различные формы облепихи.

3. Изучаемый признак – средний вес плода, гр.

4. Комплекс однофакторный, т.к. 1 изучаемый признак.

5. Комплекс равномерный, т.к. количество повторностей по всем вариантам одинаковое.

Схема расчета средних по вариантам приведена в таблице 13

Таблица 13

Схема расчета по дисперсионному анализу

Вариант опыта (форма)	Повторности										Число Наблю дений, n	Сумма по варианту	Средн. по варианту
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I Дар Катуни	10	12	13	11	10	9	9	11	13	-	9	98	10,89
II Витаминная	8	10	9	7	8	7	9	8	10	-	9	76	8,44
III Алтайская	18	20	16	15	19	17	16	18	20	-	9	159	17,67
IV Алма-атинская	15	13	14	13	13	12	14	13	12	-	9	109	12,11
V Нижегородская	22	19	20	18	20	20	21	19	18	-	9 177 19,67 n 45 xi 292,882634 xср13,756 Xср = (10,89 + 8,44 + 17,67 + 12,11 + 19,67) / 5 = 13,756 гр. Расчет преобразованных значений и сумм по вариантам проведен в таблице 14. Таблица 14 Таблица преобразованных значений Варианты X1 = Xi – A Сумма 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I - 4 - 2 - 1 - 3 - 4 - 5 - 5 - 3 - 1 - - 28 II - 6 - 4 - 5 - 7 - 6 - 7 - 5 - 6 - 4 - - 50 III 4 6 2 1 5 3 2 4 6 - 33 IV 1 - 1 0 - 1 - 1 - 2 0 - 1 - 2 - - 7 V 8 5 6 4 6 6 7 5 4 - 51 ∑ X1 292,882634 А – значение варианты (Xi), которое имеет близкое значение к среднему. В нашем случае X ср = 13,756 гр, следовательно, А = 14 гр. Тогда X1 = 10 – 14 = - 4 и т. д. Вычисление суммы квадратов отклонений Общее число наблюдений: n = N = 45. 1. Корректирующий фактор C = (∑ x1)2/ N C = (- 1)2 /45 = 0,02. 2. Общая дисперсия Cy = ∑ (x)2 – C Cy = 106 + 288 + 147 + 13 + 303 – 0,02 = 856,98. 3. Дисперсия вариантов C v = (∑ y2/ n) – C C v = (784 + 2500 + 1089 + 49 + 2601) / 9 – 0,02 = 780,31. 4. Дисперсия остатка C z = C y – C v C z = 856,98 – 780,31 = 76,67. Результаты вычислений представлены в таблице 15. Таблица 15 Результаты вычислений Дисперсия Сумма квадратов Число степеней свободы Средний Квадрат F p F05/01 Общая Cy 856,98 45 – 1 = 44 101,76 2,61 / 3,83 Вариант C v 780,31 I – 1 = 4 = k1 916,68 Остатка C z 76,67 44 – 4 = 40 = k2 9,264 δ2v = 780,31 / 4 = 195,08. δ2z = 76,67 / 40 = 1,917. Оценка значимости воздействия изучаемых факторов осуществляется по F – критерию Фишера: Fp = δ2v / δ2z . Значит F p = 195,08 / 1,917 = 101,76. F01 и F05 определяем по числу степеней свободы меньшей дисперсии (остатка) и по числу степеней свободы большей дисперсии (вариантов), по приложению учебника (стр. 247). Откуда находим, что F01 = 3,83 и F05 = 2,61. F p >> F01, следовательно, различия между сравниваемыми вариантами можно считать существенными, а если так, то необходимо произвести оценку по наименьшей существенной разности (НСР05). Чтобы определить НСР необходимо по данным дисперсионного анализа вычислить обобщенную ошибку средней величины по опыту и ошибку разности средних. 1. Ошибка опыта: S x = + √ δ2z / n. S x = + √ 1,917 / 9 = + 0,4615. 2. Ошибка разности средних: S d = + √2 δ2z / n. S d =+ √ 3,834 / 9 = + 0,6527. НСР05 = S d ∙ t 05 , v = 40, t 05 = 2,023. Тогда НСР05 = 0,6527 ∙ 2,023 = 1,32 гр. НСР05 = ((S d ∙ t 05)/ X ср) ∙ 100 %. НСР05 = ((0,6527 ∙ 2,023) / 13,756) ∙ 100 % = 9,6 %. Определение места в ряду распределения приведено в таблице 16. Таблица 16 Итог результатов опыта Варианты Средний вес плода гр Разность со стандартом Место в ряду гр % I 10,89 - 1,22 - 10,07 II 8,44 - 3,67 - 30,31 III	17,67	5,56	45,91	II
IV	12,11 = St	0	0
V	19,67	7,56	62,43	I

Статистическое заключение

По результатам дисперсионного анализа можно сделать заключение о том, что различия между сравниваемыми вариантами существенные, т.к. F _p >> F₀₁ (101,76 >> 3,83).

Для производства рекомендуется вариант № V (сорт Нижегородская) т.к. его фактическая разность со стандартом превышает значение НСР₀₅ (62,43 > 9,6).

Задание 9. Корреляционный анализ малой выборочной совокупности

Расчет вспомогательных величин для вычисления коэффициента корреляции приведен в таблице 17.

