Учреждение образования РБ

Кафедра общей физики

Курсовая работа

Фононы

Выполнил:

Студент физического

Факультета

Научный руководитель:

Брест 2009

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПИ

§1.1 Уравнение движения

§ 2.1 Статистика Бозе--Энштейна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Исследуя структуру вещества, ученые научились разглядывать отдельные атомы – пространственное разрешение сканирующих туннельных микроскопов вполне для этого достаточно. Однако временное разрешение до сих пор оставалось не важным.

Все, что видели экспериментаторы, это усредненное по времени положение атомов; отслеживать отдельные движения на атомном масштабе пока не удавалось. И вот, в недавних экспериментах группа американских ученных преодолела этот рубеж. Они смогли наблюдать колебания пока не атомов твердого тела, но уже их небольших групп. Они смогли увидеть фононы: как они осциллируют во времени. Из этого следует, что фононы привлекали интерес многих ученых мира, и будут привлекать до тех пор, пока они не будут изучены досконально. Именно этим и обусловлен выбор данной темы курсовой работы.

Именно фононы являются, как говорят физики, истинными степенями свободы в кристаллическом твердом теле. В терминах фононов можно описать и звуковые волны, и теплоемкость кристалла, и сверхпроводимость некоторых материалов, и, наконец, самые разнообразные микроскопические явления в кристалле.

В связи с выше сказанным целью данной курсовой работы является:

1. Изучение основ теории динамики кристаллической решетки, а именно колебаний атомов в одномерной цепи и непосредственно фононов.

2. Изучение статистики, которой подчиняются фононы, – статистики Бозе - Эйнштейна.

3.Рассмотрение фононного спектра и плотности фононных состояний.

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы.

ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПИ

§1.1 Уравнение движения

Кристалл представляет собой совокупность атомов, связанных упругими силами. Атомы взаимодействуют между собой с помощью различных сложных сил. Имеются как слабые, так и сильные взаимодействия, а также существуют силы притяжения и отталкивания, которые действуют на атомы и в точках устойчивого равновесия взаимно уравновешивают друг друга[5].

Каждый из атомов непрерывно движется (в частности колеблется) в области пространства с центром в узле кристаллической решетки. При этом они локализованы в объеме, который имеет определенную величину для каждого атома; объемы занятые различными атомами не перекрываются.

Узлы решетки – это положения равновесия для атомов, т.е. это точки, в которых уравновешиваются силы притяжения и отталкивания. При смещении атома силы перестают быть скомпенсированными и действуют так, чтобы уменьшить это смещение.

Атом имеет потенциальную энергию взаимодействия с каждым другим атомом в твердом теле, но за пределами некоторого расстояния, энергия взаимодействия становится пренебрежимо малой.

Вследствие этого в энергию взаимодействия необходимо включать только те атомы, которые находятся на разумном расстоянии от этого рассматриваемого атома. Число соседей, которое следует включить, определяется тем, как сила взаимодействия совпадает с расстоянием.

Атомы кристалла покоятся в узлах решетки только при абсолютном нуле температуры. При повышении температуры атомы начинают колебаться около своих положений устойчивого равновесия, поэтому нам необходимо рассмотреть динамику движения атомов в кристалле.

Рассмотрим простейший случай колебания одинаковых атомов в одномерной (линейной) решетке, подчиняющихся в своем движении законам классической механики.

Рисунок 1.Однородная линейная цепочка атомов

m₀ – масса атома.

а – расстояние между атомами.

Закономерности, полученные для такой схематической одномерной модели, оправдываются и для трехмерных решеток. Кроме того, при достаточно высоких температурах движение атомов в кристалле действительно подчиняется законам классической механики.

Допустим, что вдоль цепочки распределяется продольная волна. Рассмотрим мгновенную фотографию расположения атомов.

