a

0.00119

0.00106

0.00093

Возмущение

Реакция выхода системы y(t)

u1=0.01

u2=0

y1

y2

0

0

0.00384

-0.00254

0.00624

-0.00352

0.0077

-0.03896

0.00859

-0.004038

0.00913

-0.00409

0.00947

-0.00411

время t, с

1.1.7 Преобразование модели в форме Ассео

Внешне связное форму получаем из матрицы передаточных функций

1.1.8 Вычисление МПФ системы

;; ; n=2; i=1;

1.1.9 Структурные схемы системы в исходной форме, форме Ассео, ВСП

Рисунок 1. – Структурная схема в исходной форме

Рисунок 2. – Структурная схема в форме Ассео

Рисунок 3. – Структурная схема в форме ВСП

1.1.10 Линеаризованная модель в непрерывном и дискретном времени с датчиками и ИМ

a)

Рисунок 4. – Структурная схема системы в непрерывном времени

б) в дискретном времени

Рисунок 5. – Структурная схема системы в дискретном времени

1.1.11 Модель с генератором возмущений

Соединив последовательно модель шумов с моделью системы, в общем случае запишем новою модель системы в виде

w1=w2=100; g1=g2=0.02

где - белый шум

1.1.12 Условие правомерности децентрализации

Система в форме Ассео:

Для децентрализованной системы

Спектральная норма матрицы С’, то есть максимальное сингулярное число матрицы:

Спектральная норма матрицы F:

Погрешность составляет:

Можно предположить, что децентрализация является допустимой. Децентрализованная модель запишется в виде:

1.2 Анализ качественных свойств системы

а)

Следовательно, матрица является гурвицевой.

б)

max s1(A)=||A||2= 0.081<1

Следовательно, матрица А является нильпотентной.

Проверить, является ли система (А, В, С) постоянной, управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой с вектор - столбцом х = (1; 1.25), параметрически инвариантной, минимальнофазовой, расцепимой, астатической.

а) постоянство:

Следовательно, система является постоянной.

Следовательно система является постоянной.

б) управляемость:

;

По первому входу:

Система управляема по первому входу.

По второму входу:

Система управляема по второму входу.

в) наблюдаемость:

Система наблюдаема.

г) идентифицированость

Система идентифицируема.

д) параметрическая инвариантность:

Система не инвариантна относительно отклонения dA.

Система не инвариантна относительно отклонения dB.

Система не инвариантна относительно отклонения dС.

е) минимальнофазовость и астатичность:

система является минимальнофазовой и астатической.

ж) расщепление:

.

1.3 Исследование процессов в системе и анализ количественных свойств системы

1.3.1 Построение графиков кривой разгона непрерывной системы

Построение графика решения у(t) для системы {А, В, С}, если и

Таблица 5 Значение выходов непрерывной системы

Рисунок 6 – Реакция первого выхода на возмущения u1(t)

Рисунок 7 – Реакция второго выхода на возмущения u1(t)

Рисунок 8 – Реакция первого выхода на возмущения u2(t)

Рисунок 9 – Реакция второго выхода на возмущения u2(t)

1.3.2 Построение графиков кривой разгона дискретной системы

Система в дискретном времени имеет вид:

dt=24 c.

Зададим , , получим значения на выходах дискретной системы, которые совпадают с расчетом задания в п.4.

Таблица 6 Значение выходов дискретной системы

Рисунок 10 – Реакция выходов системы на возмущения u (t)

1.3.3 Построение графиков кривой разгона нелинейной системы

Данные для построения графиков получены в пункте 1.1.2

Для первого выхода пользуемся таблицей 1. Получившиеся графики можем сопоставить с графиками полученным в пункте 1.3.1, введя поправку на начальное значение параметра

Рисунок 11 – Реакция первого выхода на возмущения u1(t) в пункте 1.3.1

Рисунок 12 – Реакция первого выхода на возмущение для линеаризованной системы

Легко видеть, что эти график совпадают, что говорит о том, что линеаризация по первому выходу проведена на приемлемом уровне

Рисунок 14 – Реакция второго выхода на возмущения u1(t) полученного в пункте 1.3.1

Рисунок 13 – Реакция второго выхода на возмущения для линеаризованной системы

В данном случае имеет место погрешность которую можно связать с ошибкой вносимой кусочно – линейной аппроксимации.