Таблица 17

Расчет вспомогательных величин для коэффициента корреляции

Значение признака		Xi2	Yi2	Xi ∙ Yi
Диаметр ствола Xi	Высота дерева Yi
24,0 см	22,2 м	576	492,84	532,8
24,5	22,5	600,25	506,25	551,25
25,3	23,0	640,09	529	581,9
26,4	23,5	696,96	552,25	620,4
27,0	23,7	729	561,69	639,9
28,5	24,0	812,25	576	684
29,0	24,6	841	605,16	713,4
30,4	25,0	924,16	625	760
31,5	25,5	992,25	650,25	803,25
32,0	25,0	1024	625	800
32,8	25,8	1075,84	665,64	846,24
33,5	26,0	1122,25	676	871
35,0	26,5	1225	702,25	927,5
36,6	26,4	1339,56	696,96	966,24
37,5	27,0

	1406,25	729	1012,5
38,0	27,5	1444	756,25	1045
39,5	27,8	1560,25	772,84	1098,1
40,2	26,9	1616,04	723,61	1081,38
42,0	27,3	1764	745,29	1146,6
43,5	28,0	1892,25	784	1218
44,0	27,0	1936	729	1188
44,7	27,7	1998,09	767,29	1238,19
45,3	28,1	2052,09	789,61	1272,93
46,0	28,5	2116	812,25	1311
48,5	28,0	2352,25	784	1358
49,0	28,5	2401	812,25	1396,5
50,6	28,3	2560,36	800,89	1431,98
51,5	29,0	2652,25	841	1493,5
52,0	27,0	2704	729	1404
53,2	28,4	2830,24	806,56	1510,88
54,0	28,6	2916	817,96	1544,4
56,0	29,0	3136	841	1624
Σ Xi	Σ Yi	ΣXi2	Σ Yi2	Σ (Xi ∙ Yi)
292,882634	846,3	51935,68	22506,09	33672,84

Вычисляем вспомогательные величины:

X_ср = Σ X _i / n = 1252 / 32 = 39,125 см;

Y_ср = Σ Y_i / n = 846,3 / 32 = 26,447 м.

Σ (X_i – X_ср)² = ΣX_i² – ((ΣX_i)² / n) = 51935,68 – (1567504 / 32) = 51935,68 – 48984,5 = 2951,18;

Σ (Y_i – Y_ср)² = ΣY_i² – ((ΣY_i)² / n) = 22506,09 – (716223,69 / 32) = 22506,09 – 22381,99 = 124,1;

Σ (X_i – X_ср) ∙ (Y_i – Y_ср) = ΣX_i ∙ Y_i – ((ΣX_i ∙ΣY_i ) / n) = 33672,84 – (1059567,6 / 32) = 33672,84 – 33111,49 = 561,35, где n = 32.

Теперь вычислим коэффициент корреляции по формуле:

r = + Σ (X_i – X_ср) ∙ (Y_i – Y_ср) / √ Σ (X_i – X_ср)² ∙ Σ (Y_i – Y_ср)² .

Отсюда

r = + 561,35 / √2951,18 ∙ 124,1 = + 561,35 / 605,18 = + 0,928.

Далее вычислим ошибку коэффициента корреляции:

m _r = + √1 – r² /(n – 2).

Значит m _r = + √1 – 0,928² /(32 – 2) = + 0,068.

Значимость корреляции:

t = r / m _r.

t = 0,928 / 0,068 = 13,65.

Число степеней свободы в данном случае: v = n – 2 = 32 – 2 = 30. Находим t₀₅ по таблице для определения критерия Стьюдента.

Откуда следует, что t₀₅ = 2,045. t _r = 13,65 > t₀₅, значит, корреляция значима.

Расчет вспомогательных величин для вычисления корреляционного отношения приведен в таблице 18.

Согласно результатам вычислений определим корреляционное отношение по формуле:

η = √( Σα² - ΣΔy²) / Σα².

Тогда

η = √(124,1 – 8,2028) / 124,1 = 0,966.

Находим ошибку корреляционного отношения:

Таблица 18

Расчет вспомогательных величин для вычисления корреляционного отношения

Ступени толщины	Диаметр Xi	Высота Yi	Yуслов.	Отклонения
				α = yi - yср yср=26,45	α 2	Δy = yi -yу	Δy2
24	24,0 см	22,2 м	22,57 24,16 25,76 26,97 27,33 27,86 28,45 28,00 29,00	- 4,25	18,063	- 0,37	0,1369

24,5

22,5

- 3,95

15,603

- 0,07

0,0049

25,3

23,0

- 3,45

11,903

0,43

0,1849

28

26,4

23,5

- 2,95

8,7025

- 0,66

0,4356

27,0

23,7

- 2,75

7,5625

- 0,46

0,2116

28,5

24,0

- 2,45

6,0025

- 0,16

0,0256

29,0

24,6

- 1,85

3,4225

0,44

0,1936

30,4

25,0

- 1,45

2,1025

0,84

0,7056

32

31,5

25,5

- 0,95

0,9025

- 0,26

0,0676

32,0

25,0

- 1,45

2,1025

- 0,76

0,5776

32,8

25,8

- 0,65

0,4225

0,04

0,0016

33,5

26,0

- 0,45

0,2025

0,24

0,0576

35,0

26,5

0,05

0,0025

0,74

0,5476

36

36,6

26,4

- 0,05

0,0025

- 0,57

0,3249

37,5

27,0

0,55

0,3025

0,03

0,0009

38,0

27,5

1,05

1,1025

0,53

0,2809

40

39,5

27,8

1,35

1,8225

0,47

0,2209

40,2

26,9

0,45

0,2025

- 0,96

0,9216

42,0

27,3

0,85

0,7225

- 0,03

0,0009

44

43,5

28,0

1,55

2,4025

0,14

0,0196

44,0

27,0

0,55

0,3025

- 0,86

0,7396

44,7

27,7

1,25

1,5625

- 0,16

0,0256

45,3

28,1

1,65

2,7225

0,24

0,0576

46,0

28,5

2,05

4,2025

0,64

0,4096

48

48,5

28,0

1,55

2,4025

- 0,45

0,2025

49,0

28,5

2,05

4,2025

0,05

0,0025

50,6

28,3

1,85

3,4225

- 0,15

0,0225

51,5

29,0

2,55

6,5025

0,55

0,3025

52

52,0

27,0

0,55

0,3025

- 1,00

1

53,2

28,4

1,95

3,8025

0,40

0,16

54,0

	28,6		2,15	4,6225	0,60	0,36
56	56,0	29,0		2,55	6,5025	0,00	0
					Σα 2 292,882634		ΣΔy2 292,882634

m _η = 1- η²/ √ n.