И так рассмотрим линейную цепочку из одинаковых атомов с массами m, отклоненных от равновесных узлов с номерами (n – 1), n, (n + 1) на величины и_п-1 > 0, и_п > 0, и_п+1 < 0. В одномерном случае будем учитывать взаимодействие только ближайших (соседних) атомов, что не отражается существенным образом на результатах. Отклонения и_п и силы, действующие на атомы, считаются положительными, если их направления совпадают с направлением положительной оси и отрицательными – в противоположном случае.[3]

Рисунок 2.Фотография расположения атомов продольной волны

При малых отклонениях атомов от положений равновесия (|u|<<а – расстояние между узлами), силы взаимодействия можно рассматривать как квазиупругие, т. е. пропорциональные изменению расстояния между атомами. Таким образом, силы, действующие на n-й атом со стороны (n – 1)-го и (n + 1)-ro атомов, равны:

f_n,n-1= – β(и_п – и_п-1) и f_n,n+1= – β(и_п – и_п+1), (1.1.1)

где β>0 – коэффициент квазиупругой силы.

Результирующая сила, действующая на n-й атом,

f_n = f_n,n-1 + f_n,n+1= – β(2и_п – и_п-1 – и_п+1). (1.1.2)

Воспользуемся вторым законом Ньютона:

(1.1.3)

Объединяя (1.1.2) и (6), получим:

(1.1.4)

(1.1.4) – уравнение движения отдельного атома,

где

. (1.1.5)

Выражение для силы f_n может быть получено и другим путем. Потенциальная энергия решетки Ф есть функция от отклонений атомов и_п. Разлагая Ф в ряд по степеням малых отклонений и_п, получим

, (1.1.6)

где индекс 0 указывает, что все и_п положены равными нулю. Не ограничивая общности, полагаем потенциальную энергию основного состояния Ф(0) = 0.

Так как значение и_п = 0 соответствует равновесию системы, то

. (1.1.7)

Для бесконечной атомной цепочки коэффициенты

, (1.1.8)

т. е. зависят только от расстояния между n-м и п'-м узлами. По определению сила

f_n=. (1.1.9)

Если все и_п' = const = u₀, то сила

f_n = 0 = , (1.1.10)

где и пробегает все значения. Если учитывать только ближайших к атому п соседей, то п' = п, n+ 1, n—1, и мы получим А(0) + А(1) + А(-1) = 0. Видно, что (1.1.9) дает тоже выражение для силы f_n что и (1.1.3), если положить А(1) = - 1/2A(O) = β [6].

Решение уравнения (1.1.3) представляет сложность, но бесконечная атомная цепочка с квазиупруго взаимодействующими атомами напоминает натянутую струну. Известно, что для бесконечной струны существует простой тип движения в виде бегущей монохроматической волны, для которой отклонение и струны от положения равновесия в точках х в момент t будет:

и(х, t) = Asin2π(x/λ – vt), (1.1.11)

где А — амплитуда, λ—длина волны и v—частота. Вводя циклическую частоту ω = 2πν и волновое число q = 2π/λ, получим

и (х, t) = A sin (qx—ωt). (1.1.12)

Если мы условимся рассматривать не только положительные, но и отри-цательные значения q, то наряду с волной, распространяющейся вдоль положительной оси x (q > 0), получим волны, бегущие в противоположном направлении (q < 0). Если учтем, что уравнение колебания струны линейно, так что сумма решений является также интегралом уравнения, то во многих случаях представляется математически более удобным пользоваться комплексной формой решения в виде

и(х, t) = Ae^i(qx-ωt), ( 1.1.13)

где амплитуда А может быть комплексным числом.

Систему (1.1.3) решим посредством подстановки

u_n = Ae^i(qan-ωt), (1.1.14)

где а – расстояние между узлами. Подставив (1.1.14) в (1.1.3) получим

ω²=2β/m(1-cosqa) или ω=ω_m, (1.1.15)

где ω_m=

Решения (1.1.14) типа бегущей волны удовлетворяют уравнениям (1.1.3) для любого п, если частота ω связана с волновым числом q (или длиной волны λ) соотношением дисперсии (1.1.15)[2].

§ 1.2 .Дисперсия частот атомных колебаний

Для цепочки атомов, в отличии от однородной струны, имеет место дисперсия волн, т. е. частота ω зависит от волнового числа q[1]. На рисунке (3) показаны дисперсионные кривые ω(q) для однородной цепочки атомов.