1.3.4 Установившиеся состояния системы

Вычислить постоянное значение состояния системы в условиях

Т.к. установившееся значение предполагает отсутствие динамики, то систему можно записать в следующем виде

1.4 Идентификация многомерной математической модели по данным эксперимента

1.4.1 Активная идентификация

Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести реализацию системы.

Запишем систему в виде:

Подавая импульс по первому входу, рассчитаем:

Теперь имея экспериментальные данные, сгруппировав их в матрицы H и H₁ можем приступить к их обработки.

Из собственных векторов от () и () построим:

Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы

Коэффициент передачи, вычисленный по исходным матрицам

Можно сделать вывод о том, что система идентифицирована, верно

1.4.2 Пассивная идентификация

Для дискретной формы системы (F, G, C) из пункта 3. 1. провести пассивную идентификацию системы, предполагая, что вектор входа изменяется соответственно таблице:

Таблица 7 Значение вектора входа для пассивной идентификации.

Используя матрицы системы в дискретной форме для заданных значений вектора входа, рассчитаем значения вектора выхода

Результаты расчета сведем в таблицу:

Используя данные эксперимента (Таблица 8) можем приступить непосредственно к определению параметров идентифицированной системы

Тогда

Для проверки идентификации найдем коэффициент передачи системы

Система идентифицирована, верно

2. Конструирование многомерных регуляторов, оптимизирующих динамические свойства агрегата

2.1 Конструирование П. - регулятора, оптимизирующего систему по интегральному квадратичному критерию

Регулятор состояния, который оптимизирует систему по критерию:

Определяется по соотношениям:

P=LR1(A,B,Q,R);

При этом Q=R=I

Т.к. матрица С. является инвертированной, для образования регулятора выхода нет необходимости конструировать наблюдатель состояния – недосягаемое состояние просто вычисляется по формуле .

Следовательно, регулятор выхода имеет вид

2.2 Конструирование компенсаторов заданий и измеряемых возмущений

Обозначивши через z заданное значение выхода y и припуская, что , получим

Приняв во внимание, что А=В

Если при компенсации возмущений и заданий учесть «стоимость» управления, записавши критерий в виде

,

то компенсаторы (оптимальные) определяются зависимостями

Значение выхода при действии возмущения f в системе без компенсаторов при z=0

а также с оптимальным компенсатором.

2.3 Конструирование регулятора с компенсатором взаимосвязей

Проверим, или регулятор действительно расцепляет систему, т.е. матрица передаточных функций является диагональной

Используя V как новый вход можно далее записать

Регулятор выхода можно записать в виде

2.4 Конструирование апериодического регулятора

Апериодический регулятор для дискретной системы может быть получен: из условия . Запишем

2.5 Конструирование децентрализованного регулятора

Используя форму Ассео, запишем:

Следовательно, получим

Для определения критерия

2.6 Конструирование надежного регулятора

Если матрица G моделирует отказы каналов измерения, то регулятор находится в виде

Берем s=0.04 При этом значении выполняются необходимые условия:

s>

Результат решения уравнения Ляпунова первого типа

Коэффициент передачи надежного регулятора

Поверим систему с регулятором на устойчивость

Следовательно, система является постоянной при любых отклонениях.

2.7 Конструирование блочно-иерархического регулятора

Воспользуемся регулятором состояния и проверим или можно создать последовательность регуляторов состояния.

; ; ; ;

Рисунок 15 – Иллюстрация монотонного уменьшения величины критерия

Рисунок 16 – Схема блочно – иерархического регулятора

2.8 Конструирование регулятора для билинейной модели

Билинейный регулятор определяется по следующей зависимости

Вводя все компоненты в уравнение, получаем:

2.9 Конструирование регулятора для нелинейной модели

Сконструировать нелинейный регулятор, используя начальную неупрощенную модель бака.

Расчетное соотношение для регулятора –

e=z – x

2.10 Конструирование программного регулятора

Используя линеаризованную модель в дискретном времени, записать программу перевода системы из состояния в состояние

;

3. Анализ свойств сконструированной системы с оптимальным П регулятором

3.1 Построить процесс в системе с П. регулятором

Для построения процесса графика необходимо пользоваться следующую формулу

В итоге получаются следующие графики переходных процессов. Для сравнения приведены переходные процессы для систем без компенсаторов (штрихованная линия)

Рисунок 17 – Сопоставление качеств переходного процесса первого и второго выхода с компенсатором и без него.