Значит

m _η = 1 – (0,966)² / √32 = 0,0668 / 5,66 = 0,012.

Значимость корреляционного отношения: t = η / m_η.

Тогда t = 0,966 / 0,012 = 80,5.

Определим меру линейности корреляции: ε = η² – r².

ε = 0,933 – 0,861 = 0,072.

Находим основную ошибку:

m_ε = √ε / n = √0,072 / 32 = 0,047.

По отношению меры линейности к основной ошибке дадим характеристику линейности связи. ε/ m_ε = 0,072 / 0,047 = 1,532 < 2.

Связь приблизительно можно считать линейной.

Степень тесноты связи между признаками по величине коэффициента корреляции определяется с помощью таблицы 19.

Таблица 19

Таблица для определения тесноты связи

Степень тесноты связи	Величина коэффициента корреляции
слабая	0 – 0,3
умеренная	0,31 – 0,5
значительная	0,51 – 0,7
высокая	0,71 – 0,9
очень высокая	0,91 и выше

Статистическое заключение

По результатам корреляционного анализа можно сделать вывод о том, что взаимосвязь между диаметром и высотой ствола по направлению – прямая, по тесноте – очень высокая, по форме – линейная (см. график).

Задание 10. Регрессионный анализ

Математические выражения, отражающие причинно-следственные взаимосвязи и взаимодействия в системах (или модели связи) являются основными типами моделей, применяемых в области лесного хозяйства. В качестве математической формы эмпирических моделей связи, в основном, используют регрессионные уравнения и реже – интерполяционные многочлены. В первом случае применяют различные модификации метода наименьших квадратов, позволяющие просто и достаточно надежно оценить статистическим путем разрабатываемую модель. Второй метод сводится к механической процедуре аналитического выражения числовых массивов.

Для вычисления коэффициентов регрессионных уравнений основным методом является метод наименьших квадратов, предложенный в начале 19 в. Лежандром и Гауссом. Требование метода наименьших квадратов заключается в том, что теоретические точки линии регрессии y должны быть получены таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений от этих точек эмпирических значений была минимальной, т.е.

Σ(Y_i – Y_x)² — min.

Линейное уравнение с логарифмированием факторного признака

Для вычисления коэффициентов a и b для уравнения прямой с логарифмированием факторного признака

y = a + b ln x

необходимо решить следующую систему уравнений:

a n + b Σ ln x_i = Σ y_i ;

a Σ ln x_i + b Σ( ln x_i)² = Σ y_i ln x.

Решение системы относительно неизвестных a и b дает численные значения искомых коэффициентов:

a = (Σ y_i Σ( ln x_i)² – Σ y_i ln x_i Σ ln x_i )/( n Σ( ln x_i)² – (Σ ln x_i)² ),

b = (n Σ y_i ln x_i – Σ ln x_i Σ y_i) / (n Σ( ln x_i)² – ( Σ ln x_i)².

Задание: Найти уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в основном древостое, используя линейную модель с логарифмированием факторного признака.

Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов уравнения приведен в таблице 20.

Таблица 20

Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов a и b

Диаметр Xi , см	Высота Yi , м	ln xi	(ln xi)2	yi ln x	Y x	yi–yx	(yi–yx)2	yi2
24,0	22,2	3,178054	10,10003	70,5528	23,05707	-0,85707	0,734568	492,84
24,5	22,5	3,198673	10,23151	71,97015	23,20996	-0,70996	0,504045	506,25
25,3	23,0	3,230804	10,4381	74,3085	23,44821	-0,44821	0,200896	529
26,4	23,5	3,273364	10,71491	76,92405	23,76379	-0,26379	0,069587	552,25
27,0	23,7	3,295837	10,86254	78,11133	23,93043	-0,23043	0,053098	561,69
28,5	24,0	3,349904	11,22186	80,3977	24,33134	-0,33134	0,109785	576
29,0	24,6	3,367296	11,33868	82,83548	24,4603	0,139701	0,019516	605,16
30,4	25,0	3,414443	11,65842	85,36107	24,80989	0,190108	0,036141	625
31,5	25,5	3,449988	11,90241	87,97468