Из условия

q_{max ,} (1.2.16)

имеем, что минимальная длина волны для выбранной цепочки атомов равна λ_min= 2a. При такой длине волны соседние атомы имеют равные 1и противоположно направленные амплитуды. В длинноволновом пределе q → 0, когда выполняется условие

, (1.2.17)

получим:

. (1.2.18)

Рисунок 3. Дисперсионные кривые ω(q) для однородной цепочки атомов.

Колебания в данном случае можно рассматривать как колебания упругого континуума. Здесь ν_зв – скорость звука [2].

Формула (1.2.18) в предположении, что среда является непрерывной (континуум). Для нашей линейной цепочки нельзя считать среду непрерывной. Она является дискретной. Для дискретной среды наблюдается отклонение от линейности (1.2.18). Данное отклонение называется дисперсией, а полученные кривые (рис. 3) называются дисперсионными. Причина дисперсии – дискретность среды. Для дискретной среды существуют максимальные частоты, которые соответствуют минимальным длинам волн:

(1.2.19)

[3] (1.2.20)

Когда имеет место дисперсия ω(q), следует различать фазовую скорость v_ф, с которой распространяется фаза монохроматической волны и групповую скорость v_гр, с которой распространяется волновой пакет, построенный из волн с , близким некоторому значению. Групповая скорость является скоростью переноса пакетом энергии из мест нарушения равновесия[2].

Вычислим значение фазовой и групповой скорости в нашем случае .

1. V_f – скорость распространения фазы (фазовая скорость):

(1.2.21)

(1.2.22)

, (1.2.23)

Назначаем значение данной скорости в длинноволновом пределе:

(1.2.24)

2. V_g – скорость передачи энергии; скорость перемещения горба волнового пакета (групповая скорость):

(1.2.25)

(1.2.26)

(1.2.27)

(1.2.28)

Сопоставление дает, что и фазовая и групповая скорость в длинноволновой области совпадают и равны скорости звука.

(1.2.29)

Вычислим, используя значения V_g на границе зоны Бриллюэна (интервал значений волнового числа является по существу зоной Бриллюэна):

(1.2.30)

Это означает, что распространение продольной волны с для цепочки конечных размеров образуется стоячая волна, а в случае стоячих волн передача энергии отсутствует и V_g=0.

Отметим, что все физические эффекты, наблюдаемые для простой одномерной цепочки, наблюдаются и для трехмерных кристаллов.

ГЛАВА 2. КВАНТОВАНИЕ ВИБРАЦИЯМИ ЭНЕРГИИ. ФОНОНЫ

§ 2.1 Статистика Бозе—Энштейна

Колебания атомов кристаллической решетки описываются при помощи суперпозиции нормальных колебаний, которые можно представить как монохроматические плоские волны. При этом каждая волна характеризуется волновым вектором q, частотой и типом поляризации j[2].

Воспользовавшись квантовомеханическим принципом соответствия можно перейти от физической картины нормальных колебаний к эквивалентной картине элементарных возбуждений. А именно, каждой монохроматической волне необходимо сопоставить совокупность движущихся фиктивных частиц (квазичастиц). Решение уравнения Шредингера для осциллятора Планка хорошо известно [4]. Энергетический спектр данного осциллятора имеет дискретный характер:

^, (2.1.1)

При частотах осцилляторов частотам нормальных колебаний, по-аналогии с характеристическим уравнением для частот нормальных колебаний

. (2.1.2)

получим, что энергия нормального колебания квантована:

. (2.1.3)

Здесь величина показывает по существу степень возбуждения конкретного нормального колебания. При этом минимальная порция колебательной энергии (квант) равна:

. (2.1.4)

Такое корпускулярное описание дает возможность описывать возбужденное состояние кристалла при помощи элементарных возбуждений с энергией . Данное элементарное возбуждение получило название фонон. Это энергия нормальной моды колеблющейся системы атомов[2].

Заметим, что энергия локализована в обратном пространстве. Свойства обратного пространства, которое введено для удобства и определяется относительно действительного кристаллического пространства периодичны, причем волновой вектор и импульсы де Бройля принимают различные значения только в ограниченном интервале. Все значения вне этого интервала имеют эквивалентные значения в этом интервале. Эквивалентные узлы соединяются векторами обратной решетки.