Из графика видно, что система выходит на установившееся значение раньше если на ней стоит компенсатор.

3.2 Вычислить критерий оптимальности в системе

Величина критерия с удельным регулятором вычисляется

Отклонение параметров на 10 процентов

Отклонение параметров на 5 процентов

Матрицы чувствительности будут рассчитаны в пункте 3.4:

В конечном счете, получаем

3.3 Оценить потерю качества от децентрализации

Коэффициент передачи децентрализованного регулятора найден в пункте 2.5

Для определения критерия

3.4 Вычислить чувствительность системы

dJ/dA, dJ/dВ, dJ/dС, dJ/dК для системы (А1,В, С), где А1=А+В*К, К=*Р.

Матрицы А1 и P (решение уравнения Риккати) Pлп (решение уравнения Ляпунова ) рассчитывались ранее

Для расчета матрицы V следует решить уравнение Ляпунова вида:

А₁*V+V* А₁+I=0

Таким образом :

; ;

Все необходимые составляющие для расчета чувствительности у нас есть:

dJ/dA=2∙P∙V==;

dJ/dВ=2∙P∙V∙=;

dJ/dС=2∙∙∙P∙V+2∙∙K∙V=;

dJ/dК =2∙K∙V+2∙∙P∙V=

3.5 Анализ робастности системы с надежным регулятором

Матрицы отклонения начальной системы

То есть аа=0.0081; bb=0.0289; cc=0.004.

Подставляя значения, полученные в пункте 2.6

в уравнение Scherzinger найдем из нее новую матрицу

Т.к. определенная матрица положительно определенная

то сконструированная система робастная поэтом стационарная и при изменении параметров в расчетных диапазонах величина критерия изменяется очень мало.

3.6 Решение обратной задачи конструирования

Записав расцеплояющей регулятор в виде

Далее используя соотношение

где W – произвольная матрица выбирается из условия S>0

В конечном счете, получаем

4. Результат вспомогательных расчетов

1.Решение уравнения Риккати первого типа

Заданы матрицы

Сформируем матрицу М

Найдем ее собственные значения

Выполним преобразование подобия

Решение уравнения Риккати

2.Решение уравнения Ляпунова

3. Вычисление матричной экспоненты

4.Опеделение Фробениусовой матрицы

5. Определение Вандермодовой матрицы

Выводы

Исследован технический объект – смесительный бак. Получен спектр модели: линейная, нелинейная, экспериментальная и аналитическая модель. Проведены эквивалентное аппроксимационое преобразование модели агрегата

Исследованы качественные и количественные свойства системы. Разработаны регуляторы управления объектом: П. – регулятор;

апериодический регулятор; надежный регулятор; блочно – иерархический регулятор; регулятор для билинейной и для нелинейной модели; программный регулятор; регулятор с компенсатором взаимосвязей. А также компенсаторы возмущений и компенсаторы на задании.

Проанализированы процессы в сконструированной системе с регулятором в качественном и количественном отношении (построен процесс в системе с регулятором, вычислен критерий оптимальности, проанализирована робастность, решена обратная задачи конструирования ).

На основании данного анализа можно сделать вывод о том, что наиболее подходящим регулятором для рассмотренной системы является оптимальный П. – регулятор. Хотя он и обладает некоторым перерегулированием, имеет небольшую статическую ошибку (при отсутствии компенсатора на задание), однако все эти недостатки компенсируются его простотой в установке и обслуживании. Помимо этого он обладает наименьшим временем переходного процесса, неплохим показателем критерия оптимальности. В силу своей простоты он является более надежным в том плане, что вероятность выхода из строя самого регулятора мала.

Литература

1. Стопакевич А.А., Методические указания к практическим занятиям по курсу « Основы системного анализа и теория систем » для бакалавров по автоматики. – Одесса: ОНПУ, 1997.

2. Стопакевич А.А. Сложные системы: анализ, синтез, управление. – Одесса: ОНПУ 2004