25,07346

0,426542

0,181938

650,25

32,0

25,0

3,465736

12,01133

86,6434

25,19023

-0,19023

0,036188

625

32,8

25,8

3,490429

12,18309

90,05306

25,37333

0,426673

0,182049

665,64

33,5

26,0

3,511545

12,33095

91,30018

25,52991

0,470091

0,220985

676

35,0

26,5

3,555348

12,6405

94,21672

25,85471

0,645294

0,416405

702,25

36,6

26,4

3,600048

12,96035

95,04127

26,18616

0,213842

0,045729

696,96

37,5

27,0

3,624341

13,13585

97,85721

26,36629

0,633712

0,401591

729

38,0

27,5

3,637586

13,23203

100,0336

26,4645

1,035499

1,072257

756,25

39,5

27,8

3,676301

13,51519

102,2012

26,75157

1,048431

1,099207

772,84

40,2

26,9

3,693867

13,64465

99,36502

26,88182

0,018176

0,00033

723,61

42,0

27,3

3,73767

13,97017

102,0384

27,20662

0,09338

0,00872

745,29

43,5

28,0

3,772761

14,23373

105,6373

27,46682

0,533178

0,284278

784

44,0

27,0

3,78419

14,32009

102,1731

27,55157

-0,55157

0,304225

729

44,7

27,7

3,799974

14,4398

105,2593

27,6686

0,031396

0,000986

767,29

45,3

28,1

3,813307

14,54131

107,1539

27,76747

0,332528

	0,110575	789,61
46,0	28,5	3,828641	14,65849	109,1163	27,88118	0,618824	0,382943	812,25
48,5	28,0	3,881564	15,06654	108,6838	28,2736	-0,2736	0,074855	784
49,0	28,5	3,89182	15,14627	110,9169	28,34965	0,150352	0,022606	812,25
50,6	28,3	3,923952	15,3974	111,0478	28,5879	-0,2879	0,082887	800,89
51,5	29,0	3,941582	15,53607	114,3059	28,71863	0,281371	0,07917	841
52,0	27,0	3,951244	15,61233	106,6836	28,79027	-1,79027	3,205074	729
53,2	28,4	3,974058	15,79314	112,8633	28,95944	-0,55944	0,312976	806,56
54,0	28,6	3,988984	15,91199	114,0849	29,07012	-0,47012	0,22101	817,96
56,0	29,0	4,025352	16,20346	116,7352	29,33978	-0,33978	0,115452	841
Σ xi 292,882634	Σ yi 292,882634	Σ ln xi 116,329	Σ(ln xi)2 424,9532	Σyi ln xi 3091,847	Σyx 846,3146	Σ - 0,0146	Σ 10,59007	Σyi2 292,882634

Находим коэффициенты a и b по следующим формулам:

a = (Σ y_i Σ( ln x_i)² – Σ y_i ln x_i Σ ln x_i )/( n Σ( ln x_i)² – (Σ ln x_i)² ),

b = (n Σ y_i ln x_i – Σ ln x_i Σ y_i) / (n Σ( ln x_i)² – ( Σ ln x_i)²).

Отсюда получим

a = (846,3 ∙ 424,9532 – 3091,847 ∙ 116,329) / (32 ∙ 424,9532 – 13532,4362) = (359637,8932 – 359671,4697) / (13598,5024 – 13532,4362) = - 33,5765 / 66,0662 = - 0,5082.

b = (32 ∙ 3091,847 – 116,329 ∙ 846,3) / (32 ∙ 424,9532 – 13532,4362) = (98939,104 – 98449,2327) / 66,0662 = 489,8713 / 66,0662 = 7,415.

Полученное уравнение регрессии имеет вид

y = - 0,5082 + 7,415 ln x.

Произведем проверку значимости уравнения регрессии по F – критерию Фишера. При этом сравним общую дисперсию S_y² c остаточной S²_ост.

F _ф = S _y² / S ²_ост .

Здесь S ²_ост = Σ(y_i – y_x)²/ (n – 2) = 10,59007 / 30 = 0,353,

S _y² = ( Σy_i² – (( Σy_i)² / n )) / n – 1 = (22506,09 – 22381,99) / 31 = 4,00.

Тогда

F _ф = 4,00 / 0,353 = 11,33.

При уровне значимости α = 0,05 F _ф > F _p = 1,84. Следовательно, линейное уравнение регрессии адекватно описывает фактическое изменение высот от диаметров деревьев. При этом значение F _ф = 11,33 указывает на то, что уравнение линии в 11 раз лучше описывает рассматриваемую взаимосвязь, чем среднее значение зависимой переменной.

Статистическое заключение

По результатам регрессионного анализа можно сделать заключение о том, что линейное уравнение с логарифмированием факторного признака, представленное результатами опыта y = - 0,5082 + 7,415 ln x (красный график) в 11,33 раза лучше описывает изменение зависимой переменной, чем среднее значение аргумента

Уравнение гиперболы

Для вычисления коэффициентов a и b гиперболической зависимости:

y = a + b / x ,

необходимо решить следующую систему уравнений:

an + b Σ(1/x_i ) = Σ y_i

a Σ(1/x_i ) + b Σ(1/x_i²) = Σ(y_i / x_i ) .

Результатом решения системы нормальных уравнений являются следующие выражения:

a = (Σ y_i Σ(1/x_i ) ² – Σ(y_i / x_i ) Σ(1/x_i )) / n Σ(1/x_i ) ²- (Σ(1/x_i ) )², (1)

b = n Σ(y_i / x_i ) - Σ(1/x_i ) Σ y_i / n Σ(1/x_i ) ²- (Σ(1/x_i ) )². (2)

Проверка значимости уравнения регрессии производится, как и в первом случае по F – критерию Фишера. При этом общая дисперсия S_y² сравнивается с остаточной S ²_ост ;

F _ф = S _y² / S ²_ост .

Для принятого уровня значимости F _ф сравнивается с табличным значением F _st и делается вывод об адекватности описания уравнением рассматриваемой взаимосвязи.

Задание: Получить уравнение регрессии, описывающее фактическое изменение высот от диаметров в основном древостое, используя линейную модель. Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов уравнения приведен в таблице 21.