Вместе с тем энергия распределена по всему кристаллу в реальном пространстве, т.к. в каждом нормальном колебании задействованы все атомы.

Кванты колебаний атомов в кристалле можно рассматривать как фононный газ. Мы видели, что имеется качественная аналогия между газом фононов и идеальным газом, т. е. между фононами и фотонами. Если кристалл поглощает энергию, число фононов изменяется, причем их распределение по разрешенным состояниям удовлетворяет соответствующим законам статистической механики. Очевидно, что макроскопические тепловые свойства и элементарные колебательные состояния кристалла связаны законами статистической механики.

Волновая функция колебательного состояния решетки имеет вид произведения независимых волновых функций отдельных осцилляторов. Если бы частицы были «различимыми», этого было бы достаточно для описания системы. Однако в квантовой статистике мы имеем дело с системами, состоящими из «неразличимых» элементарных объектов. Поэтому при любой перестановке объектов из той же самой системы модуль волновой функции не должен изменяться; сама же волновая функция может изменяться. Все частицы в квантовой статистике делятся на две группы. Частицы, относящиеся к первой группе, называются бозонами (сюда же относятся и фононы), частицы, относящиеся ко второй группе, называются фермионами. Состояние ансамбля одинаковых бозонов, таким образом, правильно описывается нормированной линейной комбинацией всех возможных перестановок их равновесных состояний, соответствующих данным условиям. Такое рассмотрение не создает каких – либо проблем. Оно означает всего лишь, что мы не можем указать точно, какие именно бозоны связаны с данным состоянием; существует только некоторое распределение вероятности, согласно которому, скажем, n любых бозонов могут находиться в указанном частном состоянии. С принципиальной точки зрения это говорит о том, что при проведении расчетов в квантовой статистике необходимо принимать во внимание, можем ли мы или не можем различать объекты системы.

Атомные осцилляторы различимы, так как они локализованы и остаются связанными с фиксированными точками отсчета; кванты энергии неразличимы. Таким образом, имеются две возможности: можно рассматривать твердое тело как ансамбль различимых объектов – колеблющихся атомов и использовать распределение Максвелла – Больцмана или же подойти к нему как к газу неразличимых частиц – фононов и тогда применять статистику Бозе – Эйнштейна.

Заполнение бозонного состояния не ограничено ничем, кроме общего числа имеющихся частиц. В случае ансамбля фононов ограничение связано со стабильностью кристалла. Если тепловая энергия становится слишком большой, кристалл либо изменяет свою структуру, либо разрушается, однако никаких фундаментальных ограничений на статистическое поведение фононов, как для ферми – частиц, нет.

Системы частиц, которые описываются антисимметричной волновой функцией, подчиняются статистике Ферми – Дирака. Системы, которые описываются симметричной волновой функцией, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна.

Есть 2 различных класса систем, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна: 1) число частиц сохраняется (например, газ атомов гелия) и 2) число частиц не сохраняется (например, фононы и фотоны). Оба эти класса по своим свойствам совершенно отличны от систем, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака [5].

Используя понятие фонона, степень возбуждения нормального колебания можно рассматривать как число фононов в квантовом состоянии . Физическое описание фононов во многом аналогично описанию фотонов. При этом фононы подчиняются такому же статистическому распределению при температуре Т, как и осцилляторы Планка. В связи с этим число фононов в отдельном квантовом состоянии определяется функцией распределения Бозе – Эйнштейна:

. (2.1.5)

§2.2 Фононный спектр. Плотность фононных состояний. Свойства фононов

Расчет фононного спектра – сложная задача, требующая подробного знания сил, действующих между атомами. Определение плотности фононных состояний вносит дополнительные трудности. Поэтому плотность состояний моделируют простыми функциями, соответствующими простейшим моделям колебаний кристаллической решетки – Дебая и Эйнштейна.

Теория динамики решетки кристаллов включает в себя несколько уровней различающихся степенью микроскопичности и количеством параметров, определяемых вне рамок теории, например по экспериментальным данным.