Таблица 21

Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов a и b

Диаметр Xi , см

Высота Yi , м

1/ xi

(1/ xi)2

y_i / x_i

Y _x

y_i – y_x

(y_i– y_x)²

y_i²

24,0

22,2

0,041667

0,001736

0,925

22,54271

-0,34271

0,117449

492,84

24,5

22,5

0,040816

0,001666

0,918367

22,77314

-0,27314

0,074607

506,25

25,3

23,0

0,039526

0,001562

0,909091

23,12289

-0,12289

0,015103

529

26,4

23,5

0,037879

0,001435

0,890152

23,56919

-0,06919

0,004787

552,25

27,0

23,7

0,037037

0,001372

0,877778

23,7973

-0,0973

0,009467

561,69

28,5

24,0

0,035088

0,001231

0,842105

24,32554

-0,32554

0,105979

576

29,0

24,6

0,034483

0,001189

0,848276

24,48948

0,110517

0,012214

605,16

30,4

25,0

0,032895

0,001082

0,822368

24,91982

0,080178

0,006428

625

31,5

25,5

0,031746

0,001008

0,809524

25,23111

0,268889

0,072301

650,25

32,0

25,0

0,03125

0,000977

0,78125

25,36553

-0,36553

0,133613

625

32,8

25,8

0,030488

0,00093

0,786585

25,57208

0,227921

0,051948

665,64

33,5

26,0

0,029851

0,000891

0,776119

25,74472

0,255284

0,06517

676

35,0

26,5

0,028571

0,000816

0,757143

26,0914

0,4086

0,166954

702,25

36,6

26,4

0,027322

0,000747

0,721311

26,42987

-0,02987

0,000892

696,96

37,5

27,0

0,026667

0,000711

0,72

26,60757

0,392427

0,153999

729

38,0

27,5

0,026316

0,000693

0,723684

26,70266

0,797342

0,635754

756,25

39,5

27,8

0,025316

0,000641

0,703797

26,97347

0,826532

0,683155

772,84

40,2

26,9

0,024876

0,000619

0,669154

27,09293

-0,19293

0,037222

723,61

42,0

27,3

0,02381

0,000567

0,65

27,38183

-0,08183

0,006697

745,29

43,5

28,0

0,022989

0,000528

0,643678

27,60432

0,395678

0,156561

784

44,0

27,0

0,022727

0,000517

0,613636

27,67511

-0,67511

0,455778

729

44,7

27,7

0,022371

0,0005

0,619687

27,77156

-0,07156

0,005121

767,29

45,3

28,1

0,022075

0,000487

0,620309

27,85186

0,248141

0,061574

789,61

46,0

28,5

0,021739

0,000473

0,619565

27,94289

0,557109

0,31037

812,25

48,5

28,0

0,020619

0,000425

0,57732

28,24656

-0,24656

0,06079

784

49,0

28,5

0,020408

0,000416

0,581633

28,30357

0,196429

0,038584

812,25

50,6

28,3

0,019763

0,000391

0,559289

28,47845

-0,17845

0,031843

800,89

51,5

29,0

0,019417

0,000377

	0,563107	28,57204	0,427961	0,183151	841
52,0	27,0	0,019231	0,00037	0,519231	28,62263	-1,62263	2,632943	729
53,2	28,4	0,018797	0,000353	0,533835	28,74018	-0,34018	0,115725	806,56
54,0	28,6	0,018519	0,000343	0,52963	28,81565	-0,21565	0,046504	817,96
56,0	29,0	0,017857	0,000319	0,517857	28,99488	0,005125	2,63E-05	841
Σ Xi 292,882634	Σ Yi 292,882634	Σ 1/ xi 0,87211	Σ (1/ xi)2 0,02537	Σ yi / xi 22,6305	Σ yx 846,353	Σ - 0,053	Σ 6,4527	Σyi2 292,882634

Находим коэффициенты a и b по формулам (1) и (2):

a = (846,3 ∙ 0,02537 – 22,6305 ∙ 0,87211) / (32 ∙ 0,02537 – 0,76058) = (21,47063 – 19,73629) / (0,81184 – 0,76058) = 1,73434 / 0,05126 = 33,834;

b = (32 ∙ 22,6305 – 0,87211 ∙ 846,3) / 0,05126 = (724,176 – 738,067) / 0,05126 = - 13,891 / 0,05126 = - 270,991.

Полученное уравнение регрессии имеет вид

y = 33,834 – 270,991 / x.

Произведем проверку значимости уравнения регрессии по F – критерию Фишера. При этом сравним общую дисперсию S_y² c остаточной S ²_ост .

F _ф = S _y² / S ²_ост .

Здесь S ²_ост = Σ(y_i – y_x)²/ (n – 2) = 6,4527 / 30 = 0,2151,

S _y² = ( Σy_i² – (( Σy_i)² / n )) / n – 1 = (22506,09 – 22381,99) / 31 = 4,00.

Тогда

F _ф = 4,00 / 0,2151 = 18,596.

При уровне значимости α = 0,05 F _ф > F _st = 1,84. Следовательно, гиперболическое уравнение регрессии адекватно описывает фактическое изменение высот от диаметров деревьев. При этом значение F _ф = 18,596 указывает на то, что уравнение гиперболы уже в 18 раз лучше описывает рассматриваемую взаимосвязь, чем среднее значение аргумента.

Статистическое заключение

По результатам регрессионного анализа можно сделать заключение о том, что линейное уравнение гиперболы, представленное результатами опыта y = 30,77 – 224,46 / x (красный график) в 18,596 раза лучше описывает изменение зависимой переменной, чем среднее значение аргумента.

Уравнение показательной кривой.

Для вычисления коэффициентов a и b уравнения

y = a b ^x

необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

n ln a + ln b Σ x_i = Σ y_i ,

ln a Σ x_i + ln b Σ x_i² = Σ x_i ln y_i .

Решение системы относительно неизвестных a и b дает численные значения искомых коэффициентов:

ln a = (Σ y_i Σ x_i² – Σ x_i ln y_i Σ x_i) / (n Σ x_i² – (Σ x_i)²), (3)

ln b = (n Σ x_i ln y_i – Σ x_i Σ ln y_i) / (n Σ x_i² – (Σ x_i)²). (4)

Задание: Найти уравнение регрессии, описывающее фактические значения высот по диаметрам в основном древостое, используя уравнение показательной кривой.

Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов уравнения приведен в таблице 22.

Находим коэффициенты a и b по формулам (3) и (4):

ln a = (104,712 ∙ 51935,68 – 4118,55 ∙ 1252) / (32 ∙ 51935,68 – (1252)²) = (5438756,345 –5156424,60) / (1661941,76 – 1567504) = 282331,745 / 94437,76 = 2,9896.

Отсюда при том, что основание натурального логарифма e = 2,7182 получим a = 19,88.

Ln b = (32 ∙ 4118,55 – 1252 ∙ 104,712) / 94437,76 = (131793,6 – 131099,424) / 94437,76 =

= 694,176 / 94437,76 = 0,00735.

Значит b = 1,007.

Таблица 22

Расчет вспомогательных величин для нахождения коэффициентов a и b

Диаметр Xi , см	Высота Yi , м	lnyi,м	xi2	xi ln yi	Y x	yi– yx	(yi– yx)2	yi2
24,0	22,2	3,100092	576	74,40221	23,50302	-1,30302	1,697862	492,84
24,5	22,5	3,113515	600,25	76,28113	23,58514	-1,08514	1,177523	506,25
25,3	23,0	3,135494	640,09	79,328	23,71712	-0,71712	0,514264	529
26,4	23,5	3,157	696,96	83,34481	23,89981	-0,39981	0,159846	552,25
27,0	23,7	3,165475	729	85,46783	24,00005	-0,30005	0,090028	561,69
28,5	24,0

3,178054

812,25

90,57453

24,25249

-0,25249

0,06375

576

29,0

24,6

3,202746

841

92,87965

24,33722

0,262777

0,069052

605,16

30,4

25,0

3,218876

924,16

97,85383

24,57606

0,423939

0,179724

625

31,5

25,5

3,238678

992,25

102,0184

24,76536

0,734637

0,539691

650,25

32,0

25,0

3,218876

1024

103,004

24,85189

0,148109

0,021936

625

32,8

25,8

3,250374

1075,84

106,6123

24,99096

0,809036

0,654539

665,64

33,5

26,0

3,258097

1122,25

109,1462

25,11329

0,886708

0,786251

676

35,0

26,5

3,277145

1225

114,7001

25,37744

1,122558

1,260136

702,25

36,6

26,4

3,273364

1339,56

119,8051

25,66227

0,737734

0,544251

696,96

37,5

27,0

3,295837

1406,25

123,5939

25,82388

1,176118

1,383254

729

38,0

27,5

3,314186

1444

125,9391

25,91411

1,585892

2,515054

756,25

39,5

27,8

3,325036

1560,25

131,3389

26,18668

1,613318

2,602796

772,84

40,2

26,9

3,292126

1616,04

132,3435

26,31486

0,585138

0,342387

723,61

42,0

27,3

3,306887

1764

138,8892

26,64736

0,652643

0,425943

745,29

43,5

28,0

3,332205

1892,25

144,9509

26,92764

1,072356

1,149948

784

44,0

27,0

3,295837

1936

145,0168

27,02173

-0,02173

0,000472

729

44,7

27,7

3,321432

1998,09

148,468

27,15399

0,546006

0,298123

767,29

45,3

28,1

3,33577

2052,09

151,1104

27,26788

0,832119

0,692421

789,61

46,0

28,5

3,349904

2116

154,0956

27,40135

1,098646

1,207023

812,25

48,5

28,0

3,332205

2352,25

161,6119

27,8834

0,116602

0,013596

784

49,0

28,5

3,349904

2401

164,1453

27,98082

0,51918

0,269548

812,25

50,6

28,3

3,342862

2560,36

169,1488

28,29486

0,005137

2,64E-05

800,89

51,5

29,0

3,367296

2652,25

173,4157

28,47306

0,526942

0,277668

841

52,0

27,0

3,295837

2704

171,3835

28,57254

-1,57254

2,472882

729

53,2

28,4

3,346389

2830,24

178,0279

28,81272

-0,41272

0,170335

806,56

54,0

28,6

3,353407

2916

181,084

28,97396

-0,37396

0,139843

817,96

56,0

29,0

3,367296

3136

188,5686

29,38101

-0,38101

0,145169

841

Σx_i

292,882634

Σy_i

292,882634

Σln y_i

104,712

Σ x_i²

292,882634

Σx_i ln y_i

4118,55

Σ y_x

837,664

Σ

8,636

Σ

21,865

Σy_i²

292,882634

Полученное уравнение регрессии имеет вид

y = 19,88 ∙ 1,007 ^x.

Произведем проверку значимости уравнения регрессии по F – критерию Фишера. При этом сравним общую дисперсию S_y² c остаточной S ²_ост .

F _ф = S _y² / S ²_ост .

Здесь S ²_ост = Σ(y_i – y_x)²/ (n – 2) = 21,865 / 30 = 0,729,

S _y² = ( Σy_i² – (( Σy_i)² / n )) / n – 1 = (22506,09 – 22381,99) / 31 = 4,00.

Тогда

F _ф = 4,00 / 0,729 = 5,487.

При уровне значимости α = 0,05 F _ф > F _st = 1,84. Следовательно, линейное уравнение показательной кривой адекватно описывает фактическое изменение высот от диаметров деревьев. При этом значение F _ф = 5,487 указывает на то, что уравнение показательной кривой всего лишь в 5,487 раза лучше описывает рассматриваемую взаимосвязь, чем среднее значение аргумента.

Статистическое заключение

По результатам регрессионного анализа можно сделать заключение о том, что уравнение показательной кривой, представленное результатами опыта y = 19,88 ∙ 1,007 ^x (красный график), в 5,487 раза лучше описывает изменение зависимой переменной.