На одном конце этого ряда – феноменологический метод силовых постоянных Борна фон Кармана, на другом – расчеты из первых принципов фононных спектров и других характеристик решетки, ставшие возможными в последнее время благодаря развитию методов расчета электронной структуры кристаллов и развитию ЭВМ. Между этими двумя крайними подходами находится множество эмпирических и полуэмпирических модельных теорий, так или иначе учитывающих физико-химические свойства конкретных материалов.

Характерной чертой модельных подходов к описанию динамики решетки является их не универсальность, невозможность переноса моделей с одного класса материалов на другой, отличающийся, например, типом химической связи, а также невозможность переноса атомных параметров моделей при изменении окружения атома в решетке.

Для экспериментального исследования дисперсии нормальных мод используются, в основном, рассеяние нейтронов и фотонов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (поглощением) фононов.

Измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения. Также используется измерение фононных спектров с помощью рассеяния света в видимом и инфракрасном диапазоне.

Введем функцию плотности фононных состояний как функцию распределения в статической физике. А именно, если обозначить данную функцию через g(ω), то величина g(ω)dω равна относительному числу dZ/Z фононных состояний в интервале частот (ω,ω + dω):

. (2.2.6)

Условие нормировки для g(ω)будет следующим:

. (2.2.7)

Иногда величину g(ω)dω рассматривают как абсолютное число dZ фононных состояний, в частности, для одного моля в интервале частот (ω,ω + dω) т.е.:

. (2.2.8)

Тогда условие нормировки запишется в виде:

, (2.2.9)

где 3N_A – полное число нормальных колебаний в одном моле, а функция распределения g(ω) имеет размерность . В литературе функцию g(ω) иногда называют фононным спектром.

Получим выражение для плотности фононных состояний кристаллов в приближении Дебая. Для этого выделим объем в виде куба с ребром L.

Из теории колебаний известно, что в непрерывной среде могут распространяться волны любой частоты. Мы ограничимся рассмотрением только стоячих волн. Именно такие волны соответствуют тепловым возбуждениям континуума, т.к. все остальные волны быстро затухают. Будем рассматривать 3N стоячие упругие волны. Найдем функцию распределения таких волн в кубе объемом L³.

Известно, что стоячая волна существует тогда, когда вдоль выделенного направления укладывается целое число полуволн. Для произвольного направления рассматриваемого куба данное условие запишется в виде:

(2.2.10)

Где , , , – направляющие конусы; Lcos, Lcos, Lcos– проекции отрезка вдоль выбранного направления на декартовы оси координат, начало которых совпадает с вершиной куба; q_x, q_y, q_z – числа полуволн вдоль каждой оси координат. Возведем (2.2.10) почленно в квадрат и сложим.

С учетом того, что , получим:

(2.2.11)

(2.2.12)

(2.2.13)

Уравнение (2.2.11) – уравнение сферы радиуса 2L/λ в обратном

пространстве волновых чисел q [2].

Если учесть, что внутри бруска могут распространяться волны разной длины, то целые числа q_x, q_y, q_z очень мало отличаются друг от друга, следовательно, величину q можно считать квазинепрерывной. С другой стороны число q определяет все возможные фононные состояния. Воспользуемся принципом соответствия: от стоячей волны перейдем к картине гармонических осцилляторов. Как видно число всевозможных стоячих волн определяется набором чисел q_x, q_y, q_z:

В данном случае воспользуемся свойством изотропности континуума: любое направление в континууме является равновероятным (эквивалентным). В формуле (3) величины q_x, q_y, q_z заведомо положительные, поэтому вероятности отвечает только ¹/₈ часть сферы. Объем данной ¹/₈ части:

(2.2.14)

Известно, что каждому значению волнового числа q соответствуют три поляризации волн: одна продольная и две поперечные.

dZ=qdq = g()d (2.2.15)

Определим g()для продольных волн.

Известно, что для звуковых волн

2=, где -скорость распространения продольных волн.

С учетом этого (2.2.10) запишется

q = , dq =

Тогда

dZ= где V- объем куба.

Имеем, что функция распределения для продольных волн равна:

q (2.2.16)

Аналогичные расчеты можно провести и для поперечных волн. Число поперечных стоячих волн в два раза больше, т.е.:

(2.2.17)

Подставляя (17) в (16), получим

. (2.2.18)

Суммарная плотность состояний равна

(2.2.19)

Окончательно получим, что

, L (2.2.20)

На рисунке (4) полученная параболическая зависимость и есть фононный спектр кристаллов в приближении Дебая.

Недостатком является то, что в области высоких частот или малых длин волн плотность стремится к бесконечности. Такого на практике нет. Указанный недостаток вытекает из того, что в упругом континууме могут распространяться колебания со сколь угодно малой длинной волны. В действительности ситуация выглядит иначе: в дискретной среде минимальная длина волны равна удвоенному межатомному расстоянию, следовательно должна существовать максимальная частота. Известно, что фононный спектр должен удовлетворять условию нормировки: полное число состояний: z=3N

(2.2.21)

Подставим (2.2.20) в (2.2.21):

(2.2.22)

(2.2.23)

«В» из условия нормировки запишется следующим образом:

(2.2.24)

Подставляя (2.2.24) в (2.2.20):

(2.2.25)

Для характеристики максимальной частоты Дебай ввел так называемую характеристическую температуру:

. (2.2.26)

Физический смысл величины состоит в том, что она равна температуре, выше которой возбуждены все колебательные моды. Температуру можно оценить из следующей функции:

. (2.2.27)

Таким образом, используя данные о концентрации атомов N/V в реальном кристалле и скоростях звука v_L и v_т, получим значение дебаевской температуры [2].

Рисунок 4. Дебаевский фононный спектр.

Газ фононов в гармоническом приближении представляет собой совокупность независимых квазичастиц. Следовательно, статистика фононов в данном случае удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждый фонон может, находиться в любом из состояний с уровнями энергий (1.2.3).

2. Нет ограничений на число фононов в отдельном квантовом состоянии .

3. Полное число фононов в системе не сохраняется.

Так как общее число фононов в кристалле не ограничено, то химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию. Условие равновесия кристалла определяется в нашем случае минимумом свободной энергии Гельмгольца , т.е. химический потенциал фононов μ = 0 [2].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе написания данной курсовой работы было проделано следующее:

1.Изучены основы теории динамики кристаллической решетки. Получено уравнение движения для отдельного атома, а затем и для любого числа атомов. Рассмотрены колебания атомов в случае однородной цепи. Изучена дисперсия частот атомных колебаний, а также соответствующие им дисперсионные кривые (рисунок 3).

3. Изучена статистика, которой подчиняются фононы, в ходе чего было выяснено, что фононы, также как и фотоны, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. Фонон, так же как и фотон, является бозе-частицей, т. е. отсутствует ограничение на число квазичастиц в заданном состоянии, которое зависит только от температуры. Фононы представляют собой газ невзаимодействующих бозе-частиц.

3.Был рассмотрен фононный спектр и плотность фононных состояний и наряду с этим свойства фононов. В результате чего было выяснено, что фононный спектр графически можно представить в виде параболической зависимости (рисунок 4) . Было выяснено, что химический потенциал фононного газа равен нулю. А именно, при нагревании кристалла тепловая энергия, а, следовательно, и число фононов изменяются таким образом, что система стремится к равновесию.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. – М.: Наука, 1978. – 615с.

2. Квантовая теория динамики кристаллической решетки / А.Ф. Ревинский. – Брест: Изд-во БрГУ, 1998. – 215 с.

3. Бетгер Х. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир. – 1968. – 362 с.

4. Ашкрофт М, Мермин М. Физика твердого тела. В 2-х томах./ - пер. с анг. А. С.Михайлова, под ред. М.И. Каганова. – М.: Мир, 1997.

5. Рейсленд Дж. Физика фононов / Под ред. С.Жданова.–М. – Мир, 1975. – 365 с.

6. Давыдов, Н.И. – Теория твердого тела. – М.: Наука, 1976 г. – 511 с.