Окончательный выбор типа уравнения регрессии

На практике может сложиться ситуация, когда несколько уравнений адекватно предсказывают значения. В этом случае наиболее подходящим уравнением регрессии является то, которое характеризуется наибольшим фактическим значением F – критерия Фишера.

Взаимное сравнение уравнений регрессии приведено в таблице 23.

Таблица 23

Взаимное сравнение уравнений регрессии

Вид уравнения Регрессии	Дисперсия		F – критерий
	Общая	Остаточная	F ф	F st
y = - 0,5082 + 7,415 ln x	4,00	0,353	11,33	1,84
y = 33,834 – 270,991 / x		0,2151	18,596
y = 19,88 ∙ 1,007 x		0,729	5,487

Взаимное сравнение показывает, что наилучшие результаты дает уравнение регрессии, выражаемое уравнением гиперболы (F _ф = 18,596).

Расчет погрешностей и ошибок.

Рассчитаем погрешности и ошибки уравнений по следующим формулам:

абсолютная погрешность уравнения: δ = +√(1/n) Σ(y_i – y_x)²,

Тогда δ₁ = + √(1/32) ∙ 10,59007 = + 0,5753; δ ₂ = + √(1/32) ∙ 6,4527 = + 0,4491;

δ ₃ = + √(1/32) ∙ 21,8653 = + 0,8266.

Относительная погрешность уравнения

Δ = + √(1/n)Σ((y_i – y_x)/y_x)² 100,

Обозначим через Z _i1 = (y_i – y_x)₁ / y_x1 , Z _i2 = (y_i – y_x)₂ / y_x2 , Z _i3 = (y_i – y_x)₃ / y_x3

Таблица 24

(yi – yx)1
(yi – yx)2	(yi – yx)3	yx1	yx2	yx3	Zi1	Zi2	Zi3
-0,85707	-0,34271	-1,30302	23,05707	22,54271	23,50302	-0,03717	-0,0152	-0,05544
-0,70996	-0,27314	-1,08514	23,20996	22,77314	23,58514	-0,03059	-0,01199	-0,04601
-0,44821	-0,12289	-0,71712	23,44821	23,12289	23,71712	-0,01912	-0,00531	-0,03024
-0,26379	-0,06919	-0,39981	23,76379	23,56919	23,89981	-0,0111	-0,00294	-0,01673
-0,23043	-0,0973	-0,30005	23,93043	23,7973	24,00005	-0,00963	-0,00409	-0,0125
-0,33134	-0,32554	-0,25249	24,33134	24,32554	24,25249	-0,01362	-0,01338	-0,01041
0,139701	0,110517	0,262777	24,4603	24,48948	24,33722	0,005711	0,004513	0,010797
0,190108	0,080178	0,423939	24,80989	24,91982	24,57606	0,007663	0,003217	0,01725
0,426542	0,268889	0,734637	25,07346	25,23111	24,76536	0,017012	0,010657	0,029664
-0,19023	-0,36553	0,148109	25,19023	25,36553	24,85189	-0,00755	-0,01441	0,00596
0,426673	0,227921	0,809036	25,37333	25,57208	24,99096	0,016816	0,008913	0,032373
0,470091	0,255284	0,886708	25,52991	25,74472	25,11329	0,018413	0,009916	0,035308
0,645294	0,4086	1,122558	25,85471	26,0914	25,37744	0,024958	0,01566	0,044234
0,213842	-0,02987	0,737734	26,18616	26,42987	25,66227	0,008166	-0,00113	0,028748
0,633712	0,392427	1,176118	26,36629	26,60757	25,82388	0,024035	0,014749	0,045544
1,035499	0,797342	1,585892	26,4645	26,70266	25,91411	0,039128	0,02986	0,061198
1,048431	0,826532	1,613318	26,75157	26,97347	26,18668	0,039191	0,030642	0,061608
0,018176	-0,19293	0,585138	26,88182	27,09293	26,31486	0,000676	-0,00712	0,022236
0,09338	-0,08183	0,652643	27,20662	27,38183	26,64736	0,003432	-0,00299	0,024492
0,533178	0,395678	1,072356	27,46682	27,60432	26,92764	0,019412	0,014334	0,039824
-0,55157	-0,67511	-0,02173	27,55157	27,67511	27,02173	-0,02002	-0,02439	-0,0008
0,031396	-0,07156	0,546006	27,6686	27,77156	27,15399	0,001135	-0,00258	0,020108
0,332528	0,248141	0,832119	27,76747	27,85186	27,26788	0,011975	0,008909	0,030516
0,618824	0,557109	1,098646	27,88118	27,94289	27,40135	0,022195	0,019937	0,040095
-0,2736	-0,24656	0,116602	28,2736	28,24656	27,8834	-0,00968	-0,00873	0,004182
0,150352	0,196429	0,51918	28,34965	28,30357	27,98082	0,005304	0,00694	0,018555
-0,2879	-0,17845	0,005137	28,5879	28,47845	28,29486	-0,01007	-0,00627	0,000182
0,281371	0,427961	0,526942	28,71863	28,57204	28,47306	0,009798	0,014978	0,018507
-1,79027	-1,62263	-1,57254	28,79027	28,62263	28,57254	-0,06218	-0,05669	-0,05504
-0,55944	-0,34018	-0,41272	28,95944	28,74018	28,81272	-0,01932	-0,01184	-0,01432
-0,47012	-0,21565	-0,37396	29,07012	28,81565	28,97396	-0,01617	-0,00748	-0,01291
-0,33978	0,005125	-0,38101	29,33978	28,99488	29,38101	-0,01158	0,000177	-0,01297
Z12	Z22	Z32				Σ Zi1 292,882634	Σ Zi2 292,882634	Σ Zi3 292,882634
0,001382	0,000231	0,003074	Теперь находим Δ 1 = + √ (1/32) ∙ 0,01486 ∙ 100 = + 2,155 %; Δ 2 = + √ (1/32) ∙ 0,008574 ∙ 100 = + 1,637 %; Δ 3 = + √ (1/32) ∙ 0,03257 ∙ 100 = + 3,190 %. Систематическая ошибка op = (1/n)Σ((yi – yx)/yx) ∙ 100, op1 = (1/32) ∙ (- 0,00287) ∙ 100 = - 0,0089; op2 = (1/32) ∙ (- 0,003138) ∙ 100 = - 0,0098; op3 = (1/32) ∙ 0,324011 ∙ 100 = 1,0125.
0,000936	0,000144	0,002117
0,000365	2,82E-05	0,000914
0,000123	8,62E-06	0,00028
9,27E-05	1,67E-05	0,000156
0,000185	0,000179	0,000108
3,26E-05	2,04E-05	0,000117
5,87E-05	1,04E-05	0,000298
0,000289	0,000114	0,00088
5,7E-05	0,000208	3,55E-05
0,000283	7,94E-05	0,001048
0,000339	9,83E-05	0,001247
0,000623	0,000245	0,001957
6,67E-05	1,28E-06	0,000826
0,000578	0,000218	0,002074
0,001531	0,000892	0,003745
0,001536	0,000939	0,003796
4,57E-07	5,07E-05
0,000494
1,18E-05	8,93E-06	0,0006
0,000377	0,000205	0,001586
0,000401	0,000595	6,46E-07
1,29E-06	6,64E-06	0,000404
0,000143	7,94E-05	0,000931
0,000493	0,000398	0,001608
9,36E-05	7,62E-05	1,75E-05
2,81E-05	4,82E-05	0,000344
0,000101	3,93E-05	3,3E-08
9,6E-05	0,000224	0,000342
0,003867	0,003214	0,003029
0,000373	0,00014	0,000205
0,000262	5,6E-05	0,000167
0,000134	3,12E-08	0,000168
Σ 0,01486	Σ 0,008574	Σ 0,03257

Случайная ошибка

o_δ = + √(1/n)Σ{((y_i – y_x)/y_x) ∙ 100 – o_p }²,

Таблица 25

{((yi – yx)/yx)1 ∙ 100 – op1 }2	{((yi – yx)/yx)2 ∙ 100 – op2 }2	{((yi – yx)/yx)3 ∙ 100 – op3 }2
13,75122	2,281497	42,9884
9,302281	1,415167	31,51067
3,619919	0,272149	16,29048
1,21257	0,080519	7,211095
0,91015	0,159244	5,119774
1,830279	1,764859	4,217187
0,336441	0,212599	0,00452
0,600872	0,10992	0,507665
2,924342	1,156708	3,817678
0,556935	2,048491	0,1735
2,857719	0,811959	4,949792
3,423361	1,002794	6,341996
6,273762 2,48325 11,63456 0,681489 0,010657 3,468091 5,819642 2,20424 12,54493 15,3796 8,974834 26,08454 15,42947 9,449718 26,50536 0,005855 0,493234 1,46677 0,123992 0,083556 2,064061 3,802772 2,082803 8,820086 3,972213 5,903078 1,194434 0,014975 0,061444 0,996557 1,455513 0,811319 4,158108 4,965788 4,014174 8,981759 0,919243 0,744896 0,353221 0,290791 0,495343 0,710624 0,996349 0,380445 0,988719 0,97743 2,272955 0,702527 38,55694 32,02724 42,46055 3,697604 1,377932 5,977598 2,586571 0,545488 5,304551 1,320651 0,000755 5,332831 Σ 292,882634 Σ 292,882634 Σ 292,882634 Таким образом, oδ1 = + √(1/32) ∙ 148,597 = + 2,155; oδ2 = + √(1/32) ∙ 85,733 = + 1,637; oδ3 = + √(1/32) ∙ 292,883 = + 3,025. Чем меньше величина погрешностей и ошибок, тем надежнее уравнение описывает исследуемую взаимосвязь. В нашем случае это уравнение гиперболы. Таблица 26 Линейное уравнение с логарифмированием факторного признака y = - 0,5082 + 7,415 ln x Абсолютная погрешность уравнения δ Относительная погрешность уравнения Δ Систематическая ошибка op Случайная ошибка oδ + 0,5753 + 2,155 % - 0,0089 + 2,155 Уравнение гиперболы y = 33,834 – 270,991 / x + 0,4491 + 1,637 % - 0,0098 + 1,637 Уравнение показательной кривой y = 19,88 ∙ 1,007 x + 0,8266 + 3,190 % 1,0125 + 3,025 Список литературы Герасимов Ю. Ю., Хлюстов В. К. Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ. Применение в лесоуправлении и экологии: Учебник для лесных вузов. – М.: МГУЛ, 2001. – 260 с. Гусева Л. М., Кузнецова Е. С., Моделирование экосистем: Методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 260400 – Лесное хозяйство. Часть 1. / Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия. – Нижний Новгород, 2005. – 45 с. 53 1. Контрольная работа на тему Загальна характеристика валютних опціонів 2. Творческая работа Переводческие трансформации Опыт собственного перевода стихотворений английских авторов 3. Реферат Менеджмент, зона комфорта, допамин и депрессия 4. Реферат Проект науки об обществе Огюста Конта 5. Кодекс и Законы Занятость населения РФ 6. Реферат на тему Проблема формирования исследовательских умений при проведении лабораторных практикумов 7. Реферат на тему Образование в Великобритании 8. Реферат Древняя Русь 6 9. Реферат на тему The Increasing Educational Demands On The Students 10. Реферат на тему История болезни - Эндокринология сахарный диабет II типа Bukvasha Правила Контакты